利用圖形直觀 引導(dǎo)解題思路

戈晨曦

[摘? ?要]圖形能很好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，能讓隱藏的一些數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想顯露出來，借助圖形直觀對(duì)引導(dǎo)解題思路有著積極的作用.

[關(guān)鍵詞]圖形直觀;解題思路;函數(shù);數(shù)列

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）20-0016-03

一、圖形直觀的內(nèi)涵和作用

史寧中教授提出：“幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式或數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力.”孔凡哲教授認(rèn)為：“在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)形式有四種，即實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀.”從兩位教授的觀點(diǎn)可以看出，圖形直觀作為幾何直觀的一種形式，是一種利用圖形研究數(shù)學(xué)對(duì)象的能力.它具有直接感知和整體把握的特點(diǎn).圖形直觀是幫助解決數(shù)學(xué)問題的有效手段.數(shù)學(xué)問題中的很多條件往往是隱性的、片段性的，而圖形直觀則恰恰是利用圖形把條件顯性地、連續(xù)地表達(dá)出來，進(jìn)而使解題思路直觀化.圖形直觀是利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，圖形直觀能力在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.

二、圖形直觀在引導(dǎo)解題思路中的應(yīng)用

1.圖形直觀在函數(shù)中的應(yīng)用

圖像在函數(shù)中有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)閳D像本身就是函數(shù)的表達(dá)方式，是最為直觀的表達(dá)方式.

[例1]已知函數(shù)[f（x）=ax+bx]，若[01]，函數(shù)[g（x）=f（x）-2]有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求[a b]的值.

我們把解析分成兩段.

第一段：[g（x）=f（x）-2=ax+bx-2]，[g'（x）=axln a+bxln b=axln bbax+ln aln b]，由[01]可得[ba>1]，令[g'（x）=0]得[x0=logba-ln aln b]，[x∈（-∞， x0）]遞減，[x∈（x0，+∞）]遞增，[g（x）]的最小值為[g（x0）].

由[g（0）=0]，可知0是函數(shù)[g（x）]的零點(diǎn).

第二段：通過第一段的分析我們已經(jīng)初步掌握了這個(gè)函數(shù)的一些已知信息和一些不確定的信息，整理如下.

已知函數(shù)信息：[g（0）=0]，[x∈（-∞， x0）]遞減，[x∈（x0 ，+∞）]遞增，[g（x）]的最小值為[g（x0）].

不確定的信息：函數(shù)的極小值點(diǎn)在哪里（和0比）？圖像在除0以外的地方的零點(diǎn)有沒有不清楚？

根據(jù)已知的信息，再結(jié)合需要探索的信息，我們可以畫出這樣的三種函數(shù)草圖（如圖1、圖2、圖3）.

圖1 [x0=0]情形? ? ? 圖2 [x0>0]情形? ? ? ?圖3 [x0<0]情形

圖形直觀幫助我們形成初步的感性結(jié)論：

圖1符合題意，而圖2、圖3則不符合題意.結(jié)合這樣的圖形直觀，我們得到如下的數(shù)學(xué)推理：

（1）當(dāng)[x0=0]時(shí)，解得[ab=1]，函數(shù)[g（x）]在[（-∞， 0）]上遞減，在[（0，+∞）]上遞增，符合題意.

（2）當(dāng)[x0>0]時(shí)，在[x∈（-∞， x0）]遞減，[x∈（x0，+∞）]遞增，所以在[x∈（-∞， x0）]有一個(gè)零點(diǎn)0，[g（x0）0]，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，在以[x0]和[loga2]為端點(diǎn)的正開區(qū)間內(nèi)必然存在一個(gè)零點(diǎn)，所以這樣[g（x）]就有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.

（3）當(dāng)[x0<0]時(shí)，在[x∈（-∞， x0）]遞減，[x∈（x0，+∞）]遞增，所以在[x∈（x0，+∞）]有一個(gè)零點(diǎn)0，[g（x0）0]，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，在以[x0]和[logb2]為端點(diǎn)的負(fù)開區(qū)間內(nèi)必然存在一個(gè)零點(diǎn).這樣，[g（x）]就有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.

2.圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是特殊的函數(shù)，圖形直觀在數(shù)列中的應(yīng)用就顯得水到渠成.

[例2]已知數(shù)列[an]，[bn]都為等差數(shù)列，數(shù)列[cn]滿足[cn=an，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，][n∈N?].且對(duì)任意[n∈N?]，[cn+1>cn]恒成立.求證：數(shù)列[an]，[bn]的公差相等.

分析：[an=a1+（n-1）d1，bn=b1+（n-1）d2]，[cn+1>cn]恒成立顯示[an， bn]上的點(diǎn)交替上升.

已知信息：

①[an， bn]是關(guān)于[n]的一次函數(shù)，其圖像是直線上的一系列點(diǎn).

②[cn+1>cn]恒成立顯示[an， bn]上的點(diǎn)交替上升.

不確定的和需要探索的信息：

[d1， d2]的大小關(guān)系未定.

根據(jù)上面的信息，我們可以畫出如下圖形.

圖4 [d1=d2]情形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5 [d1

上面的圖形直觀幫助我們初步得到如下結(jié)論：

（1）圖4是[d1=d2]情形，符合交替上升的題意.

（2）圖5是[d1an+8]，不符合交替上升的題意.[d1>d2]情形類似.

