基于線性規劃理論的頂推PC箱梁下部結構臨時墩拉索索力優化研究

張 軍,劉國坤

(1.內蒙古路橋集團有限責任公司，內蒙古 呼和浩特 010000；2.湖南省交通科學研究院有限公司，湖南 長沙 410015)

頂推施工法在混凝土連續梁施工中占有重要地位，它有著節約場地、適合互通立交橋址區上跨或下穿橋梁施工、工藝成熟等優點[1]。在頂推混凝土箱梁施工過程中，一般均需要設置臨時輔助墩以控制主梁最大懸臂長度，降低混凝土主梁在頂推過程中的開裂風險[2]。臨時輔助墩作為整個頂推體系中的重要組成部分，與橋梁主墩具有同等重要的地位。在箱梁頂推過程中，臨時墩所受豎向力隨著工況不同而不同，水平力大小與主梁縱坡坡度大小、滑道摩擦系數及主梁壓力大小等諸多因素息息相關[3]。臨時墩在上部結構箱梁頂推過程中處于一個復合動態受力狀態，因此很有必要開展臨時墩受力分析。

目前在頂推施工時，為保證臨時墩受力合理性，主要通過水平拉索將下部結構臨時墩串聯形成整體，以改善頂推時各墩受力不均的問題。已有學者開展了相關研究，陳雙慶[4]等人提出在下部臨時支撐墩柱之間施加水平拉索以調整下部結構受力；郝晉新[5]等以某頂推施工系桿拱橋為研究對象，對臨時墩及拉索布置位置進行了優化；巫建暉[6]等人分析了頂推過程中下部結構在拉索作用下墩柱受力規律。現有研究成果主要集中于墩柱間水平拉索的作用效應及受力改善措施，沒有提出拉索水平力的確定方法。為研究臨時墩柱拉索水平力優化方法，本文以某頂推連續箱梁為工程背景，基于線性規劃理論，以墩底截面應力最小為目標函數，對拉索最優水平力進行了求解，相關研究成果可為連續梁頂推施工時臨時墩拉索張拉力控制提供一定參考。

1 頂推箱梁下部結構受力特性

在箱梁頂推過程中，所施加的頂推力不僅應保證能夠推動梁體，同時應使得各墩之間所受不平衡水平力不超過墩柱水平力限值，具體表達式見式(1)。

|Fi-μNi-kN|≤[fcon]

(1)

式中：Fi為頂推啟動力；μ為摩擦系數；k為坡度系數；Ni為主梁對墩柱的豎直壓力；fcon為墩柱水平力限值。

記各墩斜率及坡角分別為ki=±xi/R+i、θi=arctan(ki)，則各墩沿滑道斜面阻力可表示為式(2)。

F=Ri(sinθi+cosθif)

(2)

式中：F為墩頂滑道平面阻力；Ri為第i號橋墩支座反力；θ為傾角；f為摩擦系數。

由于在頂推實施過程中豎曲線曲率變化很小，在實際工程中可認為經過各橋墩梁體斜率保持不變。則求解的墩頂所需頂推水平力見圖1，計算見式(3)。

圖1 滑道水平力計算示意圖

Ti=Fi/cosθi

(3)

式中：Ti為墩頂水平拉力。

為研究水平力在各墩之間的分配關系，獲取臨時拉索索力的數學表達式。基于力法原理計算各墩不平衡水平力，以3個墩柱為例：其中A墩、C墩為主墩，B為臨時墩。考慮到墩柱主要承受豎直荷載和水平荷載，因此可將其等效為柱，下部結構臨時拉索可等效為僅受拉桿件，由于臨時墩結構不能承受彎矩，將其取為鉸接，A、B墩之間拉索張拉力為F1，B、C墩之間拉索張拉力為F2，臨時墩B所受摩擦力為Fp，A、B、C所受水平力分別為FA、FB、FC。計算圖式見圖2。

圖2 力學計算示意圖

由力法可得：

(4)

2 工程背景及有限元模擬

2.1 項目概況

某(40+50+40)m三跨等截面預應力連續箱梁，橋址上跨某鐵路干線，故鐵路上方的預應力混凝土主梁部分(70 m)采用頂推法施工，其余主梁采用支架現澆法。主梁截面形式為單箱單室斜腹板截面，梁高3.8 m；箱梁頂懸臂板長分別為5.15、4 m，端部厚30、40 cm，根部厚65 cm；箱梁底板懸臂板長3.97 cm，端部厚18 cm，根部厚40 cm；箱梁頂、底板厚均為30 cm，腹板厚85 cm。橋梁立面布置及主梁截面示意圖見圖3、圖4。

圖3 橋型布置圖(單位：m)

圖4 上部結構箱梁橫截面布置圖(單位：m)

