側向載荷作用下的T型加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線修正

陳雨哲，王德禹

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

0 引 言

船體梁極限強度是船體結構抵抗整體崩潰的最大能力，準確評估船體梁極限強度對于船體設計有著重要意義。目前，船體梁極限強度的計算方法主要有3 類：非線性有限元法、逐步崩潰法以及理想結構單元法。其中，逐步崩潰法（Smith 法）的核心思想是將船體艙段橫剖面分為板單元、加筋板單元和硬角單元，根據各類單元的載荷-端縮曲線，通過力平衡準則迭代找到每一曲率下的中和軸位置，計算得到整個艙段的彎矩-曲率曲線，從而得出船體梁的極限彎矩[1]。Smith 法具有操作簡單、耗時短、準確性較高的優點，被多種規范采納，作為計算船體梁極限強度的重要方法之一。

符合實際情況的單元載荷-端縮曲線是確定剖面中和軸準確位置的基礎，對Smith 法的計算精度有著重要的影響。確定載荷-端縮曲線的方式通常有3 種[2]：解析求解；數值計算；模型試驗。目前的HCSR 規范中規定的載荷-端縮曲線并未考慮側向載荷的作用，而側向載荷是船體結構所受的常見載荷之一，比如貨物、設備的重力以及水壓力，且側向載荷與軸向載荷的聯合作用，會對加筋板的載荷-端縮曲線產生明顯影響[3]，因此對載荷-端縮曲線進行修正有著重要意義。

Paik 等[4]研究了加筋板在軸向載荷、面內彎矩以及側向載荷聯合作用下的極限強度，并將計算結果和試驗結果進行了對比，證實了提出公式的有效性。Shanmugam[5]對受單軸壓縮和側向載荷聯合作用下的加筋板極限強度進行了模型試驗研究和數值計算，得出對于此聯合作用下的加筋板，板柔度系數 β的增大會引起加筋板極限承載能力下降的結論。

對于僅受軸向壓縮的加筋板的極限強度，Zhang和Khan[6]提出一種半解析的經驗公式形式（見式（1）），并給出了梁柱柔度系數λ<2時的鋼制加筋板軸向壓縮臨界應力公式（見式（2））。

式中，r為梁柱慣性半徑，I為加筋板橫剖面的慣性矩，Z0為加筋板橫剖面的形心高度，定義式分別如下式：

對于受軸向壓縮和側向載荷的鋼制加筋板，Xu[7]提出一種經驗公式形式（見式（8）），設定3 種側向壓力，即0 MPa（對應0 m 水壓），0.1 MPa（對應10 m水壓）和0.2 MPa（對應20 m 水壓），計算了1 296 個加筋板算例，擬合得到了不同種類加筋板對應的X0,X1,···,X10隨水深h變化的表達式。

目前學者采用的有限元模型大部分為加筋板板架，考慮了相鄰結構對加筋板的影響，而Smith 法中基本假設之一是各單元無相互作用且變形獨立[8]，因此，本文采用單個加筋板作為研究對象，減少相鄰單元對加筋板載荷-端縮曲線的影響，使得到的載荷-端縮曲線修正公式更適用于Smith 法。另一方面，目前學者得到的載荷-端縮修正公式大多僅針對臨界應力進行修正，而側向載荷還會同時影響臨界應變，本文將從臨界應力和臨界應變2 個方面入手，對HCSR 規定的T型加筋板梁柱屈曲狀態下的載荷-端縮曲線進行修正。

1 計算模型介紹

1.1 模型參數

本文選擇T 型加筋板作為研究對象，共建立192個T 型加筋板模型，材料采用理想彈塑性模型，加強筋建立在短邊中心處，加筋板參數如表1 所示（若無特別說明，其余章節中參數符號含義均與表1 相同）。

表1 加筋板模型各參數含義以及算例參數值匯總Tab.1 Parameter meaning and value of stiffened plate model

等效屈服強度σYeq定義式如下式：

Do[9]統計出船體加筋板的長寬比通常在5～6 之間，因此在設計模型參數時，取加筋板長寬比為5。Zhang[6]統計了12 個油船和10 個散貨船的設計數據，總結出典型船體板柔度系數及梁柱柔度系數的分布范圍，其中板柔度系數多分布在1～2.5 之間，而梁柱柔度系數多分布在0.25～0.95 之間。本文通過調整加筋板幾何參數，得到4 種不同的板柔度系數：1.173 1，1.466 4，1.955 2，2.323 4，以及分布在[0.306 7，1.024 0]之間的一系列梁柱柔度系數，與船體加筋板統計得到的分布范圍基本一致。

