基于余弦翹曲位移函數(shù)的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析

宋愛明，李志聰，周 鵬，萬 水，蘇 強(qiáng)

(1.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051； 2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 211189； 3.河北省交通規(guī)劃設(shè)計院，河北 石家莊 050011)

0 引言

薄壁箱梁以其自重小、跨越能力大、抗彎和抗扭性能強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)在橋梁建設(shè)中得到廣泛使用[1]。當(dāng)箱梁橋采用較大的腹板間距和懸挑長度時，恒載、活載、預(yù)加力等均會在結(jié)構(gòu)橫截面上引起顯著的剪力滯效應(yīng)[2]。翼板剪切變形是薄壁箱梁產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)的本質(zhì)原因，受到對稱荷載時，由于箱梁頂、底板發(fā)生剪切變形，剪力流在橫向傳遞過程呈現(xiàn)滯后現(xiàn)象，使得橫截面上的翼板拉應(yīng)力不再均勻分布，這時按照初等梁理論的平截面假定不再適用。當(dāng)板肋交界處的法向彎曲應(yīng)力高于(或低于)橫截面翼板中部應(yīng)力時，即產(chǎn)生正剪應(yīng)力滯效應(yīng)(或負(fù)剪應(yīng)力滯效應(yīng))。在國內(nèi)外箱梁結(jié)構(gòu)設(shè)計和建造史上因不考慮剪力滯效應(yīng)而發(fā)生的結(jié)構(gòu)破壞事故不在少數(shù)[3]，因此近些來，學(xué)者們針對箱梁剪力滯問題開展了一系列的試驗(yàn)研究[4]、理論解析[5]和有限元分析[6]。

能量變分法作為計算箱梁剪力滯效應(yīng)行之有效的近似計算方法，由REISSNER[7]在1946年最先提出，其以矩形截面的薄壁箱梁為研究對象，并假定縱向翹曲位移沿箱梁截面橫向按二次拋物線的線型分布。ZHANG[8]等基于二次拋物線型翹曲位移函數(shù)，分析了計入剪力滯效應(yīng)的結(jié)構(gòu)附加變形，繼而以該附加變形為廣義位移，提出了剪力滯效應(yīng)的改進(jìn)分析方法，并對翹曲函數(shù)的階數(shù)精度進(jìn)行了評價，最后采用有機(jī)玻璃模型試驗(yàn)對理論解析結(jié)果進(jìn)行了試驗(yàn)論證。郭金瓊[9-10]等國內(nèi)研究者基于REISSNER的研究成果，分別將二次拋物線型翹曲位移函數(shù)變換為三次和四次拋物線的形式，進(jìn)而對薄壁箱梁的剪力滯問題做了較為深入的理論解析和試驗(yàn)論證。倪元增[11-12]等研究者最早將余弦函數(shù)形式引入到剪滯翹曲位移函數(shù)中，并分別以槽型截面和箱形截面梁為研究對象，驗(yàn)證了采用余弦函數(shù)進(jìn)行剪力滯效應(yīng)分析的合理性和準(zhǔn)確性。總的來說，翹曲位移函數(shù)的合理選擇是基于能量變分法的薄壁箱型梁剪力滯效應(yīng)分析的重點(diǎn)，目前采用多次拋物線型縱向翹曲位移函數(shù)的文獻(xiàn)頗多，而采用余弦函數(shù)形式的文獻(xiàn)較少。此外，學(xué)者們的研究成果在理論應(yīng)用和指導(dǎo)設(shè)計方面具有重要意義，但在求解控制微分方程時往往為了簡化計算方法而在箱梁各翼板間取一致的縱向位移差值函數(shù)，這樣的簡化方法忽略了各翼板因受力不同而產(chǎn)生的變形或剪力滯差異，與真實(shí)結(jié)構(gòu)相比顯然有所不符。

鑒于此，本文將選取余弦函數(shù)為薄壁箱型梁翼板剪滯翹曲位移函數(shù)，通過在橫截面不同翼板處分別引入剪切轉(zhuǎn)角最大差值u1(x)、u2(x)和u3(x)(即對應(yīng)底板、頂板和懸臂板3個位置)，建立二階常系數(shù)非齊次線性方程組，進(jìn)一步求解得到薄壁箱梁任意截面法向彎曲應(yīng)力以及無剪力滯效應(yīng)時橫向荷位的計算公式，并通過有限元分析軟件ANSYS對受對稱均布荷載作用下的簡支箱梁進(jìn)行數(shù)值分析，與本文理論計算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 基本假定

