基于參考向量場的車輛隊列二維跟蹤控制算法*

劉 陽，宗長富，鄭宏宇，韓小健，張 東，郭中陽

（1.吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022；2.南洋理工大學機械與宇航工程學院，新加坡 639798；3.江蘇超力電器有限公司，丹陽 212321）

前言

智能網聯汽車利用感知和通信設備，能夠實現車輛的智能決策、規劃跟蹤和執行控制等功能。多輛智能網聯汽車排成一列，通過自適應調整車輛的速度與橫擺角，能夠有效改善車輛的經濟性、安全性，提高道路通行效率。目前車輛隊列協同控制的研究從一維場景逐漸拓展至二維場景，原本的單車道行駛工況變為多車道，且無法忽視車輛行駛過程的縱橫向耦合問題。

當車輛隊列的應用場景進入二維后，所有的車輛節點均須同時實現縱向的間距保持和橫向的路徑跟蹤功能。目前，已有學者針對車輛隊列在二維場景的協同控制方法進行了研究，并將車輛隊列二維場景的協同控制歸納為兩點主要內容：產生跟隨車的特定參考軌跡和設計用于車輛進行特定軌跡跟蹤的控制系統［1］。本文中將主要對后者進行研究與分析。

跟隨車輛軌跡跟蹤的生成方法主要包含兩類：直接跟車法［2-3］和跟蹤領航車行駛路徑的跟蹤控制方法［4-5］。與直接跟車法相比，將領航車的參考路徑或行駛路徑作為隊列中其它車輛節點的參考路徑時，能夠實現車輛節點間橫向跟蹤解耦，避免了橫向跟蹤誤差隨著隊列系統的傳遞而增加。

已有特定間距策略與期望參考軌跡時，車輛隊列的分布式運動控制器須同時進行縱向與橫向的跟蹤控制。Rajesh等在考慮車輛非線性動力學特性、隊列穩定性的條件下，實現高速工況下的跟蹤控制，并在通信受限的環境下完成分離與合并工況［6］。Papadimitriou等開發了一種基于前車橫向位置的隊列內車輛節點橫向跟蹤控制器，提出在多車輛隊列系統中，需要車間通信技術來避免多隊列系統橫向誤差傳播的放大效應，并利用乘用車和商用車試驗與仿真數據證明了算法的有效性［7］。在進一步的研究中分析了在車間通信受限環境對軌跡跟蹤與縱向間距保持的影響［8］。Awawdeh等基于“預瞄距離”的策略，考慮車輛的運動學模型、軌跡曲率和允許的距離誤差條件下生成了跟隨車的參考軌跡并進行橫向跟蹤控制，仿真結果表明，該方法能夠從根本上減少隊列在橫向及縱向的波動效應［9］。Khatir等針對車輛隊列在二維場景中的控制，將隊形策略總結為“直線隊形”和“側面隊形”兩種，以牽引力和車輪轉角為控制變量對車輛節點進行分布式控制，并實現了預設的特定任務［10］。Fujioka和Suzuki為了實現隊列的橫向與縱向控制，構建了包括發動機、自動變速器和輪胎在內的縱向動力學模型，并結合3自由度動力學模型設計了滑模控制器（slide mode controller，SMC）［11］。

當領航車為人為駕駛時，領航車的路徑無法通過通信播報給隊列中的跟隨車輛，通過分布式的局部控制方法會引起橫向跟蹤偏差累積的問題。Solyom等［12］針對誤差積累性效應，提出了側向隊列穩定性概念，設計了保證橫向隊列穩定性的分布式控制方法并探究了模型不確定性對穩定性的影響［12］。上述研究中，部分數據無法由被控車輛直接獲取并用于分布式控制。針對該問題，McAree等提出了一種車輛隊列的橫向控制策略，通過車間通信設備在無法通過車載傳感器獲得前車位置與速度時進行控制，并在傳感器和驅動存在延遲的情況下保證隊列穩定性［13］。劉志強等為提高換道的安全性、穩定性和換道效率，提出了一種在智能網聯條件下的多車協同換道策略，利用滾動時域優化算法對優化控制問題進行了動態求解，但該研究未探討算法的實時性能否滿足實際應用要求［14］。