1.2 載荷與邊界條件

邊界條件是影響加筋板載荷-端縮曲線的重要因素，實際情況中，加筋板的邊界條件介于簡支與固支之間，類似彈性支座，計算時采用簡支邊界更為保守[10]。

綜合考慮Smith 法的基本假設和船體板的實際情況，對加筋板施加邊界條件（見表2），加筋板各點編號如圖1 所示。其中Ui代表沿i方向的平動自由度，Ri代表繞i軸的轉動自由度，‘0’代表對應自由度被約束。

表2 加筋板邊界條件Tab.2 The boundary condition of stiffened plate model

圖1 加筋板節點編號示意圖Fig.1 Diagram of stiffened plate node number

考慮Smith 法中各單元應保持相互獨立，以及船體加筋板具有連續性，在加筋板的A1-B1，A2-B2邊上應保持Rx=Rz=0。由于加筋板為軸向壓縮，應約束y方向上的位移，因此在A1-B1，A2-B2邊施加對稱邊界條件（Uy=0，Rx=Rz=0）。在短邊（A1-A2，A3-A4，A5-A6，B1-B2，B3-B4，B5-B6）上施加軸向壓縮位移載荷，并約束y方向與z方向的位移，以及x方向的轉角。

為對比不同側向載荷對加筋板載荷-端縮規律的影響，對每一個模型，依次施加大小為0，0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的均布側向載荷，分別對應0 m，5 m，10 m，15 m，20 m 深度的水壓，側向載荷方向由無加強筋一側指向有加強筋一側，施加范圍為整個帶板面。

1.3 初始缺陷

初始缺陷會對加筋板的破壞模式和臨界載荷產生顯著影響，在梁柱屈曲破壞模式中，通常采用3 種初始缺陷[4]：對帶板單元節點施加式（10）所示的帶板屈曲和梁柱屈曲型初始變形，對加強筋單元節點施加式（11）所示的梁柱屈曲型初始變形，以及如式（12）所示的側傾初始變形。

式中，A0=0.1β2t，B0=0.001 5a，C0=0.001 5a，m為板屈曲半波數，定義為滿足a/b≤的最小正整數。

采用MSC Patran 軟件對加筋板模型添加初始缺陷，初始變形示意圖如圖2 所示。

圖2 加筋板初始變形示意圖（變形放大10 倍）Fig.2 Diagram of initial distortion of stiffened plate model（Deformation magnified 10 times）

2 載荷-端縮曲線修正

2.1 有限元法計算結果

采用參數化建模方法，利用MSC Patran 建立加筋板模型，施加初始變形場；利用Abaqus 設置邊界條件，計算模型在不同側向載荷作用下的支反力-位移曲線，從而得到不同側向載荷作用下模型的載荷-端縮曲線。將非線性有限元法計算得到的臨界載荷和臨界端縮量換算為臨界應力和臨界相對應變，并以無側向載荷時的臨界應力和臨界相對應變作為標準值，進行無因次化處理，計算結果如圖3 和圖4 所示。

圖4 不同側向載荷作用下無因次化臨界應變有限元法計算結果Fig.4 Dimensionless critical strain results of stiffened plate model under different lateral loads by finite element method

2.2 擬合公式

固定板柔度系數 β和側向載荷LP 后，各加筋板模型無因次化臨界應力σu/σu0和無因次化臨界相對應變εu/εu0與梁柱柔度系數λ呈現高度相關性，以β=2.323 4的48 個模型的無因次化臨界應力為例，選用三次多項式進行擬合，擬合結果如圖5 和圖6 所示。

圖5 σu/σu0 關于λ 擬合公式示意圖Fig.5 Diagram of the fitting formula about σu/σu0 and λ

圖6 εu/εu0 關于λ 擬合公式示意圖Fig.6 Diagram of the fitting formula about εu/εu0 and λ

對臨界應力和臨界應變分別采用式（13）和式（14）進行擬合。不同 β和LP 對應的擬合修正公式系數如表3 和表4 所示。其中，表3 數據為臨界應力修正公式系數p1?p4，表4 對應臨界應變修正公式系數p5～p8，R2為各擬合公式與數據點的相關系數。可以看出，加筋板的臨界應力及臨界應變與梁柱柔度系數呈高度相關性。

表3 不同板柔度系數和側向載荷對應的臨界應力擬合修正公式系數Tab.3 Coefficients of critical stress fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

表4 不同板柔度系數和側向載荷對應的臨界應變擬合修正公式系數Tab.4 Coefficients of critical strain fitting correction formula corresponding to different plate slenderness ratio and lateral loads

