沿岸流不穩定運動傳播特性的小波相干譜分析

任春平，劉宇，趙喜萍

(1.太原理工大學 水利科學與工程學院，山西 太原 030024)

1 引言

沿岸流不穩定運動是指水平二維水流速度出現長周期波動，其波動周期一般大于100 s，屬于超低頻運動。這種長周期波動會伴隨著沿岸流在沿岸方向傳播，在傳播過程中會誘導出大尺度渦旋，引起物質輸移、能量交換，使得破波帶內外水動力特性更加復雜，因此，其在時頻域的傳播特性對于岸灘演變、污染物、魚卵等生物在垂直岸線和沿岸方向的輸移、遷移有重要影響[1]。

目前，對沿岸流不穩定運動生成機理和數值研究已經取得了比較多的成果，但對于其傳播特性還有待深入研究。Bowen和Holman[2]建立了沿岸流不穩定理論模型，?zkan-Haller和Kirby[3]基于二維淺水方程建立了沿岸流不穩定運動的數值模型，Dodd等[4]在Bowen和Holman的理論基礎上建立了考慮底摩擦、側混影響的不穩定模型。Reniers等[5]和Noyes等[6]分別在實驗室內和現場觀測到并利用頻率波數譜分析了沿岸流不穩定運動，這些研究對推動沿岸流不穩定運動的研究起到了重要作用。要想用頻率波數譜對沿岸流不穩定運動進行分析，需要在沿岸方向布設的流速儀多于2個，且頻率波數譜主要用來從色散關系上證明沿岸流不穩定運動的存在，并不能像小波相干譜那樣進行時間?空間域不穩定運動相關程度的分析。Ren等[7]基于線性不穩定理論，分析了平直斜坡上實驗觀測到的沿岸流不穩定運動。任春平等[8]對沿岸流不穩定運動和邊緣波運動二者的相互關系做了實驗研究，結果證明了沿岸流不穩定運動與邊緣波不但可以共存（在垂直岸線方向和平行岸線方向），而且在沿岸方向能量有交換。沈良朵[9]研究了沿岸流非線性不穩定演化的特征。

上述研究集中在沿岸流不穩定運動產生機理及發展演化上，前提是不穩定運動在空間上同時產生，對于不穩定運動在空間產生的相位特性（即傳播特性）沒有涉及。本文即著眼于此，對沿岸流不穩定運動傳播特性進行了分析。小波相干分析法可以分析該現象在空間的相關程度及相位差，通過該分析可以理解其傳播特性以及入射波況對它的影響。由此得到的小波相干譜不僅可以用于確定兩個時間序列在時頻域的顯著性關系，而且可以得到兩個時間序列的相位差信息，這就為分析沿岸流不穩定運動傳播特性提供了極大的便利。如果利用該方法能夠計算得到平行于沿岸方向兩個位置處沿岸方向流速時間歷程的小波相干譜，就可以分析超低頻區域內信號的相干特性，也就可以反映出沿岸流不穩定運動在沿岸方向的傳播特性。Ruiz-Merchán等[10]和 Conde-Frias等[11]利用小波相干方法分析了重力波和低頻波對波面升高、垂直岸線方向和沿岸方向速度的影響。

本文對所選實驗波況，根據兩列流速儀實測流速的時間歷程，確定破波帶內每列測量桿上沿岸流時均值最大的位置以及該位置向岸線和向海方向相鄰兩個位置，同時確定出另一列測量桿上的位置，對距離岸線相同位置處的沿岸方向流速時間歷程做小波相干譜，以此分析沿岸流不穩定運動時頻域傳播特性及入射波況、地形對其傳播特性影響。

