雙約束條件的時(shí)域MVDR 自適應(yīng)波束形成方法

董 晉，胡 鵬，馮金鹿

(中國船舶集團(tuán)有限公司第七一五研究所，浙江 杭州 310023)

0 引 言

波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理的關(guān)鍵技術(shù)之一，在雷達(dá)、聲吶信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在主動(dòng)聲吶陣列信號(hào)處理中，常規(guī)波束形成方法（CBF）主瓣較寬、旁瓣較高，空間分辨力的不足導(dǎo)致CBF 對(duì)多目標(biāo)、弱目標(biāo)的檢測(cè)性能不足。自適應(yīng)波束形成方法擁有較高的空間分辨力，在多目標(biāo)和弱目標(biāo)檢測(cè)上體現(xiàn)了良好的性能，因此研究自適應(yīng)檢測(cè)方法具有重要的意義[1]。

MVDR[2]是已經(jīng)較為成熟的一種自適應(yīng)波束形成方法，傳統(tǒng)MVDR 方法為頻域MVDR，其缺陷是需要較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行累積來保證最優(yōu)權(quán)向量[2]的穩(wěn)定估計(jì)。文獻(xiàn)[3]提到時(shí)域MVDR 方法TMVDR，該方法在構(gòu)造時(shí)域解析信號(hào)的基礎(chǔ)上，對(duì)每一路時(shí)域解析信號(hào)引入復(fù)權(quán)，提高了MVDR 最優(yōu)權(quán)向量估計(jì)的穩(wěn)定性。但在大孔徑主動(dòng)聲吶信號(hào)處理的應(yīng)用環(huán)境中，回波信號(hào)脈寬較短、有效快拍次數(shù)較少以及陣列可能存在的陣型失配等問題，必然會(huì)使MVDR 濾波器的最優(yōu)權(quán)向量估計(jì)存在誤差，最終導(dǎo)致其輸出功率失真，降低了MVDR 的工程實(shí)用價(jià)值。本文在TMVDR 的基礎(chǔ)上加入了誤差恒定和功率恒定2 個(gè)約束條件[4–5]，實(shí)現(xiàn)了一種雙約束條件的時(shí)域MVDR 自適應(yīng)波束形成方法DCTMVDR（Double constraint Time-domain MVDR），本方法對(duì)原本MVDR 無約束的最優(yōu)權(quán)輸出進(jìn)行了誤差恒定和功率恒定的約束補(bǔ)償，在保證較高空間分辨率的同時(shí)有效解決了MVDR 在惡劣環(huán)境下性能下降的問題，提高了算法魯棒性。同時(shí)本方法的協(xié)方差矩陣估計(jì)采用對(duì)角加載法[6]，增加了協(xié)方差矩陣的穩(wěn)定性，進(jìn)一步減少誤差。本方法可以在單個(gè)快拍下實(shí)現(xiàn)最優(yōu)權(quán)向量的穩(wěn)定估計(jì)，在實(shí)際工程中也能體現(xiàn)出較好的性能。

1 TMVDR 原理及主動(dòng)處理的應(yīng)用

假設(shè)主動(dòng)聲吶M個(gè)陣元接受到的時(shí)域數(shù)據(jù)為：

其中，n=1,2,···,N表示時(shí)間采樣點(diǎn)，N表示一個(gè)處理拍快的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。

m=1,2,···,M

假設(shè)為陣元序號(hào)，第m路陣元時(shí)域數(shù)據(jù)可以表示為：

其中，A表示信號(hào)幅值，n0表示回波信號(hào)到達(dá)時(shí)間點(diǎn)，Na表示發(fā)射信號(hào)脈寬長(zhǎng)度，a表示發(fā)射信號(hào)：

