非線性赤道Rossby波動演化的變系數(shù)mKdV模型

陳利國 王子元

摘 要：在beta平面近似下，基于刻畫近赤道Rossby波的正壓位渦度大氣方程，利用Gardner-Morikawa（G-M）變換和小參數(shù)攝動展開法，推導(dǎo)出時間變系數(shù)非線性修正Korteweg-de Vries （mKdV）方程去刻畫赤道Rossby波的演化。利用輔助方程法，獲得變系數(shù)mKdV方程的孤立波解。通過理論模型和孤立波解分析得到beta效應(yīng)和切變基本流是赤道Rossby孤立波演化的重要因素。

關(guān)鍵詞：赤道Rossby波;mKdV方程;beta效應(yīng);切變基本流

中圖分類號：O29;P433;O175 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）06-0001-05

1 引言

天氣現(xiàn)象、氣候變化以及海洋動力學(xué)的諸多問題均可歸結(jié)為非線性Rossby波動演化問題，如大氣環(huán)流阻塞、厄爾尼諾現(xiàn)象、南方濤動以及墨西哥灣流等[1-4]。Rossby波動力學(xué)的理論研究一直是國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注熱點。研究者基于各種不同的方程或方程組，利用多重尺度法和弱非線性等數(shù)學(xué)方法，建立各種非線性數(shù)學(xué)模型去刻畫大氣和海洋中非線性Rossby波演化機制，去解釋大氣和海洋運動中的一些波動現(xiàn)象。最早，Long[5]在正壓流體中獲得了非線性Rossby波振幅演變滿足的經(jīng)典KdV方程。隨后，Wadati和Redekopp[6，7]推廣了Long的研究，在正壓流體和分層流體中獲得了mKdV方程。Ono[8]推導(dǎo)出Beniamin-Davis-Ono（BDO）方程刻畫Rossby振幅演變的代數(shù)孤立波。國內(nèi)學(xué)者從描述非線性Rossby波的正壓準地轉(zhuǎn)位渦方程出發(fā)，利用多重尺度法，獲得了各種經(jīng)典模型去研究Rossby波的演化機制，特別是非線性效應(yīng)和頻散效應(yīng)。研究基本流、beta效應(yīng)和推廣的beta效應(yīng)，以及外源、耗散和Coriolis力水平分量等物理因素對Rossby波的影響。Meng等[9]得到了強迫Boussinesq方程，研究了地形和外源對非線性Rossby波的影響。蔣后碩等[10]進一步研究了切變基本流和地形效應(yīng)對Rossby波的形成和發(fā)展的影響。呂克利等[11]獲得了廣義KdV-Burgers方程，分析了外源和孤波對局地阻塞影響的原因。宋健等[12，13]提出了推廣的beta效應(yīng)，研究推廣beta效應(yīng)和地形都能產(chǎn)生非線性效應(yīng)。楊紅衛(wèi)等[14]考慮地形和耗散因素對Rossby波影響， 研究了地形對大氣阻塞現(xiàn)象。尹曉軍等[15]研究了Coriolis力水平分量和外源作用下的Rossby波的模型。陳利國等[16]建立帶有外源和耗散強迫的Boussinesq模型，并得到周期波解和孤立波解。從淺水方程組出發(fā)，羅德海[17]建立了Benjamin-Ono（BO）方程描述代數(shù)孤立波。劉式適等[18]指出半地轉(zhuǎn)近似體現(xiàn)了非線性特征。何建中[19]在半地轉(zhuǎn)近似下，利用相函數(shù)方法得到緯向切變氣流中非線性Rossby波的孤立波解。

非線性赤道Rossby波的理論研究能夠為低緯度大尺度波動和天氣現(xiàn)象提供動力學(xué)理論基礎(chǔ)，為實際天氣和氣候提供研究價值。但是，赤道Rossby波的理論模型和演化機制的研究并不多。從大氣原始方程組出發(fā)，采用多重尺度法，Boyd[20，21]得到KdV方程和mKdV方程。張瑞崗等[22]研究了地形效應(yīng)對近赤道非線性Rossby波的影響。趙強等[23，24]從正壓位渦度方程出發(fā)，采用長波近似中多尺度變換分別推導(dǎo)了描述赤道非線性Rossby孤立波和包絡(luò)孤立波演變的KdV方程和Schr？觟dinger方程，研究表明切變基本流是孤立波存在的必要條件。付遵濤[25]推導(dǎo)了時間變系數(shù)KdV方程刻畫近赤道非線性Rossby波演變問題，并利用Jacobi橢圓函數(shù)展開法得到孤立波解。宋健等[26]研究了推廣beta效應(yīng)下的赤道Rossby孤立波包的Schr？觟dinger方程。