2 實驗簡介

本文以大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的沿岸流實驗為基礎，分析沿岸流不穩定運動在沿岸方向的傳播特性。圖1給出了實驗布置，實驗海岸地形為平直斜坡，其坡度分別采用1∶100和1∶40兩種（圖2），斜坡坡腳線與造波機夾角為30°，垂直岸線的兩列流速儀共32個，每列16個，流速儀為雙向流速儀，可以測量垂直岸線和沿岸方向的速度。從床底算起，流速儀布設于水深的1/3處，圖3給出了1∶40地形上流速儀的放置位置，圖4給出了波況4和波況9分別在x=2.5 m和x=4.0 m采集的沿岸方向流速時間歷程。入射波分為規則波（波況1～5）和隨機波（波況6～11），共11個波況，見表1，各組波要素造波時采用Jonswap譜，其譜峰升高因子為2.5。

表1 波況參數Table 1 Wave parameters

圖1 實驗布置Fig.1 Experimental layout

圖2 實驗地形Fig.2 Bottom profile

圖3 1∶40 地形流速儀布置Fig.3 The layout of velocity meters for slope 1∶40

圖4 波況 4 和波況 9 分別在 x=2.5 m 和 x=4.0 m 處采集的沿岸方向流速時間歷程Fig.4 Time series of alongshore velocity at x=2.5 m and x=4.0 m for Case 4 and Case 9

3 小波相干分析方法

3.1 交叉小波變換

對于兩個同步記錄的隨機時間序列xn、yn，對應的小波譜分別為WX、WY，為了研究它們之間的相關性，就需要進行交叉變換分析。小波交叉變換定義為WXY=WXWY?，“*”表示復共軛，小波交叉譜 WXY為復數，所以，小波交叉譜能量定義為 |WXY|。實際上，小波交叉變換就是xn、yn協方差的時間尺度分解，它在時間軸上的積分即為小波交叉譜，其置信度水平源于兩個 χ2分布小波譜乘積的平方根[12]。因此，小波交叉譜變換刻畫了兩個同步時間序列在時間?頻率空間上的局部協方差，可以揭示它們共同的高能量區以及相位關系。

3.2 小波相位差

3.3 小波相干

所謂小波相干是指在時間?頻率空間中兩個同步時間序列共同變化區域（但不一定具有高能量）的相似程度。

小波交叉譜可以在時間?頻率空間中刻畫出時間序列里周期性強度一致的區域。但是在時間?頻率域內局部化范圍內，兩種同步信號的相關程度反映不出來，這就需要小波相干的概念來描述。小波相干被用來度量時頻空間中兩個同步時間序列的局部相關程度，即使對應的是小波互譜中的低能量值區域，兩者在小波相干譜中的相關性也可能很顯著。

對于兩個同步記錄的隨機時間序列xn、yn，其小波相干系數定義如下：

式中，s 為圓標準差；WnX、WnY、WnXY分別為時間序列xn、yn的小波變換和交叉小波變換；S為光滑算子，其定義如下：

式中，Sscale表示沿著小波尺度軸進行光滑；Stime滑算子是很自然的，這樣它就具有與所用小波相似的結果，其表達式如下：

式中，c1、c2為無因次常數，由具體時間序列的數值確定，Π為矩形函數，公式為

3.4 置信區間

由于小波不能夠在時域完全局部化，所以小波變換的結果會受時間序列邊緣的影響。因此引入錐形域分析考慮數據截斷邊界的影響，并且數據邊緣不連續引起的小波功率下降到邊緣值的e?2倍。

小波互譜的顯著性檢驗，可以采用假設某一頻率上WX、WY凝聚為0的F分布檢驗方法。本文按下式直接估計給定信度α條件下小波交叉譜的臨界值置信區間的確定方法對于給定背景功率譜（pk）的平穩過程產生信號的零假設，可以評估小波功率的統計顯著性[12]。

式中，k為傅里葉頻率指數。

3.5 信號驗證

為了清楚的理解小波變換、小波交叉譜及小波相干的性質，并驗證程序的正確性，下面對測試信號進行小波交叉譜及小波相干的分析。考慮到沿岸流場中存在超低頻和高頻信號，因此選取的測試信號由低頻和高頻信號組成，兩個測試信號分別為 X=y1+y2+y3，Y=y2，其中，