其中，*表示共軛，⊙表示Hadamard 積。

則可得到陣列相關(guān)檢測(cè)輸出：

計(jì)算本次快拍下相關(guān)檢測(cè)輸出的協(xié)方差矩陣：

其中，R為M×M矩陣。

假設(shè)TMVDR 濾波器的權(quán)矢量為w，則其輸出可表示為：

其中，H 表示共軛轉(zhuǎn)置。

TMVDR 的約束問題表達(dá)式[3]如下：

其中，I表示M×1維單位向量。

用拉格朗日乘數(shù)法求解式（11）可解得TMVDR 濾波器的最優(yōu)權(quán)矢量：

代入式（10）則可得到TMVDR 濾波器的最優(yōu)權(quán)向量：

需要注意的是由于協(xié)方差矩陣的估計(jì)很難得到滿秩且穩(wěn)定的M×M維矩陣，采用對(duì)角加載方法可以緩解這一問題。

2 DCTMVDR 原理

假設(shè)式（12）中的期望值為單位向量I，當(dāng)協(xié)防差矩陣R的估計(jì)產(chǎn)生誤差時(shí)則必然使得輸出的權(quán)矢量不是最優(yōu)值，導(dǎo)致性能下降。

假設(shè)存在一個(gè)補(bǔ)償權(quán)向量b，對(duì)R進(jìn)行誤差補(bǔ)償后可以使wopt的輸出達(dá)到最優(yōu)。以bˉ=I作為期望值，則以‖b?I‖2≤ε視為誤差上限為 ε的誤差恒定約束條件，以‖b‖2=M視為能量恒定約束條件，因此DCTMVDR的優(yōu)化問題可歸納為如下表達(dá)式：

其中：ε代表b與I之間誤差范圍。我們將給定誤差范圍的b的值域視為一個(gè)以I為圓心、半徑為的球體，DCTMVDR 的原理可以表示為搜索該球體以尋找一個(gè)同時(shí)滿足2 個(gè)約束條件的理想值b?使得算法輸出權(quán)向量wopt的值為最優(yōu)。

在不考慮第二約束條件‖b‖2=M的前提下，利用拉格朗日算法求解式（14），可以得到單約束條件下的解：

其中：IM×M為單位對(duì)角陣。則結(jié)合約束條件一‖b?I‖2≤ε，可得到λ的函數(shù)g(λ)：

對(duì)R進(jìn)行特征值分解，可以得到：

其中 Λ表示由特征值構(gòu)建的對(duì)角矩陣，其中特征值按從大到小排序，即γ1>γ2···>γM，U表示對(duì)應(yīng)各個(gè)特征值的特征向量矩陣。令z=UHI，則式（16）可化簡(jiǎn)為：

利用式（18）可求得 λ。需要注意的是，因?yàn)椤琁‖2>ε，所以由式（16）可得到g(λ)是λ的單調(diào)遞減函數(shù)，且g(0)>ε，故λ≠0。由式（18）得到0<ε，可知對(duì)于式（18）存在 λ的唯一解（λ>0）。由排列方式可知 γM，γ1分別為特征值 γ的最小值和最大值，由式（18）可解得 λ取值范圍的上下界。去掉式（18）分母中的1，可以得到 λ的另一個(gè)上界，故λ取值范圍為：

利用拉格朗日算法求解式（14），可以得到雙約束條件下的最優(yōu)解：

將式（18）得到的 λ代入得到DCTMVDR 的理想補(bǔ)償值。

則DCTMVDR 濾波器的最優(yōu)權(quán)矢量可以表示為：

DCTMVDR 濾波器的最優(yōu)輸出可以表示為：

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

通過數(shù)值仿真進(jìn)行陣列輸出數(shù)據(jù)模擬，分別在理想條件和陣型失配條件下，對(duì)CBF，TMVDR 和DCTMVDR 三種方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證DCTMVDR 的有效性。

1）理想條件下的波束響應(yīng)

仿真條件：進(jìn)行32 元等間距線陣數(shù)據(jù)模擬，發(fā)射信號(hào)模擬頻率為1.2 kHz 的調(diào)頻信號(hào)，帶寬為500 Hz，脈寬為0.2 s，采樣率為15 kHz，仿真單個(gè)目標(biāo)回波，目標(biāo)方位81°，輸入信噪比30 dB。

圖1 仿真結(jié)果表明，在理想條件下，相比較與CBF，TMVDR 和DCTMVDR 擁有更好的空間分辨力和較低的旁瓣級(jí)。而TMVDR 和DCTMVDR 體現(xiàn)的性能基本相同，其中DCTMVDR 的旁瓣級(jí)略低于TMVDR。