主梁頂推采用單點頂推法，頂推縱坡為0.3%，頂推啟動裝置位于主墩E4墩墩頂位置，E4墩左側設置8個臨時墩作為頂推預制平臺，E5永久墩待頂推施工完成落梁前澆筑，E3與E4墩之間設置9#臨時墩，E2～E3主墩之間的梁體為支架現澆段，設置10#～12#臨時墩，主墩采用C40混凝土，臨時墩采用Q345鋼材，相鄰墩柱之間使用臨時拉索形成整體。臨時墩布置示意圖見圖5、圖6。

圖5 臨時墩立面布置示意圖(單位：m)

圖6 臨時墩俯視示意圖(單位：m)

2.2 有限元模型及墩頂反力求解

使用有限元軟件建立頂推全過程仿真計算模型。混凝土主梁使用Solid65實體單元模擬，預應力鋼絞線使用Link8單元，為保證兩者共同受力，建立約束方程耦合3個方向的自由度；考慮到鋼導梁的主梁為薄壁鋼結構，因此主縱梁使用Shell63殼單元建模，縱梁之間橫撐、斜撐等聯系桿件采用Link8桿單元[見圖7(b)]，桿單元與殼單元之間共節點連接，鋼導梁殼單元與混凝土實體單元由于自由度數不一樣，無法進行節點耦合，本文通過建立MPC單元使其形成綁定接觸，由于在頂推過程中結構均處于小變形狀態，故可不考慮其非線性迭代行為。預應力張拉力使用初應變法施加，使用單元生死法模擬頂推過程，以1 m為一個計算步長，根據設計資料施加約束條件。有限元模型示意圖見圖7。

(a)頂推整體有限元模型

圖8和表1給出了各臨時墩在頂推過程中豎向支撐反力時程結果，臨時墩最大反力為17 851.43 kN，出現位置為臨時墩4，工況為主梁頂推前進25 m；部分臨時墩在頂推過程中出現過脫空現象。獲取墩頂支撐反力時程圖后，取其峰值，再根據設計資料提供的摩擦系數及坡度等信息，即可求得墩頂位置的最大水平摩阻力。

(a)臨時墩1

表1 1#～9#臨時墩頂推過程反力峰值Table1 1#～9#Temporarypierpushingprocesspeakreactionforce臨時墩編號反力峰值/kN1#4283.652#4876.333#9642.184#17851.435#11482.636#16884.277#11543.978#5143.169#15746.42

3 基于線性規劃理論的優化方法

線性規劃法是目前單/多目標優化處理的一種基本方法，一般適用于求解問題的極大或極小值，該類問題通過構造合適的目標函數及約束條件線性方程組再對其求解。線性規劃法一般存在多個目標方程，且目標函數與約束條件均為線性函數或方程。一般表達式如下[7]。

(5)

約束條件可表述為：

(6)

式中：記A=(ai j)m×n，c=(cij)r×n，b=(b1,b2,…,bm)T，x=(x1,x2,…,xn)T，z=(z1,z2,…zr)T，則可將線性多目標表達式改寫為矩陣形式。

(7)

(8)

調用Matlab優化工具箱中linprog函數，在該函數中，其一般調用格式與目標函數和約束條件之間存在對應關系。將數學模型中各參數輸入至工具箱中，即可快速獲取該類問題最優解[9]，使用Matlab的linprog函數求解優化問題的具體步驟如下：

a.構建目標函數及約束條件，確定設計變量。

b.將目標函數、設計變量及約束條件等參數輸入至Matlab的linprog工具箱中，按照其調用格式依次輸入參數信息。

c.構造評價函數，以目標函數中各單目標最優解集合作為理想值中心點，在Matlab中建立以如式(8)的評價函數，調用fminimax工具箱對設計變量進行求解，每求解一次調用評價函數進行檢驗，當評價函數結果最小時(即非劣解與值域中心點之間的距離最短)，即可認為結果終止于最優解。

d.將設計變量最優解輸入至有限元軟件中并查看結果。

根據以上原理及優化步驟，以圖2中的三墩柱力學模型為研究對象，可確定臨時拉索索力優化數學模型為：

a.目標函數：以臨時墩所受水平推力最小為目標函數，記為minF(X)=min[FA，FC]；其中FA、FC分別表示墩A、墩C的不平衡水平推力，具體表達式見式(4)。

b.設計變量：以水平拉索張拉力為自變量，記為X=[F1、F2]T。

c.約束條件：①臨時拉索僅能承受拉力，故F1、F2均應大于0；②在索力調整過程中，墩A、C所受水平力應小于其對應限值Fm、Fn。

4 優化結果

將以上3墩柱臨時拉索索力優化數學模型類推至本文工程背景中9墩柱力學模型中。取該橋70 m頂推段為分析對象，設計變量取1#臨時墩～9#臨時墩之間的水平拉索索力張拉值，以1#～9#臨時墩所受水平推力最小為目標函數，根據上述章節確定的優化方法，在Matlab中使用線性規劃方法求解最優水平拉索張拉力，具體結果見表2。