對于非線性波動演化的動力學(xué)模型，需要對模型進行求解，進一步揭示Rossby波動運動本質(zhì)和物理機制，通過建立的理論模型和求解結(jié)果為大氣動力、天氣現(xiàn)象及天氣預(yù)報等提供理論依據(jù)和研究價值。然而，大多數(shù)動力學(xué)模型都是非線性較強的偏微分方程，很難找到解析解，特別是變系數(shù)的非線性偏微分方程。因此，對于求解非線性偏微分方程的解析解或數(shù)值解也是一個研究熱點課題。針對不同的方程，學(xué)者們做了許多工作并獲得了各種求解方法，特別是孤子解[27-32]。

本文在beta平面近似下，從正壓大氣位渦度方程出發(fā)，利用G-M變換和小參數(shù)攝動展開法，推導(dǎo)刻畫非線性赤道Rossby波的數(shù)學(xué)模型，即時間變系數(shù)mKdV方程，該模型是已有研究結(jié)果的推廣。再利用輔助方程法尋找變系數(shù)mKdV方程的孤立波解。最后通過理論模型和孤立波解分析非線性赤道非線性Rossby波演化機制。

方程（26）是關(guān)于時間T的變系數(shù)mKdV方程，是刻畫非線性赤道Rossby波振幅演變的數(shù)學(xué)模型，系數(shù)I1（T），I2（T）由方程（23）和（24）解？覬1，？覬2，緯向切變基本流U（y）和？茁確定。I1（T）表示非線性項系數(shù)關(guān)于時間T的函數(shù)，這表明beta效應(yīng)？茁和切變基本流U（y）都是產(chǎn)生非線性因素，能夠誘導(dǎo)赤道Rossby孤立波的形成。I2（T）表示線性Rossby波的頻散項。當I1（T）=I2（T）=常數(shù)時，方程（26）就是經(jīng)典mKdV方程。另外，方程（26）是文獻[25]結(jié)果的推廣。

3 時間變系數(shù)非線性mKdV方程的孤立波解

下面利用輔助方程法[31]求解方程（26）的孤立波解，進一步解釋物理因素對赤道Rossby波動的影響及其波動的運動本質(zhì)。

由孤立波解（32）和（33）可知，非線性項系數(shù)I1（T）不等于零是非常重要的條件，從而說明beta效應(yīng)？茁和切變基本流U（y）都是產(chǎn)生非線性重要因素。從孤立波波速（34）來看，頻散項系數(shù)I2（T）所確定的beta效應(yīng)？茁和切變基本流對波速有重要的影響。因此，beta效應(yīng)和切變基本流是赤道Rossby孤立波演化的重要因素。

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了時間變系數(shù)mKdV方程模型去刻畫非線性赤道Rossby波的演邊和發(fā)展，是已有結(jié)果的推廣。再利用輔助方程法得到變系數(shù)mKdV方程的孤立波解。通過獲得模型和孤立波解理論分析得到beta效應(yīng)和切變基本流是赤道Rossby孤立波產(chǎn)生重要因素，對赤道Rossby波生成和演化有重要影響。

參考文獻：

〔1〕Maxworthy T， Redekopp L. G.. New theory of the Great Red Spot from solitary waves in the Jovian atmosphere[J]. Nature， 1976，260（5551）： 509-511.

〔2〕羅德海，季立人.大氣阻塞形成的一個理論[J].中國科學(xué)（B輯），1989，33（03）：323-333.

〔3〕Horel J. D.， Wallace J. M.. Planetary-scale atmospheric phenomena associated with the Southern Oscillation[J]. Mon. Weather. Rev. 1981，109 （04）：813-829.

〔4〕Flierl G. R.. Baroclinic solitary waves with radial symmetry[J]. Dyn. Atmos. Oceans.， 1979，（03）： 15–38.

〔5〕Long R R. Solitary waves in the westerlies[J]. J. Atmos. Sci.， 1964， 21（03）： 197-200.

〔6〕Wadati M.. The modified Korteweg-de Vries equation[J]. J. Phys. Soc. Japan.， 1973，34 （05）：1289-1296.

〔7〕Redekopp L. G.. On the theory of solitary Rossby waves[J]. J. Fluid. Mech.， 1977，82（04）：725-745.

