改進(jìn)的LMS算法對(duì)二階信號(hào)的線性預(yù)測

唐巧玲 何夢(mèng)雨

（內(nèi)江師范學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

1 概述

濾波就是從有干擾的信號(hào)中得到有用的信號(hào)。濾波理論則是對(duì)其過程進(jìn)行了系統(tǒng)的檢測，利用某種統(tǒng)計(jì)方法得出的一種理論估計(jì)的方法。傳統(tǒng)的濾波器的頻率是固定的，屬于經(jīng)典濾波器，隨著社會(huì)快速發(fā)展，經(jīng)典的傳統(tǒng)濾波已不適用近代的發(fā)展。因而根據(jù)輸入信號(hào)可以按照系統(tǒng)的需求來調(diào)整參數(shù)、改變頻率的自適應(yīng)濾波器得到了大眾的肯定，憑借著其計(jì)算簡單、收斂速度快等特點(diǎn)，適用范圍也變得更為寬廣，從而能從多方面的滿足人們需求，進(jìn)而得以發(fā)展。如今自適應(yīng)算法也在根據(jù)人們的需求逐步優(yōu)化，盡可能的達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。

2 自適應(yīng)濾波器

自適應(yīng)濾波器原理:

自適應(yīng)濾波器是根據(jù)輸入信號(hào)自動(dòng)調(diào)整系統(tǒng)性能，并進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理的數(shù)字濾波器。在設(shè)計(jì)階段，需明確其結(jié)構(gòu)和系數(shù)的更新自適應(yīng)算法[1]；在應(yīng)用階段，則需對(duì)每一個(gè)采樣點(diǎn)除了完成濾波外還需更新濾波器系數(shù)以用于下一個(gè)樣點(diǎn)。因此自適應(yīng)濾波器的系數(shù)不是一成不變的，其它濾波器與自適應(yīng)濾波器在這一點(diǎn)上有著最根本的區(qū)別。自適應(yīng)濾波器的原理圖如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理圖

在自適應(yīng)濾波器中濾波器參數(shù)w(n),是隨著期望響應(yīng)d(n)、輸入信號(hào)x(n)的變化而變化的。但是為了簡便理論分析，本文假設(shè)w(n)不是隨機(jī)變化的。因此，均方誤差曲面可表示為：

J(n)=E[e2(n)]=E[d2(n)]-2rxdT(n)+wT(n)Rx(n)w(n)。

若均方誤差要取得最小值，則濾波器的系數(shù)矢量w(n)需滿足條件為：RX(n)w(n)=rxd(n)

由此可解得濾波器的最優(yōu)系數(shù)：wopt(n)=Rx-1(n)rxd(n)

上述濾波器最優(yōu)系數(shù)的求解方法是遞推算法，即最速下降法。最速下降法是根據(jù)函數(shù)曲面的一點(diǎn)，沿著曲面方向向下搜索最低點(diǎn)的過程，曲面的負(fù)梯度方向則是最陡梯度的方向。首先選取曲面的一點(diǎn)為初始點(diǎn)，此點(diǎn)對(duì)應(yīng)于初始系數(shù)矢量w(0),再從該點(diǎn)的負(fù)方向梯度搜索到第一點(diǎn)，再到第二點(diǎn)。以此類推，當(dāng)點(diǎn)數(shù)足夠大時(shí)可將其收斂到曲面最低點(diǎn)，即wopt。此過程中遞推與時(shí)間無關(guān)系，但是為了使自適應(yīng)濾波器便于實(shí)現(xiàn)，本文視這個(gè)過程和時(shí)間同步。根據(jù)以上概念可得系數(shù)矢量滿足：

其中：

引入變量c(n)可以得到：w(n)-wopt=c(n)；c(n+1)=(I-uRx)c(n)

由此可知，若Rx為對(duì)角陣，濾波器中各系數(shù)分量間不會(huì)出現(xiàn)耦合。即Rx=Q^QH；其中^=diag{λ1，λ1···λm},λk≥0，k=1,2···,m；Q=[q1q2···qm],QQH=I；QH=Q-1。