圖5 X、y1、y2 及 y3 信號Fig.5 Test signals of X,y1,y2 and y3

圖6分別給出了X和Y兩個信號的小波譜及它們之間的小波交叉譜和小波相干圖。由圖6a可以看出組成X的3個信號y1、y2及y3在整個時間域上都能夠識別出，y1在整個0～200 s都具有最強的能量，周期約 31.40 s。y2 和 y3 分別從 80 s和 120 s被識別出，周期分別約 5.23 s和 2.10 s。圖 6c給出的是 X 和Y兩個信號的小波交叉譜，小波交叉譜可以在時間?頻率空間中刻畫出時間序列里周期性強度一致的區域，從該圖可以看出，X和Y兩個信號在80～200 s之間，周期為5 s的能量存在很強的一致性，這與X和Y兩個信號的特性是吻合的。圖6d給出了X和Y 兩個信號的小波相干譜，周期為 31.40 s、5.23 s、2.09 s 3種波動，它們滿足倍頻的關系，所以相關性比較明顯。另外，可以看出在小波交叉譜中周期性能量一致的區域（80～200 s，周期為 5.23 s），這兩個信號有很強的相似性，相關系數接近1，這樣就可以識別出兩個信號中具有相同頻率成分的相干性，之所以在0～80 s之間也出現有相干系數接近于1的區域，是因為間隔以及數據截斷的影響。

圖6 X（a）和 Y=y2（b）的小波譜、X-Y 小波交叉譜（c）及 X-Y 小波相干譜（d）Fig.6 The wavelet power spectrum of X (a) and Y=y2 (b),and X-Y cross wavelet spectrum (c) and X-Y wavelet coherence spectrum (d)

在圖6c和圖6d中還給出了X和Y兩個信號的相位差，如圖中箭頭所示。另外，圖6每個圖都給出了95%的置信區間，即圖中圓錐形域內為95%置信水平。

4 規則波入射條件下沿岸流不穩定運動時頻域特性

4.1 分析位置確定及數據預處理

根據沿岸流不穩定理論，其不穩定運動的產生是由沿岸流在垂直岸線方向存在速度剪切引起的，也將其稱為剪切波。根據時均沿岸流速度剖面可以判斷，速度梯度最大位置一般出現在時均沿岸流達到最大值的位置。因此，在第1根測量桿上確定時均沿岸流最大值位置及緊鄰最大值的向岸線方向和向海方向的測點位置，對這3個位置與第2根測量桿上距離岸線相同位置處的沿岸方向流速時間歷程，做小波相干譜，由于沿岸流不穩定運動在沿岸方向表現明顯，所以只分析了沿岸方向速度的小波相干性。表1給出了波況1～11所確定小波相干分析位置，x1為時均沿岸流最大值位置，xn為與x1在向岸線和向海方向相鄰測點對應的坐標。圖3中標示了波況3根據實驗結果確定的時均沿岸流最大值位置及向海和向岸線方向相鄰位置。