表2 各墩水平拉索索力優化計算結果Table2 OptimizedcalculationresultsofhorizontalcableforceofeachpierkN 索力編號臨時拉索張拉力x1783.5x2502.7x3435.8x4488.6x5380.5x6310.4x7265.7x8202.3x9198.4

為驗證該線性規劃優化方法的有效性，將臨時拉索索力優化結果輸入至有限元模型中。由于墩頂水平力的變化對墩底截面位置應力影響明顯，因此將各臨時墩墩底截面應力作為考察指標。

表3給出了下部結構臨時墩拉索索力優化前后各墩墩底左右側截面最大應力對比結果。對比計算結果表明：通過對臨時拉索索力值進行調整，串聯成整體的下部結構之間發生了應力重分布，調整前各墩墩底截面應力受力不均，各墩底所受應力值差距較大，其中最大應力出現在4#臨時墩位置，其拉壓應力值分別達-27.74、21.58 MPa，同時4#永久墩出現了2.15 MPa拉應力，已經超出C40混凝土抗拉強度設計值；經線性優化理論調索后，各墩墩底截面應力不均勻的情況得到緩解，應力差幅度有明顯減小，其中4#臨時墩最大拉壓應力降至-10.25、11.36 MPa，并且4#永久墩左側受拉區域最大應力也有大幅下降，相比于調整前的2.15 MPa，調整后降幅達46.04%，小于材料抗拉強度設計值并且有一定富余。

表3 臨時拉索優化前后墩底截面最大應力對比結果Table3 Comparisonresultsofthemaximumstressofthepierbottomsectionbeforeandafterthetemporarycableoptimization橋墩編號調整前應力/MPa調整后應力/MPa右側左側右側左側1#-0.281.36-1.833.122#-0.630.81-0.963.333#-0.181.74-1.024.584#-27.7421.58-10.2511.365#-1.211.79-3.172.886#-11.583.65-7.243.757#-13.625.04-8.685.078#-10.244.28-7.184.929#1.82-2.351.33-3.57E4-2.332.15-3.471.16

在箱梁頂推過程中，臨時墩偏位控制尤為重要，偏位過大會造成墩頂滑道高程偏差，相關研究成果表明：滑道毫米級的高程差都將導致箱梁出現較大拉應力，嚴重時會引起箱梁開裂[10]。因此必須對臨時墩在頂推過程中的偏位進行嚴格控制。臨時拉索索力調整后，各墩墩頂最大偏位見表4。臨時拉索索力調整后，除9#臨時墩外，各墩偏位均有不同程度降低，降幅范圍在15%～35%之間，水平偏位較大的4#～7#臨時墩降幅均在25%以上，考慮到9#臨時墩本身偏位較小，其變化量也僅僅為0.03 mm，增幅可忽略不計。可認為臨時拉索索力調整對下部結構整體剛度起到了加強的效果。

表4 臨時拉索索力優化前后各墩最大偏位對比結果Table4 Comparisonresultsofthemaximumdeflectionofeachpierbeforeandaftertheoptimizationofthetemporarycableforce臨時墩編號調整前偏位/mm調整后偏位/mm差值幅度/%1#-2.06-1.73-16.022#-2.32-1.95-15.953#-3.55-2.74-22.824#-4.48-3.29-26.565#-3.79-2.66-29.826#-4.05-2.75-32.107#-3.24-2.25-30.568#-2.45-1.84-24.909#0.380.417.89

5 結論

以某三跨頂推連續箱梁下部結構臨時墩拉索為研究對象，基于線性規劃理論，構建了臨時拉索索力的數學優化模型，并通過Matlab對臨時拉索索力進行了優化，最后對優化結果進行了驗證，可得到以下結論：

a.基于力法原理，可推導出各墩頂水平力的數學表達式，對于該線性方程組，以臨時墩所受水平力最小為優化目標，取臨時拉索索力為設計變量，通過調用Matlab的線性規劃優化工具箱可快速求得其索力最優解。

b.臨時拉索索力優化后，各墩之間受力不均的現象得到了改善，墩底左右兩側截面最大應力差有了明顯減小。以該橋為例：各墩墩底截面最大拉壓應力從優化前的-27.74、21.58 MPa降至優化后的-10.25、11.36 MPa，其余各墩受力也更為均勻，可認為對臨時拉索索力的調整可有效改善下部結構臨時墩柱的受力。

c.臨時拉索索力優化后，各臨時墩在頂推過程中最大偏位也有不同程度降低，該橋9個臨時墩中有8個臨時墩偏位降幅在15%～35%之間，索力調整對臨時墩整體剛度有一定貢獻。