最近鄰弱交換相互作用對納米管中Blume-Capel模型熱學性質影響的研究

李曉杰，劉 萍，李新軍

(1.齊魯理工學院，濟南 250200；2.齊魯師范學院，濟南 250200)

1 引 言

自1966年Blume-Capel(BC)模型被創建以來[1，2]，人們利用不同方法對多種晶格上的BC模型的磁化性質、熱力學性質和相圖進行了研究.文獻[3]中用有效場理論研究了簡立方晶格中BC模型的補償行為和磁化過程.文獻[4]中研究了外磁場服從雙峰離散分布時蜂巢晶格的相變性質，發現外磁場、晶場和自旋間交換相互作用影響系統的相變并且系統出現重入現象；文獻[5]的研究表明稀釋晶場對蜂巢晶格系統磁學性質和相變的影響，結果顯示當晶場滿足稀釋分布

時對系統的相變沒有影響并且系統不會出現三臨界現象.近幾年來，納米管漸漸成為磁熱性質研究領域的一個熱點，實驗與理論方面都已經取得一定的研究結果.實驗上，毛瑞等人以植物纖維素為模板，制備出了納米管狀SnO2材料，測試結果顯示，此SnO2納米管狀材料能夠提高鋰離子的擴散速率，有效解決解充電放電過程中電極材料體積膨脹問題[6].理論上，Zaim小組研究了外磁場滿足三模分布時納米管上自旋為1 Ising模型的相圖和磁性能[7]，結果表明，該系統具有一階相變、三相臨界點和二階相變并出現重入現象.Osman等人分別討論了納米管中純自旋系統和混合自旋系統的磁熱性質和臨界現象[8-10]，討論了晶場對系統磁熱性質的影響，結果顯示系統存在一階相變和二階相變.Kaneyoshi討論了納米管中磁化率隨溫度的變化情況[11]，發現當外殼層和內殼層最近鄰自旋間交換相互作用不同時會改變系統的磁化率.文獻[12]結果顯示雙模隨機晶場中BC模型的磁化強度和相變性質，得到了系統的磁化強度與溫度和隨機晶場的關系以及相圖，結果表明系統在稀釋晶場、交錯晶場和同向晶場中會表現出不同的磁學性質和相變行為.文獻[13]討論了納米管上BEG模型的熱力學和相變性質，研究發現系統存在三臨界點.文獻[14]研究了稀釋晶場作用下納米管中BC模型的磁化性質，結果表明，稀釋晶場作用下系統的內能、比熱和自由能呈現出不同的磁學性質.據我們了解，目前人們還沒有討論最近鄰弱交換相互作用對spin-1納米管熱學性質的影響.為了弄清楚最近鄰弱交換相互作用對納米管系統熱學性質的影響，本文利用有效場理論對最近鄰弱交換相互作用下納米管上BC模型格點的內能、比熱、自由能與溫度及晶場的關系進行了研究，給出了納米管系統中內能、比熱和自由能隨溫度的變化曲線.

2 模型與方法

圖1所示，無限長磁性納米管由內殼層與外殼層兩部分構成.圖1(a)顯示納米管的三維立體示意圖，圖1(b)為其橫向截面示意圖.為了清晰地區分不同格點上所具有的相同配位數的磁性原子，用藍圓圈、綠方塊和紅三角形分別表示配位數為5、6與7的磁性原子.每個磁性原子的自旋都是1，圖中的連線表示最近鄰磁性原子間的交換相互作用，其大小分別為J1、J2和J.

圖1 所示納米管示意圖.圖(a)立體圖，圖(b)截面圖，藍圓圈和綠方塊代表外殼層磁性原子，紅三角代表內殼層磁性原子，實線表示最近鄰原子之間的交換相互作用.Fig.1 Shows a schematic diagram of the nanotubes.Fig.(a)represents the stereogram and fig.(b)its transverse section.The blue circles and green squares represent the magnetic atoms in the outer shell，the red triangle represents the magnetic atoms in the inner shell，and the solid lines represent the exchange interactions between the nearest neighbor atoms.

納米管系統Blume-Capel模型的哈密頓量表達式為

其中Si取值為-1，0，+1，J1代表外殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J代表內殼層最近鄰自旋間的交換相互作用，J2代表外殼層原子和最近鄰的內殼層原子自旋之間的交換相互作用，D表示作用在格點i上的晶場強度.

