基于模擬退火-蟻群變步長優化算法的橢偏數據反演分析

趙明琳 ，吳嘉瑤 ，童榮景 ，趙明瑤

(1．江蘇科技大學 理學院，鎮江 212100 )(2.北京大米未來科技有限公司，北京 100123)

隨著新型薄膜材料的大量涌現，基于薄膜材料的各種半導體器件、太陽能薄膜器件、光電器件以及高溫超導薄膜器件等都得到了快速的發展，而新型薄膜器件的研發與性能的優化，都離不開對薄膜材料基礎光學參量的深入理解[1-3].橢圓偏振光譜能夠無損的獲取薄膜材料的厚度和復光學常數，是目前薄膜材料光學特性分析的最優測量技術之一[4].橢圓偏振光譜作為非直接測量技術，其橢偏方程是非線性的超越方程，因此橢偏數據的處理過程中涉及到的反演算法一直是橢圓偏振光譜技術研究的難點之一.目前，粒子群算法、單純形算法、蟻群算法、遺傳算法和模擬退火算法等多種算法均已被應用于橢偏數據的處理中[5-10]，其中文獻[10]首次給出了蟻群算法在橢偏數據處理問題中的應用，但是此前單純的蟻群算法仍然存在兩個問題：一是蟻群算法只接受評價函數更低的螞蟻，最優螞蟻一旦陷入局部最優解就難以跳出；二是原蟻群算法中螞蟻的全局搜索步長和局部搜索步長的變化范圍限制在千分位精度上，不能再以更小的步長移動，使得迭代后期最優螞蟻會跳過評價函數的低谷區，算法的評價函數無法進一步降低.

因此，文中在蟻群算法的基礎上，提出了一種模擬退火-蟻群變步長優化算法來處理橢圓偏振光譜的數據反演問題.該方法融合了模擬退火算法和蟻群算法，以模擬退火機制按一定概率接受次優解，同時引入動態步長，通過逐步降低局部搜索步長來進行更精細化的搜索.將該算法應用于高溫超導薄膜FeSe的橢偏數據處理，實驗結果表明，應用該混合優化算法得到的反演結果準確，且混合優化算法的收斂速度更快，評價函數更優.

1 橢圓偏振光譜基本原理

圖1給出了單層薄膜中光的反射與折射示意圖.橢圓偏振光譜是一種反射光譜，以單層吸收薄膜為例，入射光在薄膜層內多次反射，光的偏振態受到薄膜的厚度和復光學常數的調制，導致反射光在薄膜表面反射前后的振幅和相位發生改變.橢圓偏振光譜儀可以獲取橢偏參量(Ψ,Δ)來表征反射光偏振態的變化.在薄膜中傳播的光可分為光矢量在入射面內的p偏振光和光矢量垂直于入射面的s偏振光，橢圓偏振光譜測量的即為p光和s光的總的復反射系數Rp、Rs比值[11]：

圖1 單層薄膜中光的反射與折射Fig.1 Schematic diagram of photic reflection and refraction in monolayer film

(1)

(2)

公式(1)為橢偏方程，而公式(2)則表明了橢偏參量Ψ和Δ分別對應著反射光振幅和相位的變化.對于單層薄膜來說，則有[12]：

(3)

ρ=tanΨeiΔ=f(λ,θ0,N0,N1,N2,d1)

(4)

實際情況下θ0，λ，N0和N2一般為已知量,薄膜的厚度d1和薄膜的復光學常數N1=n+ik(其中為n折射率，k為消光系數)為未知量，顯而易見，橢偏方程實質上是一個非線性的超越方程.在對橢偏方程進行反演分析時，通過比較模擬橢偏參量和實驗橢偏參量之間的差異來判別嘗試解的優劣，文中的反演算法所用到的評價函數(MSE)為[13]:

(5)

式中：Q為涉及到的總的波長數量；下標cal，exp，err為橢偏參量的模擬計算值、實驗值、預期誤差.