說明：這里的圖形是草圖，圖形繪制時(shí)需要結(jié)合我們的想象力，把盡可能多的情形繪制出來.如圖5中[bn+7>an+8]，說明在無窮遠(yuǎn)處某個(gè)區(qū)間必然會(huì)有這樣的兩個(gè)點(diǎn)，不符合交替上升的規(guī)律.借助這樣的圖形直觀，我們有如下的數(shù)學(xué)推理.

解：設(shè)數(shù)列[an]的公差為[d1]，數(shù)列[bn]的公差為[d2] .

①若[d1>d2]，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

[cn=an=a1+（n-1）d1]，[cn+1=bn+1=b1+nd2]，

則當(dāng)[n>-a1+d1+b1d1-d2]時(shí)，

[cn+1-cn=（d2-d1）n+b1+d1-a1<0]，

即[cn+1

②若[d2>d1]，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

[cn=bn=b1+（n-1）d2]，[cn+1=an+1=a1+nd1]，

則當(dāng)[n>-b1-d2+a1d2-d1]時(shí)，

[cn+1-cn=（d1-d2）n+a1+d2-b1<0]，即[cn+1

綜上，[d1=d2]，原命題得證.

3. 圖形直觀在解析幾何中的應(yīng)用

[例3]已知橢圓[x25+y2b=1]和直線[y=kx+1][（k∈R）]總有公共點(diǎn)，則[b]的取值范圍為.

分析：橢圓和直線都具有明顯的圖形特征，可用數(shù)形結(jié)合去試著解決問題.

已知信息：① [x25+y2b=1]與[x]軸的交點(diǎn)為[（5， 0）];

② [y=kx+1（k∈R）]過定點(diǎn)[（0，1）].

未知和需要探索的信息：

① [y=kx+1（k∈R）]的斜率可以任意變化.

② [x25+y2b=1]與[y]軸的交點(diǎn)為[（0， b）]，需要探求[b]的取值范圍.

根據(jù)上面的信息，可得出如下可能的圖形.

圖6 [0

圖8 [15]情形

由圖形直觀我們可以知道：圖6不符合題意，圖7至圖9符合題意，所以[b]的取值范圍為[b>1]且[b≠5].

三、圖形直觀能力的培養(yǎng)

認(rèn)識(shí)論、邏輯學(xué)以及心理學(xué)的研究都表明培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)圖形直觀能力有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和應(yīng)用.那么如何培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀能力呢？

1.善于利用圖形描述數(shù)學(xué)問題

利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生對(duì)事物關(guān)系產(chǎn)生直接的感知與認(rèn)識(shí).史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的.所謂“看”是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長(zhǎng)期的有效能的觀察和思考的基礎(chǔ)上.例1中“函數(shù)[g（x）=f（x）-2]有且只有1個(gè)零點(diǎn)”用圖形描述為“函數(shù)圖像與[x]軸只有一個(gè)公共點(diǎn)”;例2中“[cn+1>cn]恒成立”用圖形描述為“[an， bn]上的點(diǎn)交替上升”.這樣的圖形描述很直觀.利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，正是為了讓學(xué)生通過“看”形成直覺判斷.

2.善于利用圖形理解數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)問題一般都是以符號(hào)的形式給出的，要想解決數(shù)學(xué)問題，我們必須很好地理解數(shù)學(xué)問題.利用圖形可以幫助我們更加直觀而有效地理解題意.如上述問題“求證：數(shù)列[an]，[bn]的公差相等”即“要想[an， bn]上的點(diǎn)總是交替上升，則必然有[d1=d2]”.于是我們聯(lián)想到了[d1

3.善于利用圖形解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象、感知與想象的結(jié)合.圖形在解決一些不需要寫出邏輯推理過程的數(shù)學(xué)問題中具有非常獨(dú)特的魅力.如上述中的“已知橢圓[x25+y2b=1]和直線[y=kx+1（k∈R）]總有公共點(diǎn)”可以理解為“直線隨便怎么畫，都要和橢圓有公共點(diǎn)”，所以定點(diǎn)[（0，1）]必須在橢圓內(nèi)或在橢圓上.

四、誤區(qū)及反思

正確的圖形直觀可以引導(dǎo)學(xué)生正確的解題思路，錯(cuò)誤的圖形直觀必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的引導(dǎo).

例如，在分析函數(shù)[f（x）=xex]的性質(zhì)時(shí)，通過求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)函數(shù)在[（-∞， 1）]上遞增，在[（1，+∞）]上遞減.圖形直觀表示如圖10所示.

圖10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖11

事實(shí)上，當(dāng)[x>0]時(shí)， [f（x）>0]，上面的圖像是有問題的.當(dāng)[x→+∞，? f（x）→0+]，借助數(shù)的分析我們把圖像調(diào)整為圖11所示.因?yàn)槭侵庇^，所以我們只關(guān)注一些主要信息，漏掉了一些次要信息，導(dǎo)致我們對(duì)圖像的把握不準(zhǔn)確，所以圖形直觀的精確度是值得關(guān)注的，不同的問題要求圖形的精確度也不同.倘若上面的問題關(guān)注的是函數(shù)的最大值，那么圖10的直觀圖就足夠了.但如果是函數(shù)的零點(diǎn)問題，則需要用圖11的直觀圖.這就要求我們?cè)谧髦庇^圖時(shí)，搞清問題是什么，所以在使用圖形直觀去分析時(shí)，務(wù)必要力求圖形準(zhǔn)確，分類全面.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 蔣海燕.中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略[M].濟(jì)南：山東人民出版社，2017.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）