設(shè)一中間變量v(n),得到系數(shù)的迭代公式為：

v(n)=QHc(n)=QH(w(n)-wopt)；v(n+1)=(I-u^)v(n)。

在|1-uλk|<1的條件下，從0開始遞推，當(dāng)v(n)趨近于0時(shí)，w(n)趨近于wopt。如果步長滿足0

τ≈λmax/2αλmin。

由上式可知，如果輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣的特征值分布十分接近，則收斂速度較快。反之則收斂速度較慢。通過推算，可知均方誤差的時(shí)間函數(shù)為：

當(dāng)J(n)趨近于Jmin時(shí)，輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣特征值的分布對(duì)于衰減速度和均方誤差的影響都是相同的。而這是由于均方誤差和權(quán)系數(shù)的每一項(xiàng)時(shí)間常數(shù)他們的數(shù)值關(guān)系為1/2。

3 算法原理

3.1 LMS算法

盡管利用最速下降法可以達(dá)到最佳濾波，但是在迭代運(yùn)行過程中需要預(yù)知其自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矢量。在實(shí)際情況下這是難以達(dá)到的，因此為了構(gòu)造真正的自適應(yīng)算法，需要對(duì)其進(jìn)行估量。最傳統(tǒng)的方法就是利用自相關(guān)矩陣和互相關(guān)矢量的瞬時(shí)值來代替平均值，即：

梯度的估計(jì)值為：

根據(jù)最速下降法系數(shù)的遞推公式可得：

w(n+1)=w(n)+ux(n)e(n)

LMS算法的實(shí)現(xiàn)主要分為三步，第一要確定系統(tǒng)參數(shù)，全局的步長參數(shù)以及濾波器的抽頭數(shù)，即濾波器的階數(shù)。然后對(duì)濾波器的初始值進(jìn)行初始化，最后將運(yùn)行過程中的數(shù)據(jù)傳入自適應(yīng)算法，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后得到新的濾波器參數(shù)。

輸出信號(hào)的表達(dá)式如下：y(n)=wT(n)x(n)

誤差估值為：e(n)=d(n)-y(n)

更新的濾波器參數(shù)為：w(n+1)=w(n)+ux(n)e(n)

為了保證其收斂性和穩(wěn)定性，在LMS算法中，自適應(yīng)步長因子u的取值必須滿足條件：0

從上述公式可得出，LMS算法在結(jié)構(gòu)方面簡單，計(jì)算量小且相對(duì)穩(wěn)定。但是這種固定步長的LMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的要求是相互矛盾的。為了解決這一矛盾，出現(xiàn)了許多變步長的LMS算法[2]。

3.2 NLMS算法

NLMS算法是對(duì)傳統(tǒng)的LMS算法的改進(jìn)，是利用抽頭輸入信號(hào)矢量的功率來對(duì)步長進(jìn)行歸一化。在NLMS算法中，可以根據(jù)輸入信號(hào)的變化來調(diào)整步長因子，從而保證收斂過程的穩(wěn)定性和時(shí)間。由于算法的迭代更新時(shí)去除了采樣信號(hào)的估計(jì)功率值，從而也可以除掉一些由于采樣信號(hào)的問題帶來的干擾[5]。

在NLMS中迭代的濾波器參數(shù)為：w(n+1)=w(n)+u(n)x(n)e(n)。

由此可發(fā)現(xiàn)NLMS與LMS最大的不同在于步長因子的變化。在LMS算法中，步長是一個(gè)常數(shù)用u表示，而在NLMS算法中，步長因子是一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù)u(n)。

為了避免因估計(jì)功率過小而引起步長因子過大，因此對(duì)步長進(jìn)行了一定的修正。

α為常數(shù)。并且為了保證收斂的效果，必須滿足：0

3.3 VSLMS算法

VSLMS算法大致與上述NLMS算法相同，只是濾波器的權(quán)系數(shù)更新做了細(xì)微的調(diào)整，即改進(jìn)了步長因子的算法。在VSLMS算法中，濾波器權(quán)系數(shù)的更新方式為：

w(n+1)=w(n)+2u(n)x(n)e(n)

從上述公式上看與NLMS算法并無較大的區(qū)別，只是系數(shù)的改變。但是其中步長因子的計(jì)算與NLMS算法有較大的區(qū)別。在NLMS算法中，步長因子與輸入信號(hào)有較大的關(guān)系，與誤差因子沒有關(guān)系。然而在VSLMS算法中，步長因子的更新卻和誤差因子密切相關(guān)。VSLMS算法分兩類，其一是u(n)只與e(n)有關(guān)，而與u(n-1)無關(guān)，即：u(n)=β[1-exp(-α|e(n)|2)]

