淺析多普勒效應的不對稱性

余志衛

[摘? ?要]多普勒效應在日常生活、生產中比較常見，但在高考物理中屬于非重點考查內容，所以在日常教學中，通常是點到為止，過后師生都不會花太多的時間在這部分內容上。鑒于此，文章較全面地分析了多普勒效應，以便學生較全面地理解與掌握多普勒效應。

[關鍵詞]多普勒效應;伽利略;時空坐標變換

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? ?A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0045-03

當一輛汽車從我們身旁急馳而過的時候，我們會感到車上喇叭的音調從尖銳變為低沉。站在鐵路旁聽列車的汽笛聲也能感到：列車迅速迎面而來時音調較高，而列車離去時則音調又變得比較低。實驗表明，聲源不動而觀察者相對傳播介質運動時，也會發生接收到的聲波頻率和聲源頻率不一致的現象，這種現象稱為多普勒效應，是奧地利物理學家多普勒于1842年首先發現的。

在中學階段，課本上給出了多普勒效應的定性結果，學生只能從中定性了解多普勒效應，而不能從本質上定量地深層次地理解。有些學生、甚至部分教師錯誤地根據運動的相對性，認為觀察者遠離波源運動的多普勒效應與波源遠離觀察者的多普勒效應是等價的、完全一樣的。這就是對多普勒效應的理解不夠全面、深入的結果。本文從中學生能夠理解的角度出發，對多普勒效應做定量全面的分析，以消除師生在教學過程中認識上的一些誤區。

一、從中學生能夠接受的知識層面證明

為方便起見，我們假定相對運動發生在波源與觀察者連線上，并設波源相對介質運動的速度為[v源]，以向觀察者運動為正，反之為負（即靠近為正，遠離為負），觀察者相對介質運動速度為[v人]，以向波源運動為正，反之為負。用[f0]表示波源振動的頻率，以[λ0]表示波長，以[v0]表示波在介質中傳播的速度，觀察者接收到的實際頻率為f 。

1.波源和觀察者均相對介質靜止

如圖1所示，在觀察者看來，因波傳播的速度由介質決定，他觀察到波的速度為[v源]，波長仍為[λ0]，則[f=v源λ0=v源v源T=f0]，即觀察者接收到的頻率就是波源的頻率。

2.波源靜止，觀察者運動

觀察者相對介質運動，如圖2所示，此時[v源]=0，[v人≠0]。設觀察者向波源運動時[v人>0]，在單位時間內，原位于觀察者處的波向右傳播了距離[v0]，同時，觀察者自己向波源移近了距離[v人]。對觀察者而言，波在單位時間內通過了[v0+v人]的總距離。這相當于他觀察到波以[v0+v人]的速度在傳播。則有：

[f=v0+v人λ0=v0+v人v0T=1+v人v0f0]

在這種情況下，觀察者接收到的頻率增大;若觀察者遠離波源運動，上式仍成立，此時[v人]為負，[f=1-v人v0f0]（條件是人遠離的速度小于波速[v0]），即他接收到的頻率變小;若觀察者遠離波源運動的速度大于波速[v0]，則他比波運動得快，他將接收不到聲波。

3.觀察者靜止，波源相對介質運動

如圖3所示，此時[v人=0]，[v源≠0]。由于波在介質中傳播的速度由介質決定，與波源運動無關。若波源以速度[v源]向著觀察者運動，則它發出的球面波不再同心。當波源靜止時，相鄰兩振動狀態相同的兩點之間的距離為[λ0]。波源運動時，當第一個波自波源發出后，該波以速度[v0]向前傳播，設一個周期后，第二個波發出，波源已向前移動了[v源T]的距離，而此時第一個波向前傳播了[λ]0的距離到達s點，結果在觀察者看來，相鄰兩振動狀態相同的兩點間距離變為[λ0-v源T]，此即為觀察者觀察到的波長[λ]。如圖4，若[t]時刻波源位于O點，當下一個振動自波源發出時，波源已向前移動了[v源T]到達[O′]點，對觀察者而言，他感到介質中波長比原來縮短了[v源T]，此時他觀察到的波長為[λ=O′S=OS-OO′=λ0-v源T]。于是觀察者接收到的頻率為：

[f=v0λ=v0λ0-v源T=v0v0T-v源T=v0v0-v源f0]

即觀察者接收到的頻率增大。若波源遠離觀察者運動，上式中的[v源]為負值，觀察者接收到的頻率為[f=v0v0+v源f0]，比波源頻率小。

4.波源和觀察者同時相對介質運動

此時[v源]和[v人]都不為零（設都大于零）。現以波源與觀察者相向運動為例，根據前面的討論，影響觀察結果的因素有兩個：一是波源相對介質運動，使觀察到的波長變短（[λ=λ0-v源T]）;另一個是觀察者的運動，使觀察到的波速變為[v=v0+v人] ，所以當波源和觀察者同時相向運動時，觀察者接收到的波頻率為：