選取圖1所示的薄壁箱型梁橫截面為分析對象，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在截面形心位置處，箱梁體系的縱向、橫向以及豎向分別對應(yīng)坐標(biāo)軸的x、y以及z方向。在箱梁頂板的某處(y0點(diǎn))作用有z軸方向的荷載，分別引入不同翼板處的3個剪切轉(zhuǎn)角最大差值函數(shù)ui(x)(i=1，2，3，下標(biāo)i分別對應(yīng)底板、頂板和懸臂板三個位置)，并且采用余弦函數(shù)形式來表示縱向位移ui(x，y)(i=1，2，3)沿箱梁橫向的分布特征，那么不同翼板處的縱向位移有如下形式：

圖1 箱梁橫截面尺寸示意圖

(1)

式中：w(x)是梁肋位置處的z軸方向撓度；h1、h2和h3是形心位置處與各翼板中軸線之間的距離；b1、b2和b3分別是各翼板的半寬。

假設(shè)箱梁截面在變形后仍與x軸方向的纖維相互垂直，那么翼板在x軸方向的變形ui(x)和z軸方向的變形Wi(x，y)可建立下述關(guān)系：

(2)

那么考慮橫向位置(y方向)影響的z軸方向變形也可表述為按余弦函數(shù)分布的形式，如下式所示：

(3)

式(1)和式(3)是坐標(biāo)x和y的連續(xù)函數(shù)，符合變形協(xié)調(diào)關(guān)系。在本文分析中有以下的假定：在計算截面應(yīng)變時忽略剪切變形的影響，箱梁腹板仍遵循平截面假定；假定箱梁截面翼板z軸方向的纖維不發(fā)生擠壓行為，那么有εz=0；此外，不考慮箱梁截面翼板、腹板等板平面外的橫向應(yīng)變及剪切變形，那么有γxz=γyz=εy=0。

2 微分控制方程的推導(dǎo)

根據(jù)最小勢能原理，當(dāng)受到外部荷載作用時，結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)。產(chǎn)生虛位移時，結(jié)構(gòu)體系的總體能一階變分為零，那么可記為：

(4)

當(dāng)有外部荷載作用于頂板時(0≤|y0|≤b2)，薄壁箱梁受彎曲而產(chǎn)生的外力勢能可表述為：

(5)

結(jié)構(gòu)各部位應(yīng)變能表達(dá)式分別為：

梁肋：

(6)

翼板：

(7)

式中：E、G分別為結(jié)構(gòu)的彈性模量和剪切模量；t1、t2和t3為各翼板的厚度。

根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的幾何方程有：

(8)

將式(1)代入式(8)得到如下形式：

(9)

把上述式(8)和式(9)代入各翼板應(yīng)變能表達(dá)式(7)可得到如下形式：

(10)

(11)

將式(11)得到的薄壁箱梁體系總勢進(jìn)行變分求解，并令其等于零，即δΠ=0，得到如下控制微分方程組：

(12)

其邊界條件為：

(13)

3 二階微分控制方程組的求解

上述內(nèi)容根據(jù)能量變分法推導(dǎo)出了基于余弦翹曲位移函數(shù)的控制微分方程組，本節(jié)將對其進(jìn)行求解分析。將式(12)中第一個等式對變量x進(jìn)行求導(dǎo)并整理得到如下形式：

(14)

將式(14)代入式(12)其它3個微分控制方程可得：

(15)

將方程組(15)轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃囆问剑?/p>

Au″-Bu=β

(16)

為方便推導(dǎo)，記：

C=A-1B；t=A-1β。

那么，則式(16)可轉(zhuǎn)化為如下形式：

u″-Cu=t

(17)

計算A-1得：

(18)

則有：

(19)

(20)

式(17)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程組，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，得到該微分方程組的通解形式為：

U(x)=V[exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]

(21)