圖1 理想條件下CBF，TMVDR，DCTMVDR 的波束輸出Fig.1 Beam output of CBF，TMVDR and DCTMVDR under ideal condition

2）陣型失配條件下的波束響應(yīng)

仿真條件：進(jìn)行80 元等間距線陣數(shù)據(jù)模擬，發(fā)射信號(hào)模擬頻率為2.5 kHz 的調(diào)頻信號(hào)，帶寬為500 Hz，脈寬為0.2 s，采樣率為15 kHz，仿真2 個(gè)目標(biāo)回波，目標(biāo)1 方位81°，輸入信噪比10 dB，目標(biāo)2 方位86°，輸入信噪比15 dB。進(jìn)行陣型失配模擬，在每個(gè)通道加入隨機(jī)的相位擾動(dòng)。

圖2 仿真結(jié)果表明，在條件惡劣的情況下，TMVDR 會(huì)發(fā)生輸出功率失真的現(xiàn)象，相比之下DCTMVDR 輸出功率穩(wěn)定，在保證輸出能量不失真的前提下提高了時(shí)間分辨率，體現(xiàn)了最優(yōu)的性能。

圖2 陣型失配條件下TMVDR，DCTMVDR 的波束輸出Fig.2 Beam output of TMVDR and DCTMVDR under the condition of array mismatch

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

選取某型號(hào)大型拖線陣聲吶實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的1 個(gè)數(shù)據(jù)段作為數(shù)據(jù)分析樣本。通過對(duì)CBF，TMVDR 和DCTMVDR 三種方法進(jìn)行性能比較，驗(yàn)證DCTMVDR 的有效性。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明，選用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中某一周期數(shù)據(jù)，該段數(shù)據(jù)處于陣型輕微失配環(huán)境，截取包括寬帶信號(hào)目標(biāo)回波在內(nèi)的數(shù)據(jù)段，數(shù)據(jù)段長(zhǎng)度為2 s，發(fā)射信號(hào)為寬帶調(diào)頻信號(hào)。

圖3～圖5 為3 種方法的方位歷程圖。由圖可見，回波目標(biāo)位于方位39°、距離0.85 s 的位置（圖中已標(biāo)注），位于80°左右有1 個(gè)強(qiáng)干擾目標(biāo)。CBF 檢測(cè)目標(biāo)較為模糊，TMVDR 檢測(cè)目標(biāo)失敗，DCTMVDR 檢測(cè)目標(biāo)清晰可見。

圖3 CBF 方位歷程圖Fig.3 Azimuth history chart of CBF

圖4 TMVDR 方位歷程圖Fig.4 Azimuth history chart of TMVDR

圖5 DCTMVDR 方位歷程圖Fig.5 Azimuth history chart of DCTMVDR

分析結(jié)果可以表明，CBF 的空間分辨率較低，受到強(qiáng)干擾影響，檢測(cè)出的目標(biāo)較為模糊。由于環(huán)境惡劣，TMVDR 性能下降，沒有能夠檢測(cè)出目標(biāo)。相比較之下，DCTMVDR 不僅擁有更好的空間分辨率，有效地抑制了強(qiáng)干擾的旁瓣，也體現(xiàn)了穩(wěn)健良好的目標(biāo)檢測(cè)性能。

5 結(jié) 語

TMVDR 方法可以有效地提高聲吶波束輸出的空間分辨率、降低旁瓣級(jí)，在大孔徑主動(dòng)聲吶的應(yīng)用環(huán)境下，由于單次快拍協(xié)方差矩陣估計(jì)的不穩(wěn)定性以及可能存在的陣型失配等不確定因素，其存在輸出功率失真的問題，導(dǎo)致其性能下降。相對(duì)于TMVDR，DCTMVDR 在一定程度上能夠有效地避免由于最優(yōu)權(quán)向量估計(jì)誤差導(dǎo)致的性能下降問題，在估計(jì)最優(yōu)輸出的同時(shí)擁有更好的魯棒性。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了DCTMVDR 方法的有效性。