2 模擬退火-蟻群變步長優化算法的實現

文中的混合優化算法在蟻群算法中融合了模擬退火算法，優化設計了每個螞蟻的領域搜索規則，其中算法優化涉及的關鍵點在于：① 將Metropolis準用于來判斷是否接受每個螞蟻的領域搜索解，若鄰域解小于移動前的解，則接受鄰域解；若鄰域解大于移動前的解，對于最優螞蟻，不接受次優解，對于非最優螞蟻，按照一定概率接受次優解.② 將局域搜索步長進行動態調整，進行變步長搜索.

動態步長由基礎值、隨機乘數、級數乘數三部分組成，其值為三者的乘積.基礎值保證了不同步長的變化范圍和不同步長之間的相對關系，隨機乘數保證了步長的隨機性，級數乘數動態的根據評價函數值調整步長的數量級.由此，該混合優化算法可以防止算法陷入局部最優解，同時動態降低步長可防止最優螞蟻跳過評價函數的低谷區，從而提高了反演算法的搜索速度和準確度.該模擬退火-蟻群變步長優化算法的流程如圖2.

圖2 模擬退火-蟻群變步長優化算法流程Fig.2 Flowchart of the dynamic step ant colony optimization-simulated annealing algorithm

模擬退火-蟻群變步長優化算法的具體步驟：

步驟1 初始化各參數，設定退火算法初始溫度、退火衰減系數alpha、Markov鏈長度、最大迭代次數；初始化蟻群算法螞蟻數量，初始化解空間{n,k,d}.

步驟2 在初始溫度下利用蟻群算法獲得局部最優解，隨機放置N個螞蟻于解空間{n,k,d},并行求得N個螞蟻的局部最優解和對應的評價函數值Taum，比較獲得最優評價函數min(Taum)和最優螞蟻.

步驟3 按照鄰域搜索規則搜索螞蟻的鄰域解和對應的新評價函數值.

步驟4 依據Metropolis準則決定非最優螞蟻是否接受新解，并更新螞蟻位置和目標函數值.

步驟5 重新比較選擇出最優螞蟻，并記錄.更新局部迭代次數k，更新總迭代次數.

步驟6 判斷局部迭代次數，若局部迭代次數小于Markov鏈長度L，跳到步驟7，若局部迭代次數大于Markov鏈長度，則跳到步驟8.

步驟7 在同等溫度迭代重復步驟2～7.

步驟8 按照指數降溫公式進行降溫操作，重置局部迭代次數.

步驟9 判斷是否滿足算法終止條件，若不滿足終止條件，則跳回步驟2，在更低的溫度下判斷是否接受次優鄰域解，若滿足終止條件，則優化程序結束.

3 實驗與結果分析

FeSe是最為簡單的鐵基高溫超導材料，其晶體結構(圖3(b))僅具備鐵基超導材料的最基本結構單元FeSe層，研究其光學性質有助于深入理解鐵基超導材料的基礎物性和超導特性來源[15-17].文中，以FeSe薄膜的橢偏光譜為例，來驗證混合優化算法.利用脈沖激光沉積技術在CaF2襯底上制備了FeSe高溫超導薄膜，具體的制備過程及參數見已發表的文章[18-19].采用X射線衍射方法(D8 ADVANCE,Bruker)對薄膜進行了物相分析，測試結果如圖3(a)，XRD測試結果表明FeSe薄膜為c軸外延的高質量單晶薄膜樣品.橢圓偏振光譜的測試采用的是武漢頤光公司的SE-VM橢偏光譜儀，在室溫下以65°入射角測量了FeSe薄膜在300～800 nm波段的橢偏光譜.采用掃描電子顯微鏡(Hitachi S-4800)表征了FeSe薄膜的截面SEM圖像，從圖3(c)可以得到薄膜的厚度大致為140 nm.