在分析前對采集數據進行消除趨勢項處理，且對沿岸流穩定出現后運動場進行分析，因此規則波和隨機波情況分別對50 s和150 s后的時間歷程作小波相干譜。

4.2 時頻域傳播特性及相位特性

圖7至圖11分別給出了波況1～5的3個位置處的小波相干譜，同時給出了相位差，如圖中箭頭所示。由圖7可以看出，3個位置（2.5 m為時均沿岸流最大值出現的位置）得到的小波相干譜中，相干系數接近 1 的周期帶大致有 3 個：0.25～0.5 s、1～4 s、16～32 s。0.25～0.5 s這個范圍內 0.25 s、0.33 s以及 0.5 s與1 s入射波成倍頻關系，所以這個范圍相關性較強。1～4 s這個強相干信號是入射波所引起，說明破波帶內波浪破碎后，其速度組成中有入射波浪引起的速度，表明破波帶內的水動力要綜合考慮波流作用。在16～32 s周期帶內，也出現了強相干信息，特別是在2.5 m處，其強相干信號對應的周期甚至大于32 s，這說明出現了超低頻信號，也就是沿岸流不穩定運動。通過與2 m和3 m處小波相干譜比較發現，對于大于32 s的超低頻信號，在2 m和3 m處相干性減弱，說明在距離岸線2 m和3 m處沿岸流不穩定運動減弱，其傳播特性也表現的比較弱。沿岸流不穩定運動是由垂直岸線方向沿岸流存在速度梯度引起的，2.5 m處其速度梯度接近最大，引起誘導出較強的不穩定運動，而隨著沿岸流速度梯度向岸線和向海方向的減弱，其不穩定運動也減弱，因此該結果與沿岸流不穩定運動的剪切產生機理相吻合。在2 m及3 m的小波相干譜中出現了周期約為16 s的強相干信號，這是由于邊緣波[13]的產生所引起的，而在2.5 m處則沒有出現，說明在沿岸流不穩定出現后，會抑制邊緣波。在某些位置的相關性不夠強，還可能與邊緣波的空間分布有關，在垂直于岸線方向，有的地方流速較大，有的地方流速較小。

圖7 波況 1 中距離岸線 2 m（a）、2.5 m（b）及 3 m（c）處對應的小波相干譜Fig.7 Wavelet coherent spectrum at x=2.0 m (a),x=2.5 m (b) and x=3.0 m (c) under Case 1

由圖7b可以看出在，2.5 m處出現的周期大于32 s的低頻運動，其相干系數約為0.60，在2 m和3 m處則沒有出現，說明該波況下沿岸流不穩定運動可能比較弱，也可能是采集時間歷程較短(數據處理后，采集時間約為 130 s)，Reniers和 Battjes[14]也指出在他們的實驗中，規則波情況下沒有觀測到沿岸流不穩定運動。

從圖8至圖11可以看出，在這幾個波況下，3個位置處大于32 s周期的信號其相干性都較弱，只有在波況2下，4.5 m處（圖8c）出現了相干系數接近1的超低頻信號。由此可以看出，在本文實驗規則波入射情況下，沿岸流不穩定運動較弱。

圖8 波況 2 中距離岸線 3.5 m（a）、4.0 m（b）及 4.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.8 Wavelet coherent spectrum at x=3.5 m (a),x=4.0 m (b) and x=4.5 m (c) under Case 2

4.3 入射波高、周期對沿岸流不穩定運動傳播特性的影響

從波況1～3可以看出，入射波周期不變，其對應的波高由5 cm增加到12.6 cm，從圖7至圖9可以看出，隨著入射波高的增加，波況2在x=4.5 m處（圖8c）出現了周期約為64 s的相干性很強的沿岸流不穩定運動，波況3在x=5.0 m處（圖9b）也出現了周期約為64 s的沿岸流不穩定運動，表明隨著入射波高的增加，沿岸流垂直岸線方向的速度梯度增加，同時非線性也隨之增強，導致更容易誘導出沿岸流不穩定運動。

圖9 波況 3 中距離岸線 4.5 m（a）、5.0 m（b）及 5.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.9 Wavelet coherent spectrum at x=4.5 m (a),x=5.0 m (b) and x=5.5 m (c) under Case 3

波況1與波況4，波況2與波況5這兩對波況入射波高相近，入射波周期相差0.5 s。通過分析波況4（圖 10）、波況 5（圖 11）這兩種情況下，3 個位置呈現出的沿岸流不穩定運動特性與波況6和波況2相似，分別比較波況1和波況4，波況2與波況5的小波相干譜，發現入射波周期對沿岸流不穩定運動的傳播特性影響較小。

圖10 波況 4 中距離岸線 2.0 m（a）、2.5 m（b）及 3.0 m（c）處對應的小波相干譜Fig.10 Wavelet coherent spectrum at x=2.0 m (a),x=2.5 m (b) and x=3.0 m (c) under Case 4

圖11 波況 5 中距離岸線 3.5 m（a）、4.0 m（b）及 4.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.11 Wavelet coherent spectrum at x=3.5 m (a),x=4.0 m (b) and x=4.5 m (c) under Case 5