令u*為上述二階常系數(shù)非齊次線性方程組的特解，該解只和結(jié)構(gòu)剪力M′(x)的分布形式有關(guān)，那么進(jìn)一步得到該方程組的通解表達(dá)式如下：

u(x)=V[exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]+u*

(22)

4 箱梁結(jié)構(gòu)翼板中的應(yīng)力計算

以上通過微分方程組解出了薄壁箱梁翼板剪切轉(zhuǎn)角的3個最大差值式(22)，從而可進(jìn)一步得到箱梁任意截面翼板各部分法向彎曲應(yīng)力表達(dá)式為：

(23)

本文采用圖2所示承受對稱均布荷載的簡支梁為算例，基于上述理論分析來進(jìn)一步推導(dǎo)箱梁截面底板、頂板及翼緣板法向彎曲應(yīng)力的表達(dá)式。

圖2 簡支梁承受均布荷載

箱梁任意截面x處的內(nèi)力為：

x截面處的剪力是x的一次多項式，則微分方程組有特解：

(24)

將式(24)代入式(22)并對變量x求導(dǎo)得到：

u′=VΛ[-exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]+

(25)

簡支梁結(jié)構(gòu)的邊界條件為：u′i|x=0=0，u′i|x=l=0，則解得：

(26)

那么，可進(jìn)一步由式(1)、式(23)和式(25)聯(lián)合求解，得到對稱均布荷載下簡支箱梁結(jié)構(gòu)截面彎曲法向應(yīng)力表達(dá)式為：

(27)

5 算例分析及橫向荷位確定

采用圖2所示的單室梯形簡支梁結(jié)構(gòu)為算例來分析翼板各部位在采用余弦翹曲位移函數(shù)時，荷載橫向作用位置(文中簡稱為：橫向荷位)對剪力滯效應(yīng)的影響規(guī)律。

a.箱梁截面采用圖1所示形式，滿跨對稱作用均布荷載q=8 kN/m，材料及截面具體參數(shù)取值如下：泊松比ν=0.2，混凝土彈性模量E=3.5×104MPa，剪切模量G=E/(2+2ν)=1.46×104MPa；跨度l=40 m，腹板厚度tw=50 cm，腹板與翼板夾角θ=14°，翼板各部分厚度及寬度(半寬)分別為t1=50 cm，t2=t3=30 cm，b1=206.5 cm，b2=b3=300 cm，上板寬b=1 200 cm，箱梁高度H=415 cm，上下板壁厚中心距離h=375 cm，上板底至下板頂距離h′=335 cm。

上翼板壁厚中心面積矩按下式計算：

截面面積為A，則形心至上翼板壁厚中心的距離h2=S/A=160.11 cm，形心至下翼板壁厚中心距離h1=h-h2=214.89 cm。

其他參數(shù)計算結(jié)果如下：Iw=4.536 9 m4,Is1=9.535 5 m4,Is2=4.614 5 m4,Is3=4.614 5 m4,I=23.301 4 m4，α1=0.165 9,α2=0.080 3,α3=0.080 3,α=-0.173 5。

b.根據(jù)初等梁理論，薄壁箱型梁在任意截面上的應(yīng)力計算方法如下：

(28)

取薄壁箱梁的跨中截面頂板為研究對象，那么截面彎矩為M(x)=ql2/8，則按式(28)得出σ1=0.147 6 MPa，σ2=σ3=-0.109 9 MPa。

當(dāng)均布荷載對稱作用于梁肋，即y0=b2，由數(shù)學(xué)軟件分析MATLAB按式(27)解得：σ1x=0.155 5 MPa，σ2x=σ3x=-0.115 5 MPa，此時跨中梁截面表現(xiàn)為正剪力滯效應(yīng)；當(dāng)均布荷載對稱作用于翼板中心，即y0=0，由MATLAB解得：σ1x=-0.001 8 MPa，σ2x=σ3x=-0.010 0 MPa，此時跨中梁截面表現(xiàn)為非常明顯的負(fù)剪力滯效應(yīng)現(xiàn)象；因此當(dāng)均布荷載對稱作用于梁肋與翼板中心之間，頂板上一定存在橫向荷位y0=e，使得梁截面上σi=σix，即不產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)，這與文獻(xiàn)[14]所得規(guī)律相似，說明本文方法具有可行性。為解得該橫向荷位e，令：