圖3 晶向、晶體結構和表面形貌Fig.3 Crystal orientation crystal structure and surface morphology of fese

為說明文中提出的混合優化算法的準確性和可靠性，我們分別運用原蟻群算法，改進后的混合優化算法對橢偏數據進行了點對點反演分析，同時也通過商業化軟件對橢偏數據進行了基于色散模型的反演分析.因點對點反演分析時每個波長下的分析彼此獨立，每個波長下均給出一個薄膜厚度值和評價函數值，而基于色散模型的反演分析僅基于整個波段給出一個薄膜厚度值和評價函數值，為便于分析討論，在進行橢偏數據反演時，FeSe薄膜的厚度取定值，不參與擬合，FeSe薄膜厚度采用截面SEM測試得到的厚度值140 nm.經過實驗，每個波長選擇50個螞蟻組成蟻群，設置退火降溫衰減系數為0.95.當評價函數小于1.0時，動態步長級數乘數降低為0.1，當評價函數小于0.01時，動態步長級數乘數降低為0.01.經過大量實驗發現，基于評價函數取值動態調整級數乘數即能保證迭代前期跳出局部最優解，又可以在迭代后期達到更快的收斂速度，獲得更準確的解.圖4，5分別給出了橢偏參量Ψ和Δ的實驗數值以及運用不同反演方法得到的模擬數值，圖6給出了應用不同反演方法得到的FeSe薄膜的折射率和消光系數.從圖4，5，6中可以看出3種方法均能很好的逆向求解橢偏數據，實驗數值與模擬數值較為一致，本文中的混合優化算法點對點反演得到的數值與商業化軟件中基于色散模型得到的折射率n和消光系數k基本一致，說明本混合優化算法能夠實現橢偏數據的反演分析，且得到的數據真實可靠.

圖4 FeSe薄膜的橢偏參量Psi實驗數值及模擬數值Fig.4 Experimental and simulated data of ellipsometric parameter Psi of the FeSe film

圖5 FeSe薄膜的橢偏參量Delta實驗數值及模擬數值Fig.5 Experimental and simulated data of ellipsometric parameter delta of the FeSe film

圖6 多種反演方法得到的FeSe薄膜的折射率和消光系數Fig.6 Refraction index and the extinction coefficient of the FeSe film obtained by different regression and inverse analysis

圖7給出了原蟻群算法和改進后的混合優化算法在反演分析FeSe薄膜橢偏光譜300 nm波長下的橢偏數據時的評價函數MSE隨迭代次數的變化趨勢，可以看出，模擬退火-蟻群算法因為采用了動態變化的局域搜索步長，從而使得算法整體的收斂速度顯著提升.各個波長的平均收斂迭代次數從500輪降低為300輪，在200輪基本達到最低點，收斂速度提升40%.此外，因為混合優化算法有效的融合了模擬退火算法，增強了算法跳出局部最優解的能力，因此評價函數的數量級相較于蟻群算法有效下降了4～5個數量級，最終得到的反演結果質量更好，圖8給出了不同波長下兩種算法的最終評價函數的對比結果，可以看出，整體上混合優化算法的評價函數明顯低于原蟻群算法，進一步說明了混合優化算法的反演結果更好，跳出局部最優解的能力更強.

圖7 蟻群算法和模擬退火-蟻群算法的收斂速度對比Fig.7 Convergence rate of ant colony algorithm and ant colony optimization-simulated annealing algorithm

圖8 蟻群算法和模擬退火-蟻群算法的評價函數性能比較Fig.8 MSE values of ant colony algorithm and ant colony optimization-simulated annealing algorithm

4 結論

(1)針對橢圓偏振光譜數據的反演分析問題，文中將模擬退火算法融合進蟻群算法，同時將局域搜索步長改進為依據評價函數動態變化的變步長搜索策略.

(2)混合優化算法有效地融合了蟻群算法和模擬退火算法的優點，通過對高溫超導薄膜FeSe的橢偏數據的實例分析，可以表明，在橢偏數據反演分析上，該混合優化算法是可靠的，且具備較強的跳出局域最優解的能力，算法的收斂速度明顯提升.