〔8〕Ono H.. Algebraic Rossby wave soliton[J]. J. Phys. Soc. Japan.， 1981， 50（08）： 2757-2761.

〔9〕Meng L.， Lv K. L.. Nonlinear long-wave disturbances excited by localized forcing[J]. Chin. J. Comput. Phys.， 2000，17 （03）： 259-267.

〔10〕蔣后碩，呂克利.切變氣流中地形強迫激發(fā)的非線性長波[J].高原氣象，1998，17（03）：231-244.

〔11〕呂克利，蔣后碩.外源和孤波的相互作用對阻塞形成的影響[J].應(yīng)用氣象學(xué)報，1998，9（04）：431-440.

〔12〕Song J， Yang L. G.. Modified KdV equation for solitary ?Rossby waves with β effect in barotropic fluids[J]. Chin. Phys B.， 2009，18 （07） ：2873-2877.

〔13〕宋健，劉全生，楊聯(lián)貴.切變緯向流中β效應(yīng)與緩變地形Rossby波[J].物理學(xué)報，2012，61（21）：210510.

〔14〕Yang H.W.， Yang D. Z.， Shi Y. L.， Yin B. S.. Interaction of algebraic Rossby solitary waves with topography and atmospheric blocking[J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 2015，71（05）： 21-34.

〔15〕尹曉軍，楊聯(lián)貴，宋健，等.完整Coriolis力作用下帶有外源強迫的非線性KdV方程[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2017，38（09）：1053-1060.

〔16〕陳利國，楊聯(lián)貴.推廣的β平面近似下帶有外源和耗散強迫的非線性Boussinesq方程及其孤立波解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2020，41（01）：98-106.

〔17〕Luo D. H.. On the Benjamin-Ono equation and its generalization in the atmosphere[J]. Science in China， Ser. B， 1989， 32（10）：1233-1245.

〔18〕劉式適，劉式達.半地轉(zhuǎn)近似下的非線性波[J].氣象學(xué)報，1987，45（03）：258-265.

〔19〕何建中.緯向切變基流中的非線性正壓Rossby波[J].氣象學(xué)報，1994，52（4）：433-441.

〔20〕Boyd J. P.. Equatorial solitary waves. Part1：Rossby solitons[J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 1980， 10（11）：1699-1718.

〔21〕Boyd J. P.. Equatorial solitary waves. Part 2： Rossby solitons [J]. J.Phys. Ocean.， 1983， 13 （03）： 428-449.

〔22〕張瑞崗，楊聯(lián)貴，宋健，等.地形作用下的近赤道非線性Rossby波[J]，地球物理學(xué)進展，2017，32（04）：1532-1538.

〔23〕趙強，劉式達，劉式適.切變基本緯向氣流中非線性赤道Rossby長波[J].地球物理學(xué)報，2000， 43（06）：746-753.

〔24〕趙強，劉式達，劉式適.切變基本緯向氣流中非線性赤道Rossby包絡(luò)孤立波[J].大氣科學(xué)，2001，25（01）：133-141.

〔25〕Fu Z.T.， Liu S.K.， Liu S.D.. Equatorial Rossby solitary wave under the external forcing[J]. Commun. Theor. Phys. 2005， 43：45-48.

〔26〕宋健，姜楠，楊聯(lián)貴.切變基本緯向流中β效應(yīng)的赤道Rossby孤立波包[J].物理學(xué)報，2011（02）：024701.

〔27〕劉式適，劉式達.數(shù)學(xué)物理中的非線性方程（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.

〔28〕Fu Z. T.， Liu S. K.， Liu S. D.， Zhao Q.. New Jacobi elliptic function expansion and new ?periodic solutions of nonlinear wave equations[J]. Phys.s Lett A.， 2001， 290 （02） ：72-76.

〔29〕付遵濤，劉式達，劉式適，等.含變系數(shù)或強迫項的KdV方程的新解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25（01）：67-73.

〔30〕Hong B. J.， Lu D. C.. New exact solutions for the generalized variable-coefficient Gardner equation with forcing term[J]. Appl. Math. Comput.， 2012， 219： 2732-2738.

〔31〕Zhang. Y.， Lai S.Y.， YinJ.， Wu.Y.H.. The application of the auxiliary equation technique to a generalized mKdV equation with variable coefficients[J]. J.Comput.Appl. Math.， 2009， 223：75-85.

〔32〕Hereman W.， Nuseir A.. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differential equations[J]. Math. Comput. Simul.， 1997， 43 （01）： 13-27.

〔33〕Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics[M]. Springer， New York， 1979： 604.