例談弦切角定理的應用

蘭巧

[摘? ?要]弦切角定理是每年中考必考的一個基本知識點，其在解決平面幾何中的長度與角度的求值、判斷、證明等相關的問題都有著廣泛的應用.探討弦切角定理的應用，對指導教師的數學教學，提高學生的解題能力有實際意義.

[關鍵詞]弦切角定理;圓;線段;角度

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0025-02

弦切角定理（弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角）是《圓的進一步認識》的重點內容之一，在證明角相等、線段相等、線段成比例等問題時，有著非常重要的作用.下面就應用弦切角定理求值問題、判斷問題及證明問題等方面加以實例剖析.

一、求長度問題

利用弦切角定理中角度相等，把相應三角形中的對應角的相等關系加以等量轉化，可以用于求解相應線段的長度等問題.

[例1]如圖1，在△ABC中，∠CAB及它的外角的平分線與BC及其延長線分別交于點D、E，若[△ABC]的外接圓⊙O過點A的切線AF與CE的交點為點F，若AF=2，則ED的長度為________.

圖1

分析：要求解ED的長度問題，可以結合圖形中的幾何性質，結合推理與論證，綜合應用弦切角定理、角平分線定理以及[∠EAD=90°]的性質，轉化為直角三角形來分析，從而得以求解線段的長度問題.

解：由于AF與⊙O切于點A，而∠FAB、∠C分別為弧AB上的弦切角與圓周角，

則由弦切角定理，可得[∠FAB=∠C]，又AD是∠CAB的角平分線，則[∠BAD=∠CAD]，

而[∠FDA=∠CAD+∠C]，[∠FAD=∠BAD+∠FAB]，∴[∠FDA=∠FAD]，則[DF=AF=2 ].

又∠CAB及它的外角的平分線與BC及其延長線分別交于點D、E，那么[∠EAD=90°].

而[∠E+∠FDA=∠EAF+∠FAD=90°]，[∠FDA=∠FAD]，則有[∠E=∠EAF].

∴[EF=AF=2]，故[ED=EF+FD=2+2=4].

點評：平面幾何中的長度求值問題，通常結合弦切角定理加以過渡，通過角度相等的關系來處理有關的角度、長度等的求值問題.

二、求角度問題

利用弦切角定理中角度的相等的轉化，把相應三角形中的對應角的相等關系加以等量轉化，可以用于求解相應角的角度等問題.

[例2]如圖2，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于C，延長PO交⊙O于點B，[PA=AB]，PD平分∠APB交AB于點D，則[∠ADP=] .

圖2

分析：引入輔助線AC，結合切線利用弦切角定理加以過渡，結合線段相等利用等腰三角形的性質來轉化角之間的關系，利用三角形的外角以及圓的性質確定相應角度問題，再綜合角平分線的性質加以分析與求解.

解：連接AC，由于PA是⊙O的切線，由弦切角定理可得∠CAP=∠ABP，

又[PA=AB]，可得[∠APC=∠ABP]，則有[∠APC=∠CAP]，

又[∠ACB=∠CAP+∠APC=2∠ABC]，BC是[⊙O]的直徑，

那么有[∠ACB+∠ABC=90°]，可得[∠ABC=30°]，

而PD平分∠APB，可得[∠BPD=15°]，即[∠ADP=∠ABC+∠BPD=45°].

點評：在處理平面幾何中的角度求值問題時，要引入適當的輔助線，結合弦切角定理，轉化為對應的角相等或相應的三角形相似等問題來分析與證明.

三、解判斷問題

利用弦切角定理把相應三角形中的對應角的相等關系加以等量轉化，可以用于判斷圖形的形狀、三角形的全等或相似等問題.

[例3]如圖3，AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使[BC=12AB]，自點C作CD切⊙O于點D，連接AD.試判斷△DAC的形狀.

圖3

分析：要判斷△DAC的形狀，初步可以結合圖形判斷其為等腰三角形，通過弦切角定理把相應三角形中的對應角的相等關系加以等量轉化，從而得以證明對應的角度相等.

解：如圖4，連接DO、DB，由于CD與⊙O切于點D，而∠BDC、∠A分別為弧BD上的弦切角與圓周角，則由弦切角定理，可得[∠BDC=∠A]，又[BC=12AB]，則[OB=BC]，而在[Rt△DOC]，中線[DB=12OC=BC]，則[∠BDC=∠C]，則有[∠C=∠A]，故[△DAC]的形狀為等腰三角形.

圖4

點評：在判斷一些三角形的形狀等相關問題中，可以通過弦切角定理中相應角度相等的等量轉化，再結合條件，通過角度的關系來判斷三角形的形狀.

四、解證明問題

利用弦切角定理把相應三角形中的對應角的相等關系加以等量轉化，可以用于證明直線的位置關系、線段間的比例關系等問題.

[例4]如圖5，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F.求證：（1）[EF∥BC];

（2）若AD與EF交于點G，求證：[AF·FC=GF·DC];

（3）若FD、AB延長線交于M.求證：[DM2=BM·AM].

圖5

分析：要證明兩直線平行，可以通過兩直線平行的相應判定定理加以證明，通過弦切角定理，從對應的角相等加以分析.通過對應角的相等來證明相應的三角形相似，從而證明問題.

證明：如圖6，連接ED、DF，

（1）由于經過點A的⊙O與BC切于點D，而∠FDC、∠DAF分別為弧DF上的弦切角與圓周角，則由弦切角定理，可得[∠FDC=∠DAF]，而由圓周角定理定理及其推論，可得[∠EFD=∠EAD]，又由于AD是[△ABC]中∠BAC的平分線，則有[∠EAD=∠DAF]，[∴∠FDC=∠EFD]，故[EF∥BC];

圖6

（2）由（1）知∠FDC=∠DAF，而在（1）中證得[EF∥BC]，則∠C=∠AFG，∴△DCF∽△AFG，則有[DCFC=AFGF]，故有[AF·FC=GF·DC];

（3）如圖7，由（1）知∠FDC=∠DAF=∠EAD，而由對頂角知∠FDC=∠BDM，∴∠EAD=∠EAD，又∠M為公共角，∴△DBM∽△ADM，則有[DMBM=AMDM]，故有[DM2=BM·AM].

圖7

點評：在處理幾何中的證明問題時，要通過適當的輔助線引入，結合弦切角定理，轉化為對應的角相等或相應的三角形相似等問題來分析與證明.

弦切角定理是得出角相等的很好的工具.在應用弦切角定理時，首先應會識別弦切角，確定其所夾弧.一般情況下，弦切角、圓周角、圓心角都是通過它們夾的（或對的）同一條弧（或等弧）聯系起來的.因此，當已知有切線時常添線構建弦切角或添切點處的半徑應用切線的性質解決問題.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 楊晟和.弦切角定理的逆定理及其應用[J].中學數學雜志，2009（4）：28-29.

[2]? 王文智.探析一道中考壓軸題的多種解法[J].理科考試研究，2019（16）：6-8.

[3]? 桂思強.一道中考題的解析與思考[J].中學數學教學參考，2018（36）：63-64.

[4]? 陳春濤.弦切角圖形在廣東省中考綜合題中的應用與教學建議[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（12）：46-48+38.

[5]? 袁紹建.正難則反 逆向思維[J].中學數學教學參考，2018（15）：40-41.

（責任編輯 黃桂堅）