根據二維場景中縱向控制器與橫向控制器是否為集成式，車輛隊列車輛節點的運動控制可分為獨立式和耦合式。其中，獨立式的運動控制器中，縱向速度控制與橫向的軌跡跟蹤相對獨立，忽略了橫縱向運動之間的耦合效應［15］，如Caruntu等提出一種利用模型預測控制（model predicted controller，MPC）進行縱向跟蹤，并單獨設計了比例積分控制器進行橫向跟蹤［16］，然而MPC計算復雜度高，需要占用較多的計算資源，依賴于高性能的計算單元［17］；耦合式的運動控制方法考慮了車輛在縱向、橫向與橫擺運動的耦合，并在同一控制器中同時進行控制變量的決策，實現縱向間距保持與橫向的軌跡跟蹤［18］。

綜上所述，針對二維場景車輛隊列的跟蹤控制研究采用的控制方法主要為縱向與橫向的單獨控制，未考慮縱向間距與橫向路徑跟蹤功能的集成控制。為解決二維場景中車輛隊列跟蹤控制中的縱、橫向耦合問題，本文中基于參考向量場，提出通過車間通信獲得領航車參考軌跡，并作為跟隨車輛期望軌跡的策略，開發了二維場景下保證車輛隊列實現縱向間距保持與橫向跟蹤功能的運動控制算法，利用哈密爾頓函數，以最小化速度矢量和橫擺角速度跟蹤誤差為目標，構建跟蹤控制目標函數進行求解，可實現橫向、縱向和橫擺運動的耦合最優控制；通過有約束偽逆矩陣法將車輛運動總力分配至各個車輪，解決了物理環境約束與執行器飽和下的輪胎力控制分配問題。

1 參考向量場與動力學模型

2002年，Gordon提出了一種基于速度反饋的自動駕駛車輛駕駛員模型，通過建立參考向量場（reference vector field，RVF），利用非線性反饋控制，實現了車輛的路徑跟蹤。該方法被廣泛應用于路徑規劃與跟蹤、障礙物避撞等方面的研究。在后續的研究中，該方法被進一步拓展應用于車輛隊列的跟蹤控制中［4］，其主要原理如下。

假設車輛運動被限定在二維平面中，且作為一個運動的質點進行分析。該質點具有縱向和橫向兩個自由度。車輛的質點動力學模型采用雙積分器式，因此系統的控制量被選擇為加速度，如式（1）所示。參考向量示意圖如圖1所示，Sd代表參考車輛與被控車輛之間的理想間距。則構建一條由被控車輛當前位置指向路徑中期望點的速度向量ω。向量ω可以描述為

圖1 參考向量示意圖

式中：R為當前位置與期望位置的實際距離；S為路徑坐標系中車輛與期望點之間的縱向跟蹤誤差；v為速度向量的模，在進行路徑跟蹤時往往設定為固定值。顯然，當參考車輛沿著直線行駛時，有R=

為了保證縱向間距的可控性，需要建立參數v與縱向間距保持的緊密聯系。結合誤差動力學模型，令參數v為

式中：vg為參考車的速度向量；k為調整縱向跟蹤誤差的權重系數。

參考速度向量和實際速度向量之間的誤差為

為了使得路徑跟蹤與間距跟蹤的誤差收斂，對式（3）進行微分：

其中?ω=( ?ωx?x，?ωy?y)

