循理入法 提升運算能力

劉 濤

(江蘇省睢寧縣李集鎮中心小學 221221)

課標把“運算能力”定位于義務教育階段學生數學發展的核心概念，其是數學學科獨有的能力，運算能力的形成對小學生數學能力的培養與提升起到了基石性的作用.在小學階段，運算能力的形成主要表現在“理解算理”、“構造算法”以及“解決問題”三個層面，然而，學生對于計算的掌握，常常出現算理和算法失衡的狀況.認知科學理論認為，只是按照指定的法則進行機械的操作是無意義的，可見處理好算理與算法的關系是非常重要的.

蘇教版小學數學教材中計算主要涉及的內容是整數、分數、小數的加、減、乘、除運算以及四則混合運算，筆者將各學段的算理呈現方式如下表所示.

學段算理呈現方式低年級主要借助實物圖、情境圖、數學工具(小棒、計數器等)、生活經驗以及簡單的數學活動經驗,經歷操作活動,直觀理解算理.中年級側重在學生原有的計算經驗基礎上,借助概念、定律等,通過“優化”“再構”等初步數學認識,理解算理.高年級更加側重數、形的結合,以數量關系為突破口,引導學生進行簡單的抽象與歸納.

一、多角度挖掘素材，厘清算理與算法聯系

教材可以理解為算理的表達方式，這些內容是以特定的文字、圖表、符號呈現出來，然而這種呈現方式是隱蔽的或是抽象的，它們只能有意地指向知識本身，學生無法直接讀出其深層含義，這就需要教師多角度挖掘教材，引導學生主動地深入建構.

一年級的學習內容以整數加、減法計算為主，教師需要引導學生將生活化經驗逐步提煉成數學化的表達與應用，幫助學生建立“加、減法意義”、“位值制”原則.如教學“9+幾”時的教材中主題圖：猴子面前是10個空格的盒子，里面放了9個紅蘋果，盒子外有4個綠蘋果，思考“一共有多少個蘋果？”如果教學時僅讓學生列出算式，講解“湊十法”計算結果是不夠的，學生學習是不深刻的，對知識的理解也是膚淺的.通過解讀主題圖以及借助“加法意義”理解，學生能明白求“一共有多少個”，就是將兩種蘋果合起來，用加法計算，即算式為9+4.部分學生在課前是可以算出結果的，那么教師如何挖深教材，讓學生不僅會算法，也可以深刻理解算理呢？教師可引導學生說一說9+4的計算方法，有的學生是從第一個蘋果開始數起，依次數完，得到13，這種方法是從加法的基數意義出發；有的學生是在9的基礎上，接著數完盒子外的綠蘋果，這是從加法的序數意義入手.數一數的方法與加法意義相融合，此時教師可以揭示這就是“9+4”的算理，學生對知識的理解就變得豐富起來.隨后，教師引導學生思考，“有更快速的方法嗎？”這樣學生不得不思考如何優化計算方法，教師可適時引導學生觀察盒子，盒子里一共有10個格子，再放1個蘋果正好放滿，即10個，加上剩下的3個，一共是13個蘋果.借助對“合并”理解，學生能體會具體數數中“湊十法”的意義，最后結合“滿十進一”的計數原則，進一步加深對“湊十法”的理解.

二、多元表征方式，加強算理與算法溝通

根據學生的年齡特點以及各個學段的知識特征，教材中算理的呈現方式不同，那么算理與算法的溝通方式就有所區別，倘若教師采用單一的活動，在搭建溝通的橋梁時學生就會出現各種困難.因此，教師要立足整體，采取多種形式，螺旋交互式開展，幫助學生構建計算模型.