[f=vλ=v0+v人λ0-v源T=v0+v人v0-v源f0>f0] 。

在上面的討論中，波源與觀察者之間的相對運動都是發生在沿著兩者的連線上的。現在考慮波的傳播方向、波源速度與觀察者速度三者不共線的一般情況。如圖5所示，設t時刻波源位于S點，以速度[v源]向[S]運動，觀察者位于R點以速度[v人]向[R]運動。在t時刻，觀察者接收到波的傳播速度（沿波源與觀察者連線方向）是[v=v0+v人cos β]，觀察者測得的波長是[λ=λ0-v源Tcos α]，故t時刻觀察到的頻率為：

[f=v0+v人cos βλ0-v源Tcos α=v0+v人cos βv0-v源cos αf0]

這就是多普勒效應的普遍公式。由此可知，機械波的多普勒效應只有在沿波源與觀察者的連線上才會發生。

二、用伽利略時空坐標變換證明

如圖6所示，O為靜止坐標系，[O]為相對O系做勻速平動的運動坐標系。由圖可見

[r=r'+r0]，

圖6

按照經典力學的相對性原理，有：

[r'= r-v0t]，[t'=t]

[t']表示運動坐標系中的時間，[t]為靜止坐標系中的時間，上式稱為伽利略時空坐標變換。

1.波源靜止，觀察者相對介質運動

如圖7所示，靜止坐標系O建在波源處，在運動的觀察者處建立運動坐標系[O′]，若觀察者遠離波源運動的速度為[v（v

[y'=y]，[x'=x-v人t]

在O系中沿x軸正向傳播的波方程為 [y=Acosωt-ωxv0]，把上式的x代入得：

[y=Acos1-v人v0ωt-ωxv0]

又 [y=Acosωt-ωxv0]

比較可得，[ω=1-v人v0ω] ，其中[ω]為[y']系中的角速度，也即觀察者觀察到的角速度，所以有：

[f=1-v人v0f0]

也就是觀察者遠離波源運動時接收到的頻率變小;若觀察者遠離波源運動的速度大于波速[v0]，則他比波運動得快，他將接收不到聲波。

若觀察者向波源運動，只要把[-v人]代入上式即可，因而有：

[f=1+v人v0f0]

這說明他接收到的頻率增大;

2.觀察者靜止，波源相對介質運動

如圖8所示，以靜止的觀察者作為靜止坐標系的O點，運動坐標系[O′]建在以[v源]速度遠離觀察者的波源上，同樣，由伽利略時空坐標變換有：

[y=y']， [x=x'+v源t]

O系中沿x軸負方向傳播的波方程為：

[y=Acosωt+ωxv0]，

其中[ω]為O系中觀察者觀察到的角速度，把伽利略時空坐標變換代入上式：

[y=Acos1+v源v0ωt+ωxv0]

[y']系中的波方程為：[y=Acosωt+ωxv0]，

比較上兩式，得[ω=1+V源v0ω]，其中[ω]為運動坐標系中波振動的角速度，也即波源的角速度[ω0] ，故有[f0=1+v源v0f]，所以觀察者觀察到的頻率為：

[f=v0v0+v源f0]

這就是說此時觀察者觀察到的頻率變小。若波源向觀察者運動則上式中以[-v源]代替[v源]，則有：

[f=v0v0-v源f0]

即波源向觀察者運動時，觀察者接收到的頻率增大。

另外，由上面的結果可以看出，波源相對介質運動與觀察者相對介質運動的多普勒效應是不同的或者說是不對稱的，這也往往是我們在教學中容易誤解的地方。這是由于多普勒效應并非決定于波源與觀察者之間的相對速度，而是取決于波源或觀察者相對介質的速度，而機械波是相對介質傳播的緣故。事實上，波一旦從波源發出，就以恒定的速度v0在介質中傳播，波源相對介質運動不會帶動這些波一同運動。波源相對介質運動的結果必然導致波在介質中的分布發生變化（波長改變）。由于波是通過介質傳播的，因而是分布在介質里的，觀察者相對介質運動，他觀察到的波長不會改變，但他感到波傳播的速度發生了變化。可見：機械波的多普勒效應只跟波源和觀察者相對于介質的運動有關。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 梁昆淼，俞超，年樹業.力學討論[M].成都：四川教育出版社，1987.

[2]? 潘武明.力學：計算機輔助教程[M].北京：科學出版社，2004.

[3]? 楊維纮.力學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2014.

（責任編輯 易志毅）