當存在初始速度誤差時，車輛在考慮縱向、橫向、橫擺方向的速度變化時，3自由度動力學模型為

式中：vx、vy和φ分別為車輛的縱向速度、橫向速度和橫擺角；x、y分別為車輛縱向、橫向位置；Fx、Fy分別為車輛所受的縱向力與橫向力；Mz為車輛的轉動力矩；I為車輛轉動慣量。

2 哈密爾頓參考向量場跟蹤控制算法

普通的RVF跟蹤算法基于質點動力學模型，無法同步決策橫擺方向的運動。考慮車輛隊列中車輛節點的縱向、橫向與橫擺方向的運動耦合效應，本文中以最小化縱向間距與橫向路徑跟蹤控制為目標，提出一種結合哈密爾頓函數的哈密爾頓參考向量場（Hamilton?reference vector field，H?RVF）跟蹤控制算法。

描述車輛橫向、縱向、橫擺運動的方程為非線性，因此利用泰勒展開并忽略高階項，對其進行線性化，形成狀態空間方程，如式（6）所示。

其中：

使用歐拉法對連續系統進行離散化，如式（7）所示。

其中：A t=(I+T)A

參 考 量Yref=[vxref，vyref，φref]T，則 反 饋 量Y=

構建哈密爾頓函數：

其中

最終基于H-RVF求得的輸出U(t+1)為

3 有約束控制分配

在跟蹤控制算法決策出車輛運動總力、總力矩后，須將運動控制器中輸出的虛擬力、力矩分配到各個車輪。進行控制分配時，須考慮物理環境的約束，并進行合理假設。行駛在水平面的3自由度車輛主要物理約束包括：

（1）當車輛的后輪無法主動轉向時，左右車輪轉角為0，此時后輪輪胎力主要由被控車輛的質心側偏角決定；

（2）左右車輪的轉角變化率相同，在不考慮阿克曼轉角的情況下，認為左輪轉角等于右輪轉角。

此時，該物理約束可以通過式（12）簡化表示。

車輛雙軌3自由度動力學模型如圖2所示，每個車輪的橫縱向輪胎力會形成車輛總力，二者之間滿足關系：

圖2 車輛雙軌3自由度動力學模型示意圖

其中：

矩陣N會隨著車輪轉角而變化，為了將其視為線性方程進行求解，本文中假設每一個計算輪胎力的采樣周期內車輪轉角不變。

本文中將提出一種基于加權偽逆矩陣的控制分配方法，考慮輪胎力飽和與物理約束的前提下，找到F矩陣，使NF-V誤差最小：

式中：vd為期望控制指令，在進行輪胎力控制分配時等于矩陣V；u為控制量；ud為期望的操縱面參考位置。

定理：對于任意虛擬指令vd，如果操縱面期望位置ud已知，且權值矩陣W對稱正定，則加權偽逆分配模型的最優分配率為

式中上標#表示Moore?Penrose逆，即偽逆。

證明：上式為目標函數的最優解。

構造哈密爾頓函數：

式中λ為拉格朗日乘子，λ=[λ1，λ2，…，λn]。

將式（16）對u求偏導并使其等于0，則

對λ求偏導，并使其等于0，并將式（17）代入，則

最終可以得到

式中：W為正定對稱矩陣；u=(I-GN)ud+Gvd；G=W-1(NW-1)#。

本方法利用該權重矩陣，可以通過調節權重矩陣獲得不同滿足條件的解。最終的控制量由式（19）求得。

在考慮傳統前輪轉向汽車物理約束時，將式（12）與式（13）結合，重新構建vd和N矩陣的拓展矩陣，如式（20）和式（21）所示。

則考慮物理等式約束的加權偽逆矩陣算法控制量可以通過式（22）獲得。

上述算法中，未考慮執行器飽和對輪胎力分配的約束。不同的附著條件對執行器飽和約束的要求不同，為使輪胎力控制分配的效果滿足執行控制的需求，本文中結合摩擦圓對加權偽逆矩陣分配的輪胎力進行了進一步的修正，如圖3所示，修正公式如式（23）所示。