將板柔度系數 β和側向載荷LP 視為自變量，系數p1～p8視為因變量，采用式（15）所示的擬合公式形式對樣本點進行擬合，擬合示意圖如圖7 和圖8 所示。擬合公式的參數p00,p10,p01,···,p03數值如表5 所示，表中R2為擬合公式與數據點的相關系數。

圖7 臨界應力修正公式系數p1～p4 關于β 和LP 擬合結果Fig.7 The fitting results of coefficients of the critical stress correction formula about β and LP

圖8 臨界應變修正公式系數p5～p8 關于β 和LP 擬合結果Fig.8 The fitting results of coefficients of the critical strain correction formula about β and LP

2.3 T 型加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線修正公式

對于組成船體梁橫剖面的普通加筋板單元的梁柱屈曲，HCSR 中描述其的載荷-端縮曲線方程如下式[2]：

εE為單元應變，根據單元自身中和軸位置、船體橫剖面中和軸位置和曲率計算得到；εY為單元達到屈服應力時的應變：

式中：σC1為臨界應力，N/mm2，計算式如下式：

式中：σE1為歐拉柱子應力，N/mm2，計算式如下式：

式中：IE和AE分別為帶板寬度為bE1的扶強材慣性矩和凈剖面積，cm4/cm2；bE1為根據相對應變修正后的有效帶板寬度，m，計算式如下式：

式中：bE為扶強材連接的有效帶板寬度，m；b為扶強材間距（本文中與板寬相同），m；bE1計算式如下式：

根據此載荷-端縮曲線方程，可以通過相對應變ε求得對應的應力σCR1，從而求出加筋板單元在梁柱屈曲狀態下的載荷-端縮曲線。

按照給出的修正公式形式和修正公式系數，對HCSR 規定的加筋板梁柱屈曲載荷-端縮曲線進行修正，修正公式如下式：

式中：f1(LP,β,λ)=p1λ3+p2λ2+p3λ+p4；將加筋板載荷-端縮曲線各計算公式中的相對應變ε均替換為ε′，ε′=ε/(p5λ3+p6λ2+p7λ+p8)。其中p1～p8為β和LP的函數，計算式如式（25），對應的參數p00,p10,p01,···,p03按照表5 選取。

表5 p1～p8 關于β 和LP 的擬合公式參數表Tab.5 Coefficients of fitting formula about p1～p8 corresponding to β and LP

2.4 算例驗證

為驗證修正公式的有效性，分別采用修正公式和非線性有限元法計算8 個加筋板模型，加筋板幾何參數如表6 所示。材料采用理想彈塑性模型，屈服極限為315 MPa，彈性模量為206 000 MPa，加強筋設立在短邊中心處，初始缺陷、邊界條件和載荷按照2.2 節與2.3 節設置。

表6 加筋板算例幾何參數（mm）Tab.6 Geometric parameter values of stiffened plate model

將修正公式和非線性有限元法的計算結果進行比較，如表7 所示。表中數據為無因次化臨界應力和無因次化臨界應變，LP1～LP4依次代表施加0.05 MPa，0.1 MPa，0.15 MPa，0.2 MPa 的側向載荷。從表中可以看出，按照修正公式得到的計算結果與按照非線性有限元法計算結果的相對誤差在10%以內，說明本文得到 的修正公式有效。

表7 修正公式與有限元法計算結果對比Tab.7 Comparison of the results by the modified formula and the finite element method

3 結 語

為計入側向載荷對Smith 法中加筋板單元載荷-端縮規律的影響，采用數值仿真方法，計算192 塊T 型加筋板模型在不同側向載荷和縱向壓縮載荷作用下的載荷-端縮曲線，根據計算結果擬合得到臨界應力和臨界應變的修正公式，對HCSR 規定的T 型加筋板梁柱屈曲狀態下的載荷-端縮曲線進行了修正，得到以下結論：

1）側向載荷對T 型加筋板梁柱屈曲狀態下的載荷-端縮曲線具有顯著影響，較大的側向載荷（LP<0.15 MPa）可使柔度系數較大（β>1.95,λ>0.6）的加筋板極限承載能力下降40%以上。

2）對于柔度系數較?。é?1.45,λ<0.5）的T 型加筋板，由于無側向載荷時加筋板的彎曲方向和側向載荷的方向相反，加筋板的臨界端縮量隨側向載荷的增加呈現先增大后減小的趨勢，拐點通常出現在LP=0.05 MPa～0.1 MPa 范圍內；當β與λ增大時，拐點對應的側向載荷值減小。

3）當β≤1.45,λ≤0.4,LP≤0.1MPa時，側向載荷對T 型加筋板梁柱屈曲狀態下的臨界應力影響較小，在5%以內。