以三年級《乘法和加減法的混合運算》為例，利用主題圖引導學生思考“小軍買3本筆記本和1個書包，一共用去多少元”，如何在理解算理的基礎上掌握算法呢？

1.文字語言轉換為符號語言，初步溝通算理與算法聯系

文字語言是能準確表示語義、信息和概念含義，經過加工、改造和精確化的數學語言.符號語言是一種具有確切含義的數學語言，包括象形符號、縮寫符號和約定符號等.根據主題圖讓學生獲得數學信息，并從已有的知識經驗出發，闡述題目中數量關系：一共用去的錢=3本筆記本的錢+1個書包的錢，這是解決本題依據的文字語言.有了依據學生呈現多樣的學習資源，即分步算式和綜合算式，這些算式就是符號語言.教師先讓列分步列式的學生講解思考過程，3×5=15(元)求出的是3個筆記本的錢數，15+20=35(元)是3個筆記本與書包的總錢數；再讓列綜合算式的學生講解思考過程，3×5+20前面的3×5是3個筆記本的錢數，再加1個書包的錢數就是一共花的錢.教師揭示這分別是“分步算式”與“綜合算式”，同時啟發學生分步算式和綜合算式在計算時有什么相同地方？由此學生領悟它們形異而質同的內在聯系.在呈現符號語言前，以文字語言為抓手，為學生理解分步算式與綜合算式的聯系奠定伏筆，并搭建起綜合算式中算理、算法的橋梁.

2.符號語言轉換為圖表語言，深刻理解算理與算法聯系

圖表語言是各種包含數學信息的圖形，如情境圖、實物圖、幾何圖、統計圖和集合圖等，直觀、具體地為學生提供一種看得見、摸得著的媒介.鄭毓信教授認為：數學教學必須“去情境”，僅僅讓學生在情境中理解乘法和加、減法的混合運算顯然是不夠的，脫離情境很多孩子會計算結果，卻說不清為什么這樣計算，或者只能停留在乘法和加、減法混合要先算乘，再算加、減的層次.為了讓學生深刻理解算理，教師可以在教學中加入情境展示的環節，如出示12+3×5，引導學生觀察12加的不是3而是3個5.“你可以畫圖表示它們嗎？”教師的提問引導孩子用圖表語言解釋符號語言.學生通過畫圖(圖1)，可以意識到12+3×5其實就是12+5+5+5，在這個還原過程中，教師適時提問，先算3×5是因為運算符號是“×”嗎？學生的思考進一步深入，3×5不是因為乘法是高級運算，而是因為5+5+5是同類事物，可以先算出結果.脫離具體情境，學生在符號語言向圖表語言的轉換中，對運算的本質有了整體的理解，對算法產生、發展、應用的綜合認識才真正發生.

三、關注多向聯系，內化算理與算法溝通

提升學生的運算能力，算理、算法之間要進行多向聯系，促進圖式與口算的聯系，圖式與筆算的聯系，口算與筆算的聯系等，學生才能更好地內化其溝通.

以三下《筆算兩位數乘兩位數(不進位)》為例，12箱迷你南瓜，每箱24個，一共有多少個？本節內容重點解決十位上的數與兩位數相乘的方法以及書寫格式.根據主題圖示學生可列出算式24×12.教師鼓勵學生獨立計算結果，學生展示個性化理解過程，方法一：6個2箱是12箱，再算6份共有多少個，即24×2×6；方法二：先算10箱有多少個，即24×10=240，再算2箱有多少個，即24×2=48，最后合起來就是所有的個數(240+48).很明顯方法二利于學生理解豎式計算的算理，如果此時教師直接呈現豎式計算，算法和算理的銜接不大恰當，知識的轉換有些過快，部分學生不能完全理解.教師可以引導學生在點子圖中圈出每一步計算的相應部分，并在交流中讓學生體會到方法二較為簡便.與此同時，在圖2中學生能體會到圖式與口算的溝通，在圖3中學生能體會到圖式與筆算的聯系.這時教師再引導學生仔細觀察情境圖，地上放著10箱南瓜，每箱寫著24個，搬運師傅手里搬著2箱，讓學生理解教材中圖示的用意，逐步聚焦算法，并延伸到筆算.

運算能力的提升不是一蹴而就的，教師要根據各個學段內容特點，有的放矢地引導學生在理解算理的基礎上，建構算法，幫助學生更好地理解數學活動，進而理解數學本質，提升數學思維能力.