圖3 摩擦圓修正

4 仿真分析與驗證

為驗證本文中提出算法的有效性，采用駕駛模擬器進行仿真和實驗驗證。驗證包括3部分：H?RVF縱橫向耦合跟蹤控制算法驗證；控制分配算法驗證；基于駕駛模擬器的車輛隊列縱橫向耦合跟蹤控制算法驗證。基于駕駛模擬器的隊列縱橫向耦合跟蹤控制實驗原理如圖4所示。領航車的駕駛由人類駕駛員完成，分別實現縱向速度控制與橫向雙移線路徑跟蹤；跟隨車由本文中提出的縱橫向耦合跟蹤控制算法進行控制。

圖4 車輛隊列駕駛仿真模擬器原理圖

4.1 縱橫向耦合跟蹤算法對比驗證

為了驗證利用哈密爾頓函數對參考向量場的改善度，本文中分別構建了H?RVF和MPC，并將其應用于車輛隊列的跟蹤控制。選擇了雙移線（double lane change，DLC）工況，并在變化的行駛速度下進行了路徑跟蹤控制。其中，控制器的關鍵參數如表1所示［28］。

表1 控制器關鍵參數

圖5為MPC和HRVF在縱向速度變化時的期望速度跟蹤曲線。由圖可知，HRVF和MPC在進行了穩定的跟蹤后發生了抖動。該抖動的產生原因為橫向的速度變化對縱向速度的耦合效應。通過縱橫向耦合跟蹤控制算法，保證了縱向速度始終通過縱向力的調整，避免對期望速度的跟蹤誤差偏離過大。

圖5 縱向速度對比圖

圖6為HRVF和MPC的橫向軌跡跟蹤對比曲線。由圖可知，MPC通過多個時域內的誤差綜合優化，減小了橫向跟蹤過程中誤差跟蹤波動，因此更加穩定。HRVF通過跟蹤期望的速度向量，使其對誤差的變化更加敏感，避免了較大的跟蹤誤差，然而出現了小幅度的誤差波動。

圖6 軌跡跟蹤對比圖

在對比算法的復雜度時，常使用時間復雜性來描述算法計算時間與變量數目的關系。表2為MPC與HRVF的算法實時性事后法對比（sec/sim.sec表示單位仿真時間使用的現實時間）。由表可知，HRVF的實時性遠優于MPC，因此更加適用于實車的應用。

表2 耦合跟蹤控制方法實時性對比

4.2 控制分配算法驗證

本節內容將對比極限工況下線性二次規劃控制分配法和加權偽逆矩陣分配法的控制分配性能，評價指標包括計算速度、分配誤差和最大輪胎利用率等。其中，計算速度用于描述不同控制分配方法的計算實時性，分配誤差用于描述控制分配方法將期望的虛擬控制信號分配的控制精度；最大輪胎力利用率描述輪胎能量耗散率和輪胎力穩定裕度。

在極限工況下，垂向載荷偏移導致的不同輪胎摩擦圓極限，并使輪胎力達到飽和。輪胎力飽和現象會使車輛進入失穩狀態，造成極大的安全隱患。輪胎力飽和約束如式（24）所示。

為了對比本文中提出的控制分配算法在分配精度、實時性和輪胎力利用率等方面的具體性能，分別采集了輪胎力分布圖和輪胎力利用率圖。

圖7和圖8分別表示了不同控制分配方法各輪胎力離散點的分布情況。顯然，在線性二次規劃和加權偽逆矩陣等方法的控制分配下，車輛的輪胎力的分布較為集中，且分布范圍最窄。

圖7 線性二次規劃輪胎力分配結果

圖8 加權偽逆法輪胎力分配結果

圖9和圖10分別為兩種控制分配方法下的輪胎力利用率。由于選擇了較為極限的仿真工況，因此最大輪胎利用率接近并達到了100%。線性二次規劃表現出較好的性能，最大輪胎力利用率均在99.57%以內。加權偽逆矩陣法輪胎力利用率未超過100%，出現該現象的原因為加權偽逆矩陣添加了摩擦圓修正部分。雖然再分配修正法最大輪胎力利用率也較大，但是由于其存在摩擦圓修正，因此可以保證其分配的輪胎力滿足摩擦圓約束條件。此外，兩種方法均存在抖動，該抖動主要由上層的運動控制算法導致，與車輛的運動狀態相關。通過調整控制分配算法中的權重系數，抖動可以得到有效的抑制。

