構造函數破譯雙變量問題 對數平均不等式相映生輝

廖國達

[摘 要]以一道導數題為例，在對解法的探尋與一題多解的基礎上，對試題進行深入挖掘，對素養導向下的數學課堂教學以及一題多解教學進行探究，指引學生學會對典型題目進行拆分和組合，學會從多角度、多方面來分析和解決典型題目，從中概括出基本題型和基本規律方法.

[關鍵詞]雙變量;對數平均不等;一題多解

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0005-03

近年來，高考題或高考模擬題的綜合題中大多數都含有求參數范圍或含參證明的內容.本文以一道導數題為例，在對解法的探尋與一題多解的基礎上，對試題進行深入挖掘，并對素養導向下的數學課堂教學以及一題多解教學進行探究.本文所選題目是經命題教師精雕細琢、耐心打磨而來的原創題，很有創新性，解題方法靈活多變，值得我們認真研究.

一、試題呈現

已知函數[f（x）=ln x-kx2（k∈R）].

（1）討論[f（x）]的單調性;

（2）若[f（x）]有兩個零點[x1]，[x2]，求k的范圍，并證明[x1+x2>2-2k].

二、試題分析

本題條件簡潔大氣，具備高三理科數學復習考試壓軸題的典型氣質，第（1）問是簡單含參討論函數的單調性問題，難度不大，而第（2）問已知函數有兩個零點，確定參數范圍，并證明含參不等式，入手容易，但到了關鍵步驟卻很難進行下去.這兩類問題都是近年來的高考熱點，充分考查數形結合、分類討論、函數與方程以及等價轉化等數學思想.

三、解題方法

1.定導分綜

通過“定導分綜”四字口訣分析解答第（1）問，“定”指的是定義域，“導”是對函數進行求導運算，“分”是分類討論，“綜”是指總結答案回應題目.

解：（1）因為[f（x）=ln x-kx2]，函數[fx]的定義域為[0，+∞]，

所以[f（x）=1x+2kx3=x2+2kx3]，[x>0].當[k≥0]時，[fx>0]，所以函數[f（x）]在[0，+∞]上單調遞增;當[k<0]時，由[f（x）=0]，得[x=-2k]（負根舍去），當[x∈0，-2k]時，[fx<0]，當[x∈-2k，+∞]時，[fx>0]，所以函數[fx]在[0，-2k]上單調遞減，在[-2k，+∞]上單調遞增.

綜上所述，當[k≥0]時，函數[f（x）]在[0，+∞]上單調遞增;當[k<0]時，函數[f（x）]在[0，-2k]上單調遞減，在[-2k，+∞]上單調遞增.

2.零點存在性定理

求[k]的取值范圍，實質就是對參數進行分類，把零點個數問題轉化為在區間上有零點，然后在每個區間上，采用零點存在性定理進行證明.

解：由（1）知，當[k≥0]時，[f（x）]在[0，+∞]上單調遞增，不可能有兩個零點，不滿足條件;當[k<0]時，函數[f（x）]在[0，-2k]上單調遞減，在[-2k，+∞]上單調遞增，

所以[f（x）min=f-2k=ln-2k+12]，要使函數[f（x）]有兩個零點，

首先[f（x）min=ln-2k+12<0]，解得[-12e0]，

下面證明[f-2k=ln-2k-14k>0].設[gk=ln-2k-14k]，則[gk=1k+14k2=4k+14k2].因為[k>-12e]，所以[gk=1k+14k2=4k+14k2>-2e+14k2>0].

所以[gk]在[-12e， 0]上單調遞增，所以[f-2k=][ gk>g-12e=ln1e+e2>0].

也可以這樣說明，因為當[x→0+]時， [fx→+∞]，且[f1=-k>0]，

所以[k]的取值范圍是[-12e， 0].

3.分離參數

利用分離參數的方法可以將復雜的問題轉化為簡單的求值問題，但這需要我們掌握一些簡單的極限知識.

解：由[f（x）=ln x-kx2=0]，得到[k=x2ln x].設[gx=x2ln x]，則

[gx=x2ln x+1].當[0e-12]時，[gx>0]，

所以函數[gx]在[0， e-12]上單調遞減，在[e-12，+∞]上單調遞增.

所以由[gxmin=][ge-12=-12e].因為[x→0+]時，[gx→0]，且[g1=0]，

要使函數[f（x）]有兩個零點，必有[-12e

4.破譯雙變量

破譯雙變量的方法是：根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間的大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.

【方法1】因為[x1]，[x2]是函數[f（x）]的兩個零點，不妨設[x11].

所以[ln x1-kx21=0，ln x2-kx22=0，]即[ln x2-ln x1=kx22-kx21?ln t=kt2x21-kx21?x21=kln t1t2-1]，[-12e1].要證[x1+x2>2-2k?x1+x22>-8k?x211+t2>-8k]，

即證[kln? t1t2-11+t2>-8k].因為[-12e

或證[8ln t+1t2-11+t2<0t>1].

設[h（t）=8ln t+1t2-11+t2]，[t>1].

即[h（t）=8ln t-t2-2t+2t+1t2]，[t>1].

[所以h（t）=8t-2t-2-2t2-2t3= ][-2t2-12-2tt-12t3<0].

[用其他方法判斷[ht<0]均可，如令分子為[ut]，通過多次求導判斷.]