5 不規則波入射條件下沿岸流不穩定運動時頻域特性

5.1 時頻域傳播特性及相位特性

與規則波情況類似，不規則波入射情況下確定的分析位置見表1。圖12至圖17分別給出了波況6～11 的3個位置處的小波相干譜，同時給出了沿岸方向流速時間歷程的相位差，如圖中箭頭所示。

圖12 波況 6 中距離岸線 5.5 m（a）、6.0 m（b）及 6.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.12 Wavelet coherent spectrum at x=5.5 m (a),x=6.0 m (b) and x=6.5 m (c) under Case 6

由圖12可以看出，3個位置（6.0 m為時均沿岸流最大值出現的位置）得到的小波相干譜中，相干系數接 近 1 的 周 期 帶 大 致 有 3 個 ：0.25～2 s，16～32 s，64～128 s。該波況入射波周期為 2 s，0.25～2 s這個范圍內 0.25 s、0.5 s、1 s、2 s都是與入射波周期呈倍頻關系，所以相關性較強。與規則波入射情況相似，說明破波帶內波浪破碎后，其流場速度組成中有入射波浪引起的速度。在16～32 s周期帶內，也出現了強相干信息，特別是在5.5 m和6.0 m處，其強相干信號連續出現，說明出現了超低頻信號，根據低頻波周期推測，這可能是由邊緣波引起的，說明在試驗中靠近岸線處出現了邊緣波。并且16～32 s強相干信號在6.5 m處變弱，說明隨著距離岸線的增加該周期信號減弱，這也從另一方面說明，在靠近岸線處出現了邊緣波，同時該16～32 s周期信號基本呈現出同相特性，說明邊緣波基本是同時產生的。

對于周期為64～128 s的信號，在3個位置處其相干系數接近1，說明在3個位置處都有沿岸流不穩定運動出現，并且在5.5 m和6.0 m處的相位差都約為 90°，而在 6.5 m 處則約為?30°。

從圖13至圖17可以看出，在這幾個波況下，3個位置處64～128 s周期的信號其相干性都較強，只有波況 7（圖 13）在 2.0 m 和 2.5 m 處該信號的相干系數較低（約為0.6）。并且從圖14至圖17可以看出，這4個波況，每個波況下3個位置處64～128 s信號的相位差都一致，波況8、9、10、11對應的相位差分別約為?30°、?30°、30°、30°。并且波況 6 和波況 7 分別在6.5 m 和 3.0 m 處得到的相位差也約為?30°。之所以產生正、負相位差，可能是由于在不規則波情況下破波點有變化[15]，導致不穩定運動在兩個斷面上產生正或負相位，其相位差都約為30°，這與實驗入射角（實驗波況的入射角都為30°）相近，或者稱為相位守恒，這需要進一步進行理論分析。

圖13 波況 7 中距離岸線 2.0 m（a）、2.5 m（b）及 3.0 m（b）處對應的小波相干譜Fig.13 Wavelet coherent spectrum at x=2.0 m (a),x=2.5 m (b) and x=3.0 m (c) under Case 7

圖14 波況 8 中距離岸線 2.5 m（a）、3.0 m（b）及 3.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.14 Wavelet coherent spectrum at x=2.5 m (a),x=3.0 m (b) and x=3.5 m (c) under Case 8

5.2 入射波高、周期對沿岸流不穩定運動傳播特性的影響

波況7～9，入射波周期不變，其對應的波高由3.6 cm增加到7.8 cm，從圖13至圖15可以看出，波況7在3.0 m處強相干的超低頻信號周期處于100～110 s范圍，而波況8和9則在64～128 s范圍，說明隨著入射波高的增加，生成的沿岸流不穩定運動周期范圍將更廣，同時非線性也隨之增強，導致更容易誘導出沿岸流不穩定運動。

圖15 波況 9 中距離岸線 3.5 m（a）、4.0 m（b）及 4.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.15 Wavelet coherent spectrum at x=3.5 m (a),x=4.0 m (b) and x=4.5 m (c) under Case 9