圖9 線性二次規劃輪胎力利用率

圖10 加權偽逆法輪胎力利用率

上述兩種控制分配的方法在仿真中的數據匯總和對比如表3所示。時間復雜性體現了算法在計算過程中的實時性，由表可知，基于偽逆矩陣的控制分配算法實時性優于基于線性二次規劃的控制分配算法，且平均輪胎力利用率較為相似，未出現顯著劣勢。綜上所述，基于加權偽逆矩陣的控制分配算法在滿足物理約束的條件下，能夠同時保證較小的輪胎力利用率和分配誤差，并大大改善了控制分配算法的實時性。

表3 控制分配方法對比

4.3 車輛隊列橫縱向耦合跟蹤控制算法驗證

為了驗證HRVF在車輛隊列中的性能，本文中通過駕駛模擬器對其進行了隊列協同控制實驗。圖11為雙移線場景中，車輛隊列橫縱向跟蹤過程中的縱向加速度曲線。當前車加速或減速時，加速度幅值如果逐漸放大，會導致隊列下游車輛由于執行器飽和而無法實現期望的控制結果，進而導致安全性問題。圖中紅色箭頭表明了縱向加速度幅值隨車輛隊列傳遞的變化趨勢。在整個過程中，加速度幅值隨著隊列傳遞逐漸的減小，表明在當前方法的控制下，車輛隊列能夠滿足隊列穩定性。

圖11 車輛隊列縱向加速度曲線

圖12體現了行駛過程中，車輛隊列縱向間距保持能力。圖中，跟隨車與前車的間距均在期望間距附近變化，并未隨著圖11中領航車加速度的變化產生較大的跟蹤誤差。此外，間距的跟蹤誤差未隨著車輛隊列的傳遞而放大。上述結果表明：本文中提出的H-RVF跟蹤控制算法能夠有效保證隊列的穩定性的要求。

圖12 車輛隊列縱向間距變化

車輛隊列最終行駛軌跡如圖13所示。在當前速度下，跟隨車未表現出明顯的振蕩效應與跟蹤誤差。表明本文中提出的縱橫向耦合跟蹤控制算法具有較好的橫向路徑跟蹤控制精度。

圖13 車輛隊列各車輛行駛軌跡圖

5 結論

本文中結合基于參考向量場的縱橫向耦合跟蹤控制算法，針對參考向量場中質點動力學模型無法進行橫擺力矩決策的問題，提出了結合哈密爾頓函數和參考向量場的HRVF車輛隊列縱橫向耦合跟蹤控制算法。針對有約束的控制分配算法，本文中提出了基于偽逆矩陣的循環再分配算法。通過仿真分析，得出結論如下：

（1）基于偽逆矩陣的再循環控制分配法，能夠在保證分配精度的前提下，大幅改善計算實時性，并滿足了外界環境的約束條件；

（2）HRVF與MPC的對比表明HRVF在保證縱向與橫向跟蹤精度的前提下，極大地改善了計算實時性，使其更具有應用的可行性。

（3）在二維場景下車輛隊列的縱橫向耦合跟蹤中，本文提出基于參考向量場的跟蹤控制算法實現了縱向間距與橫向跟蹤的集成控制，避免了跟蹤誤差在橫向與縱向的累積放大效應，保證了協同控制的安全性和穩定性。