其中，β為步長因子的初始值，如果步長的初始值太大，可能會(huì)導(dǎo)致算法不收斂，如果太小，又會(huì)導(dǎo)致算法的收斂速度太慢，所以β的取值必須適當(dāng)[8]。

其二是u(n)不僅與e(n-1)有關(guān)，而且還與u(n-1)有關(guān)，即：

u(n+1)=α’u(n)+β’|p(n)2||e(n)2|；p(n)=γp(n-1)+(1-γ)e(n)x(n)。

由上述兩類VSLMS算法可知，算法一具有良好的穩(wěn)定性，而算法二具有較好的收斂速度[8]。在本文則采用算法一與其他算法進(jìn)行仿真性能對(duì)比，以下皆稱為VSLMS算法。

4 仿真及結(jié)果分析

本文采用的是二階信號(hào)，通過MATLAB平臺(tái)對(duì)其進(jìn)行仿真，對(duì)上述幾種LMS算法從收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差以及輸出波形等方面來對(duì)二階信號(hào)的線性預(yù)測進(jìn)行比較分析。從而得出哪種LMS算法對(duì)于二階信號(hào)的預(yù)測更加準(zhǔn)確。

4.1 收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差

收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差是自適應(yīng)濾波性能中重要的一部分，本文將從不同步長來比較上述三種算法在這兩方面的差異。如圖所示：

4.1.1 傳統(tǒng)的LMS算法

圖2 步長0.1

圖3 步長0.3

圖4 步長0.5

4.1.2 NLMS算法

圖5 步長0.1

圖6 步長0.3

圖7 步長0.5

4.1.3 VSLMS算法：

圖8 初始步長0.1

圖9 初始步長0.3

圖10 初始步長0.5

從上圖對(duì)比可看出，上述三種算法的收斂速度都隨著步長因子的增大而加快。NLMS算法中的迭代次數(shù)明顯比傳統(tǒng)的LMS算法減少很多，但是系統(tǒng)的抗干擾性能降低，這可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)誤差變大。而對(duì)于VSLMS算法來說，收斂速度介于傳統(tǒng)的LMS算法和NLMS算法之間，但VSLMS算法的抗干擾能力比NLMS強(qiáng)，系統(tǒng)相對(duì)更加穩(wěn)定。因此，從收斂速度上看，VSLMS的綜合性能比傳統(tǒng)的LMS算法和NLMS算法更能滿足最佳濾波的條件。

4.2 輸出波形

傳統(tǒng)的LMS算法如圖所示：

圖11 步長0.1

圖12 步長0.3

圖13 步長0.5

傳統(tǒng)的LMS算法得到穩(wěn)定輸出的時(shí)間相比其他兩個(gè)算法相對(duì)較長，而NLMS算法最佳，VSLMS算法次之。從穩(wěn)定輸出后的圖形與預(yù)期圖像對(duì)比而言，NLMS算法的輸出圖形和預(yù)期圖形相對(duì)而言更為貼合，但總體而言三者相差不大。綜上所述，從收斂速度和誤差上來說，VSLMS算法更能符合最佳濾波的條件。但是從輸出信號(hào)圖形來看，最佳的為NLMS算法，但三者除了在迭代次數(shù)上有些許差異，在圖形上差距并不是特別明顯。所以綜合來看，VSLMS更能符合最佳濾波的條件。

5 結(jié)論

本文使用改變步長因子的方法來改變自適應(yīng)濾波中收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系，有效的解決了在自適應(yīng)濾波算法中收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，在滿足收斂速度的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差也得到了相對(duì)的穩(wěn)定。通過對(duì)三種LMS算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和輸出波形綜合分析對(duì)比，NLMS算法的對(duì)于波形的還原更加優(yōu)良，但三者總體差距并不明顯；對(duì)于迭代次數(shù)與誤差綜合來看VSLMS算法明顯優(yōu)于其他兩者。因此，綜合可得VSLMS算法更能得到最優(yōu)濾波，是最佳濾波算法。