例析函數(shù)值域的求法

陳小璽

[摘? ?要]研究求函數(shù)值域的方法能提高學(xué)生的解題能力.求函數(shù)值域的方法有觀察法、配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、圖像法、利用函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的反函數(shù)、利用已知函數(shù)的值域、利用導(dǎo)數(shù)等.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);值域;求法

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）20-0032-02

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，作為函數(shù)三要素之一的值域，是這一內(nèi)容的重要組成部分.求函數(shù)值域是歷年高考的必考內(nèi)容.求函數(shù)值域的方法有觀察法、配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、圖像法、利用函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的反函數(shù)、利用已知函數(shù)的值域、利用導(dǎo)數(shù)等.

一、觀察法

[例1]求下列函數(shù)值域.

（1）[y=-3x+2（-1≤x≤3）];

（2）[y=1-x2]，[x∈-2，-1， 0， 1， 2];

（3）[y=2x-1];

（4）[y=1， x>0，0， x=0，-1， x<0.]

答案：（1）[-7， 5]，（2）[-3， 0， 1]，（3）[（-∞，-1）?] [（-1，+∞）]，（4）[-1， 0， 1].解題過程略.

二、配方法

利用二次函數(shù)的配方法，是求二次函數(shù)類值域的最基本的方法.一般地，像[g（x）=af（x）2+bf（x）+c]的函數(shù)的值域問題，可以用配方法.

[例2]求函數(shù) [y=2x+2-3×4x（-1≤x≤0）]的值域.

解：[y=2x+2-3×4x=4×2x-3×22x，]

令[2x=t，∵-1≤x≤0，∴12≤t≤1，]

[y=-3t2+4t=-3t2-43t+49-49=][-3t-232+43]，[∴ymax=43]，[ymin=1]，[∴1≤y≤43].

[例3][求函數(shù)y=x-3+5-x的值域].

解：[由x-3≥0，5-x≥0， ]得[3≤x≤5]，

∴函數(shù)定義域?yàn)閇3， 5].

[又∵y2=2+2（x-3）（5-x）=2+21-（x-4）2]，[∴2≤y2≤4]，[∵y>0]，[∴2≤y≤2]，∴函數(shù)的值域?yàn)閇2， 2].

三、判別式法

利用二次函數(shù)的判別式求函數(shù)的值域，一定要注意定義域.一般情況下，把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于[x]的二次方程[f（x， y）=0]，通過二次方程有實(shí)根，則判別式[Δ≥0]，從而求得原函數(shù)的值域.形如[y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2]（[a1]，[a2]不同時(shí)為0）的函數(shù)的值域常用此法.

[例4]求函數(shù)[y=x2-x+12x2-2x+3]的值域.

解：由已知得

[（2y-1）x2-（2y-1）x+（3y-1）=0]? ?（*）

（1）若[2y-1=0]，則[y=12]，代入（*）式得[32-1≠0]，[∴y≠12].

（2）若[2y-1≠0]，則[∵x∈R]，∴Δ[=（2y-1）2-4x（2y-1）（10y-3）≥0]，即 [（2y-1）（10y-3）≤0]，[∴310≤y≤12]，

∴值域[310≤y<12.]

[例5][求函數(shù) y=x2+4x+3x2+x-6 的值域].

解：由已知得

[（y-1）x2+（y-4）x-（6y+3）=0]? （**）

（1）若[y=1]，代入（**）式得[-3x-9=0]， ∴[x=-3]，此時(shí)原函數(shù)分母[x2+x-6]的值為0，∴[y≠1].

（2）若[y≠1]，則∵[x∈R]，∴[Δ=（y-4）2+4（y-1）] [（6y+3）≥0]，化簡(jiǎn)可得（[5y-2）2≥0]，則[y∈R]，

但當(dāng)[y=25]時(shí)，代入（**）式得[x=-3]，[∴y≠25]，∴值域[yy∈R 且y≠1且 y≠25].

四、換元法

對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.形如：[y=ax+b+cx+d]（a、b、c、d均為常數(shù)，且[ac≠0]）的函數(shù)常用此法求值域.