波況 7（圖 13）、波況 10（圖 16）以及波況 11（圖 17），這3個波況入射波高相近，入射波周期分別為1.0 s、1.5 s及2.0 s。通過分析發現，入射波周期對沿岸流不穩定運動的特性影響較小，但是對于邊緣波（周期約25 s）有較明顯的影響，例如，波況 10、11 在 16～32 s范圍內出現了強相干信號，而波況7中該信號的相干性顯得有些弱，說明入射波周期對邊緣波有較明顯的影響。

圖16 波況 10 中距離岸線 2.0 m（a）、2.5 m（b）及 3.0 m（c）處對應的小波相干譜Fig.16 Wavelet coherent spectrum at x=2.0 m (a),x=2.5 m (b) and x=3.0 m (c)under Case 10

圖17 波況 11 中距離岸線 2.5 m（a）、3.0 m（b）及 3.5 m（c）處對應的小波相干譜Fig.17 Wavelet coherent spectrum at x=2.5 m (a),x=3.0 m (b) and x=3.5 m (c) under Case 11

5.3 坡度對沿岸流不穩定運動傳播特性的影響

波況 6（入射波周期為 2.0 s，入射波高為 3.4 cm）和波況 11（入射波周期為 2.0 s，入射波高為 3.7 cm）入射波高與周期相近，只是坡度不同，分別為1∶100和1∶40，這兩個波況下的小波相干譜，見圖12和圖17。本節將通過分析這兩個波況的小波相干譜，研究坡度對沿岸流不穩定運動傳播特性的影響。

通過比較圖12和圖17，可以看出波況6與波況11在3個位置處沿岸流不穩定運動都有較強相干性，前者不穩定周期范圍約為 64～128 s，后者約為 100 s，說明1∶100坡上不穩定運動受淺化影響較明顯，導致不穩定周期變化范圍增大。就相位差而言，前者在 3 個 位 置 處分 別 為 90°、90°、?30°，后 者 為 90°、30°、30°，說明1∶100坡上不穩定運動相位差在垂直岸線方向有較大變化，而1∶40坡上則變化相對較小，這從另一方面說明1∶40坡上不穩定運動能量更強，或者說坡度越陡更易產生不穩定運動，這也與不穩定運動產生機理吻合，因為在陡坡情況下沿岸流垂直岸線方向速度梯度變化更大，也更易誘導出不穩定運動。

就16～32 s范圍的邊緣波而言，1∶100坡上的強相干域更加連續，說明在1∶100坡上更易誘導出邊緣波，且其相位差在3個位置處基本接近。

因此可見，坡度越陡，越易誘導出超低頻的不穩定運動，也就是其傳播特性增強，坡度較緩的情況下，不穩定運動周期變化范圍變大。另一方面，坡度越緩，邊緣波傳播特性表現的越明顯。

6 結論

本文對所選實驗波況，根據實測流速時間歷程，確定破波帶內沿岸流時均值最大位置以及該位置向岸線和向海方向相鄰兩個位置，對應的確定出另一列測量桿上相同位置，然后做小波相干譜。通過分析表明：

（1）不規則波更易誘導出沿岸流不穩定運動；沿岸流不穩定出現后，會抑制邊緣波；破波帶內波浪破碎后，其流場速度組成中有入射波浪引起的速度，表明破波帶內的水動力要綜合考慮波流作用。

（2）不規則波情況下破波點有變化，導致不穩定運動在兩個斷面上產生正或負相位，其相位差都約為30°，這與波浪入射角相近。

（3）入射波高的增加，非線性隨之增強，生成的沿岸流不穩定運動周期范圍將更廣，沿岸流垂直岸線方向的速度梯度增加，導致更容易誘導出沿岸流不穩定運動；入射波周期對沿岸流不穩定運動的傳播特性影響較小。

（4）坡度越陡越易誘導出超低頻的不穩定運動，也就是在其傳播特性增強，坡度較緩的情況下，不穩定運動周期變化范圍變大。另一方面，坡度越緩，邊緣波傳播特性表現的越明顯。