U′=[U′1U′2U′3]T=

VΛ[-exp(-Λx)C′1+exp(Λx)C′2]

(29)

令σi=σix，且y=bi(i=3時，y=b2)，則可以解得式(30)：

(30)

當(dāng)e

6 有限元數(shù)值分析

對上述算例通過ANSYS有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對稱均布荷載作用于梁肋處(即y0=±b2)。為保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用精度較高的六面體單元solid65來模擬全梁結(jié)構(gòu)；箱梁一端支座處約束水平及豎直向位移，另一端約束豎直向位移；整個模型采用映射網(wǎng)格劃分方式，單元數(shù)共計42 880個，計算模型如圖3所示。

圖3 箱梁有限元模型

采用本文方法計算得到的理論解與ANSYS數(shù)值解的對比結(jié)果列于表1，底板、頂板和翼緣板上各計算點(diǎn)位|y|均取自各板截面中心軸線上。

由表1數(shù)據(jù)分析可知，除了計算點(diǎn)位|y|=b1，通過本文方法得到的其它各點(diǎn)位的彎曲應(yīng)力與ANSYS數(shù)值解誤差均小于4%；計算位置|y|=b1處于腹板和底板交界點(diǎn)附近，腹板傳遞的剪力流在該點(diǎn)引起的剪切變形較為復(fù)雜，從而導(dǎo)致理論解與數(shù)值解之間的誤差大于其它各點(diǎn)，在跨中和1/4跨截面分別達(dá)到了5.85%和6.91%。但總體來看，本文所采用的基于余弦翹曲位移函數(shù)的剪力滯效應(yīng)變分解析方法與有限元數(shù)值解能夠較好地吻合，表明本文方法具有一定的準(zhǔn)確性，可為該類型橋梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計、分析提供理論依據(jù)。

表1 箱梁截面法向應(yīng)力理論計算值與數(shù)值解比較Table1 Comparisonoftheoreticalandnumericalvaluesofnormalstressinboxgirdersection計算點(diǎn)位|y|/m跨中截面1/4跨截面本文方法解/MPaANSYS數(shù)值解/MPa相對誤差/%本文方法解/MPaANSYS數(shù)值解/MPa相對誤差/%b10.15550.14645.850.11860.11046.91底板2b1/30.14900.14482.820.11210.10892.85b1/30.14470.14390.550.10780.1079-0.0900.14310.1435-0.280.10620.1076-1.320-0.1039-0.1060-2.02-0.0765-0.0789-3.14頂板b2/3-0.1054-0.1065-1.04-0.0780-0.0795-1.922b2/3-0.1097-0.10821.37-0.0822-0.08121.22b2-0.1155-0.11450.87-0.0880-0.08760.45b2+b3/3-0.1085-0.10800.46-0.0810-0.08070.37懸臂板b2+2b3/3-0.1034-0.1057-2.22-0.0759-0.0781-2.90b2+b3-0.1015-0.1045-2.96-0.0741-0.0768-3.64

7 結(jié)論

本文通過引入余弦翹曲位移函數(shù)分析了薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的變分解析方法，并進(jìn)行了算例分析和有限元驗(yàn)證。主要結(jié)論有：

a.假設(shè)箱梁翼板剪滯翹曲位移函數(shù)為余弦函數(shù)形式，并分別引入頂、底板和懸臂板的剪切變形最大差值，建立了薄壁箱梁體系總勢能函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用變分原理推導(dǎo)出3個微分控制方程，通過對二階常系數(shù)微分方程組的求解，得到了薄壁箱梁任意截面位置頂、底板以及懸臂板法向彎曲應(yīng)力的計算公式。

b.以單室梯形截面簡支梁結(jié)構(gòu)為算例，分析了翼板各部位采用余弦翹曲位移函數(shù)時，荷載橫向位置對剪力滯效應(yīng)的影響，并進(jìn)一步給出了箱梁截面無剪力滯效應(yīng)時橫向荷位的計算方法。

c.通過有限元分析表明，按照本文方法得到的箱梁截面彎曲應(yīng)力理論解與數(shù)值計算結(jié)果吻合度較高，驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。