所以[h（t）]在[1，+∞]上單調遞減，[h（t）=8ln t+1t2-11+t21]，

所以[x1+x2>2-2k].

【方法2】因為[x1]，[x2]是函數[f（x）]的兩個零點，不妨設[x11].

所以[ln x1-kx21=0，ln x2-kx22=0，]即[ln x2-ln x1=kx22-kx21]，所以[ln t=kt2x21-kx21]，

即[x12=kln t1t2-1]，[-12e1].

要證[x1+x2>2-2k?x1x2>-2k?tx21>-2k]，即證[t×kln t1t2-1>-2k].因為[-12e2ln? tt>1].設[h（t）=2ln t-t+1t]，

則[h（t）=2t-1-1t2=-t-12t2<0]，[t>1]，所以[h（t）]在[1，+∞]上單調遞減，所以[h（t）=2ln t-t+1t2-2k].

【方法3】因為[x1]，[x2]是函數[f（x）]的兩個零點，不妨設[x11].

所以[ln x1-kx21=0，ln x2-kx22=0，]即[ln x1+ln x2=kx21+kx22?x1+x2>2-2k?x1x2>-2k]

只需證[ln x1+ln x2>ln-2k?kx21+kx22>ln-2k?kx21+ktx21>ln-2k].

即證[k1+1t21x21>ln-2k].因為[01-2k].

所以[k1+1t21x21>k1+1t2×1-2k=-121+1t2>-121+1=-1].

而[ln-2kln-2k]成立，所以[x1+x2>2-2k].

【方法4】因為[x1]，[x2]是函數[f（x）]的兩個零點，不妨設[x11].

由已知得[ln x1-kx21=0，ln x2-kx22=0，]即[ln x2-ln x1=kx22-kx21].先證明[ln x2-ln x1x2-x1<1x1x2]，即證明[ln t1]. 設[ht=t-1t-ln t]，則[ht=t-122tt>0].

所以[ht]在[1，+∞]上單調遞增，所以[ht>h1=0]，所證不等式成立，所以有[ln x2-ln x1x2-x1=-kx1+x2x21x22<1x1x2].即[-kx1+x2-8k]，所以[x1+x2>2-2k].

5.極值偏移

運用判定定理判定極值點偏移的方法：

方法概述：（1）求出函數[f（x）]的極值點[x0];（2）構造一元差函數[F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）];（3）確定函數[F（x）]的單調性;（4）結合[F（0）=0]，判斷[F（x）]的符號，從而確定[f（x0+x）]、[ f（x0-x）]的大小關系.

口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤;四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.

解：要證[x1+x2>2-2k]，其中[x1∈0，-2k]，[x2∈-2k，+∞]，

即證[x2>2-2k-x1].利用函數[fx]的單調性，只需證明[fx2>f2-2k-x1].

因為[fx2=fx1]，所以只要證明[fx1>f2-2k-x1]，其中[x1∈0，-2k].構造函數[Fx=fx-f2-2k-x]，[x∈0，-2k]，

則[Fx=ln x-kx2-ln2-2k-x+k2-2k-x2].

因為[Fx=1x+2kx3+12-2k-x+2k2-2k-x3]

[=2-2kx2-2k-x+4k-2k2-2k-x2-x2-2k-x+x2x32-2k-x3][<2-2kx2-2k-x+4k-2kx22-2k-x2=-2-2kx--2k2x22-2k-x2<0]（利用均值不等式）

所以[Fx]在[0，-2k]上單調遞減.

所以[Fx>F-2k=ln-2k+12-ln-2k-12=0]，所以[fx>f2-2k-x]在[0，-2k]上恒成立，

所以要證的不等式[x1+x2>2-2k]成立.

6.對數平均

解：現給出對數平均不等式：[ln a-ln ba-b<1ab（a>0 ， b>0， a≠b）].先證明對數平均不等式，不妨設[01]，則只需證：[ln t1）]，設[h（t）=t-1t-ln t（t>1）]，則[h'（t）=（t-1）22tt>0]，所以[h（t）]得[h（x）]在[（1，+∞）]上遞增，所以[h（t）>h（1）=0，]所以[ln a-ln ba-b<1ab（a>0， b>0， a≠b）]，依題意有：[ln x21=2kx21]，[ln x22=2kx22]，兩式相減得[ln x21-ln x22x21-x22=-2kx21x22]，又由對數平均不等式知[ln x21-ln x22x21-x22<1x1x2]，所以[-2kx21x22<1x1x2]，即[x1x2>-2k，]所以[x1+x2>2x1x2>2-2k]，所以命題成立.

上述各種解法，都是解決函數、導數、不等式相關綜合問題的通法，每種方法都十分精妙.引發我們思索的是：每一種解法的思維過程都是自然的，都源于對問題、對代數式結構的聯想，認知函數圖形性質，聯想相關的解題策略，無不說明由此及彼的廣泛聯系是數學解題的通用思考方式.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 朱紅巖.極值點偏移的判定方法和運用策略[J].中學數學教學參考，2016（7）：27-28+34.

[2]? 白志峰，祁京生.例談處理極值點偏移問題的有效策略[J].高中數學教與學，2020（3）：17-18.

[3]? 羅誠.函數極值點偏移問題的處理策略[J].上海中學數學，2017（Z2）：8-9+44.

（責任編輯 陳 昕）