根據文獻[15-17]可得到外殼層格點磁化強度m1與m2，內殼層格點磁化強度mc的自洽方程：

其中函數F(x)定義為

其中β=1/kBT.T是絕對溫度，kB是玻爾茲曼常數.

系統中每個格點的內能為

其中

磁極矩的自洽方程：

其中函數F(x)定義為

系統的比熱為

系統自由能為

根據熱力學第三定律，自由能為

3 結果與討論

為了不失一般性，令晶場強度D和等效溫度kBT以J為單位，通過求解方程(2)，給出了最近鄰弱交換相互作用和晶格場作用下系統的熱學性質：內能、比熱和自由能(見圖2、圖3和圖4).

3.1 內能

我們利用Mathematica數學軟件，通過求解磁化強度自洽方程(方程2(a)-2(c))和磁極矩自洽方程(方程6(a)-6(c))，將得到的相關數據，利用如下公式，求得納米管系統的內能Di(q1+q2+qc)，然后利用Origin Pro畫圖軟件，給出系統內能隨溫度的變化曲線.

圖2(a)-(c)分別給出了外殼層最近鄰自旋間的交換相互作用J1，外殼層原子和最近鄰的內殼層原子自旋之間的交換相互作J2，內殼層最近鄰自旋間的交換相互作用J較弱時，正負晶場作用下系統內能隨溫度的變化情況.通過研究發現：正晶場作用下系統的內能隨溫度升高逐漸變大，當溫度達到二級相變溫度后，內能達到飽和狀態；正晶格場強度不同時，系統內能隨溫度的變化趨勢相同；負晶場作用下系統內能隨溫度變化曲線會出現不連續性；負晶格場強度不同時，內能呈現差異性.

從圖2可以看出負晶場和正晶場作用下，系統的內能呈現不同的現象，負晶場對系統內能的影響比正晶場大.圖2顯示，負晶場作用下系統內能隨溫度的變化曲線不連續，而且不連續的現象出現多次.出現不連續現象主要是因為系統發生一級和二級相變，而相變溫度對系統內能影響較大.不連續位置對應的溫度即系統的一級和二級相變溫度，而且一級相變溫度對內能的影響較大，即不連續現象更加明顯.

圖2 系統的內能隨溫度的變化曲線.Fig.2 represents the change curve of the internal energy of the system with temperature.

3.2 比 熱

在求得系統內能的基礎上，通過求解比熱與內能的表達式(公式(8))，得到系統比熱隨溫度的變化情況.圖3所示為系統比熱隨溫度的變化曲線.從圖中可以看出負晶場和正晶場作用下，系統的比熱表現出明顯的奇異性，但負晶場對系統比熱的影響更明顯，存在多處奇異點.這主要是因為，負晶場作用下，系統同時發生一級相變和二級相變；而正晶場作用下，系統僅發生二級相變.系統比熱曲線的奇異性出現在一級和二級相變溫度處，并且隨著溫度的升高系統比熱迅速減小.

3.3 自由能

如圖4所示，利用系統比熱和內能的計算結果，通過求解公式(10)，得到系統自由能隨溫度的變化曲線.由公式(9)我們可知，低溫下熵對自由能的影響較小.因此，基態時自由能與內能相等.然而，系統的熵會隨著溫度的升高而快速增大，因此溫度較高時，熵對自由能的影響比較大.從圖中可以看出負晶場和正晶場作用下，系統的自由能表現出相似的變化，但溫度較低時，正晶場作用下，自由能隨溫度的變化比較平緩.

圖4 系統的自由能隨溫度的變化曲線.Fig.4 shows the free energy of the system as a function of temperature.

4 結 論

本文利用有效場理論研究了最近鄰弱交換相互作用下spin-1納米管系統中BC模型的熱學性質.結果表明，系統的內能、比熱、自由能與最近鄰弱交換相互作用、晶場強度以及溫度密切相關.諸多因素相互競爭，使系統表現出比J1=J2=J=1時的BC模型更為復雜的熱學性質：系統內能隨溫度的變化曲線表現出不連續性；比熱隨溫度的變化出現奇異性.溫度較高時，熵對自由能的影響更大.