高考微專題“繩物模型”的延伸

蔡育惠

[摘? ?要]繩物模型是高考中非常重要的一個物理模型，這個物理模型的知識點覆蓋面非常廣，可以涵蓋曲線運動、機械能守恒等知識，可以涉及碰撞問題、臨界值問題，可以和諸多知識點組合命題。因此，分析研究繩物模型并適當延伸是培養學生物理思維能力的好方法。

[關鍵詞]繩物模型;向心力;機械能守恒

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? ?A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）20-0056-02

如圖1所示，輕繩一端固定于O點，另一端系著一個小球，在豎直面運動，此過程中小球只受重力和繩子的拉力，滿足機械能守恒。繩物模型覆蓋面很廣，從很簡單的題目一直到很難的題目都有，掌握好繩物模型，對功能關系、曲線運動的理解和應用有很大的幫助。本文對高三一輪復習中可能出現的各種繩物模型進行歸納、總結。

【題1】如圖1所示，小球由θ角位置靜止釋放，求小球運動到最低點時的速度大小及繩子拉力。

分析：由功能原理可知：

[mgl（1-cosθ）=12mv2→v=2gl（1-cosθ）]

[mv2l=T-mg→T=（3-2cosθ）mg]

【題2】如圖2所示，小球運動至θ角位置時，速度大小為[v]，求此時的繩子拉力大小及加速度大小。

分析：按照力的作用效果可知，沿半徑方向的外力不做功提供了向心力，用來改變速度的方向;而沿切線方向的外力會做功，改變的是速度的大小，所以加速度分為向心加速度和切向加速度，然后再合成出結果。（如圖3所示）

圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

[T-mgcosθ=mv2l ，T=mv2l+mgcosθ]

向心加速度：[an=v2l]

切向加速度：[aτ=mgsinθm=gsinθ]

所以加速度：[a=a2n+a2τ=v2l2+gsinθ2]

【題3】如圖4所示，當小球運動至夾角[θ=30°]的時候，加速度恰好水平，求小球的最大擺角[θmax]。

圖4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5

分析：此時由繩子的拉力和重力的合力產生加速度，根據受力分析（如圖5所示），依據曲線運動規律求解最大擺角，只要能求出[θ=30]°時的速度大小，就可以運用動能定理求解。而速度的求解又可以由向心力的大小來求解。故有：

[12mv2=mgl（cosθ-cosθmax）]

[T-mgcosθ=mv2l]

[T=mgcosθ]

所以[θmax=43.95°]

【題4】輕繩吊著小球在豎直面內做完整的圓周運動（如圖6），試分析相關臨界值問題及關系。

分析：這個問題是教材中的內容，關鍵在于掌握繩物模型中，物在最高點時，繩子只能提供拉力，當小球位于最高點且繩子的拉力為零時，即為臨界值。

最高點：[T2+mg=mv22l]，當[T2=0]時，[v2=gl]

所以過最高點的速度應滿足：[v2≥gl]

最低點：[T1-mg=mv21l]且[12mv21-12mv22=mg·2l]

所以有：[v1≥5gl]且[T1-T2=6 mg]

【題5】如圖7所示，輕繩吊著小球，在最低點時，給小球一個速度[v1=4gl]，求小球脫離圓周軌道時與豎直方向的夾角θ是多少？

分析：有了題4的基礎，球在最低點時必須滿足[v1≥5gl]才能做完整的圓周運動，所以本題小球無法過最高點。同時應注意另一個臨界值[v0=2gl]，當[12mv20=mgl]，即速度為[v0]時，剛好由最低點運動到與圓心等高的點。本題中[2gl<4gl<5gl]，所以小球應該是運動至圓心以上部分脫離軌道。并且剛脫離軌道瞬間繩子拉力為0。此時受力分析如圖8所示。

剛剛脫離軌道時：[mgcosθ=mv22l]

[12mv22-12mv21=-mgl（1+cosθ）]

所以有：[cos θ=23]

【題6】如圖9所示，長為[l]的輕繩拉直時與水平夾角[α=30°]，此時繩子剛好沒有拉力，由靜止釋放，求小球擺到最低點時繩子的拉力T是多少？

分析：第一階段繩子沒有拉力，小球自由下落;第二階段，繩子繃直瞬間，沿著繩子方向速度突變為零，只保留沿切線速度，之后是圓周運動。

小球剛釋放的第一階段，做自由落體運動，故有：

[v21=2gl]

當繩子被拉直的瞬間，沿著繩子方向的速度突變為零，只有切線方向速度保留，接著做曲線運動，故有：

[v1x=v1cos30°]

[12mv22-12mv21=mgl（1-cosα）， ∴v2=104gl]

【題7】如圖10所示，長為l不可伸長的輕繩，一端固定于O點，另一端系著一質量為m的小球（可視為質點），將小球提至O點正上方的P點，此時繩剛好伸直且無張力，在P點將小球以[v1=gl5]水平拋出，小球經過最低時的動能是多少？

分析：因為[v1=gl5

平拋運動的運動軌跡如圖11。

水平方向：[x=vxt]，[vx=v1]

豎直方向：[y=12gt2]，[vy=gt]

由幾何關系得：[l2=y-l2+x2]，[tan θ=xy-l]

解得：[vy=455gl] ，[tan θ=43]

繩子繃直瞬間， 小球速度只保留沿切線方向分速度，其大小為：[v2=vysin θ-vxcos θ=13255gl]

之后小球機械能守恒， 設經最低點時動能為[Ek]，則有：[mg2l-y=Ek-12mv22]

解得： [Ek=269250mgl]

【題8】如圖12所示，一個質量為m的小球拴在長為[l=1.0] m的細線上做成一個單擺，當細線與豎直方向成[θ=37°]角時小球輕輕釋放，不計一切阻力，懸點[O′]的正下方有一顆釘子[P]，釘子位置離懸點[O′]點的距離為[h]，求 [h]滿足什么條件可使小球繞釘做圓周運動？

分析：小球下落，第一階段是圓周運動的一部分，當小球碰到釘子后，立刻繞著釘子做圓周運動，整個過程都只有重力做功，全程滿足機械能守恒。

先求臨界值，小球剛好過最高點：[mg=mv22R]

[mgl（1-cosθ）=12mv22+mg·2R]

解得：[R=25l（1-cosθ）=0.08 m]

P離懸點[O′]的距離[h=l-R=0.92（m）]

所以，[h]應滿足條件是：[0.92 m≤h<1.0（m）]

以上八個題型，主要集中在力學方面，繩球模型一旦結合電場，可以考查重力與電場力等效為一個力來處理，俗稱“等效重力法”;結合磁場考查，主要體現洛倫茲力的方向性，使得向心力的大小在往復過程中發生變化。綜上所述，掌握好繩物模型，對高考解題能力的提升是非常有用的。本文主要做了一些歸納總結，題型分析主要結合歷年高考模擬題或高考真題進行。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 趙云.淺談高中物理一輪復習中“繩模型”的教學盲區[J].宿州教育學院學報.2017， 20（4）：164-165.

[2]? 王漢權， 常琳.仿真環境下豎直平面內小球（繩桿模型）圓周運動規律探究[J].中學物理（高中版），2020（9）：47-51.

（責任編輯 易志毅）