[例6]求函數(shù)[y=x-x（x≥0）]的值域.

解：令[t=x]，則[t≥0]，

則[y=t-t2=-t-122+14]，[y∈-∞，14]，

所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-∞，14].

[例7]求函數(shù)[y=3x2-12x+184x-x2-23]的值域.

解：[y=-3（4x-x2）+184x-x2-23]，[令4x-x2=t]，則[4x-x2=t2]，[∴y=-3t2+18t-23=-3（t-3）2+4]，由[4x-x2=-（x-2）2+4≤4]，知[0≤t≤2].

∴[ymax=1]，[ymin=-23]，∴原函數(shù)的值域?yàn)閇-23， 1 ].

五、利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求出函數(shù)的最值.

[例8]求函數(shù)[y=x+2x+1]的值域.

解：[∵y1=x]，[y2=2x+1]均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，[∴y=x+2x+1]在公共定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞增，而[y=x+2x+1]的定義域是[x≥-1]，∴[ymin=-1]（當(dāng)[x=-1]時(shí)），∴原函數(shù)的值域?yàn)閇y≥-1].

六、基本不等式法

這種方法是利用如下的“基本不等式”和與“復(fù)數(shù)的模”有關(guān)的不等式求函數(shù)值域.

（1）[a+b≥2ab]，[ab≤a+b22]（這里a、b為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時(shí)取等號(hào)）;

（2）[a+b+c≥3abc3]，[abc≤a+b+c33]（這里a、b、c為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b=c]時(shí)取等號(hào)）;

（3）[z1-z2≤z1±z2≤z1+z2 ].

[例9]求函數(shù)[y=3x2+2x2-1]的值域.

解：由[3x2+2x2≥23x2?2x2=26]，∴[y=3x2+2x2-1≥26-1].又由[3x2=2x2]得[x4=32]，得[x2=62]，∴有[x=±2442]，∴值域是[yy≥26-1].

七、利用原函數(shù)的反函數(shù)求值域

如果一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，那么反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域.

[例10]求函數(shù)的[y=10x-10-x10x+10-x]值域.

解：[y·10x+y·10-x=10x-10-x]，即[y·102x+y=102x-1]， ∴[1+y=（1-y）·102x]，

∴[2x=lg1+y1-y]，即[x=12lg1+y1-y]，定義域[1+y1-y>0].

∴[-1

即原函數(shù)[y=10x-10-x10x+10-x]的值域是[-1

八、利用已知函數(shù)的值域求值域

[例11]求函數(shù)[y=1+sin x3+cos x 的值域].

解：利用三角函數(shù)的值域來求值域.把函數(shù)式去分母變形得[ycosx-sinx=1-3y]，

即[1+y2y1+y2cosx-11+y2sinx=1-3y]，令[tanφ=y]，[sin（φ-x）=1-3y1+y2]，

因?yàn)閇sin（φ-x）≤1]，所以[1-3y1+y2≤1]，解得[0≤y≤34]，所以函數(shù)的值域?yàn)閇0 ， 34].

九、數(shù)形結(jié)合法

利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法求函數(shù)的值域.

[例12]求[y=x+1+（x-2）2 的值域].

解：[y=x+1+x-2=-2x+1 （x<-1），3 （-1≤x≤2），2x-1 （x>2）.]

由圖1知，值域?yàn)閇y≥3].

圖1

十、利用導(dǎo)數(shù)求值域

[例13]求函數(shù)[f（x）=ln（1+x）-14x2+1]在[0， 2]上的值域.

解：[f'（x）=11+x-12x，]令[11+x-12x=0]，化簡(jiǎn)為[x2+x-2=0]，解得[x1=-2]（舍去），[x2=1].當(dāng)[0≤x<1]時(shí)，[f'（x）>0]，[f（x）]單調(diào)遞增;當(dāng)[10]，[f（1）>f（2）]，所以[f（0）=0]為函數(shù)[f（x）]在[0， 2]上的最小值，[f（1）=ln 2+34]為[f（x）]函數(shù)在[0， 2]上的最大值，所以[y∈1， ln 2+34].

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）