“圓”來如此簡單
——“輔助圓”構造的解題探究

黃 磊

(江蘇省泰興市濟川中學教育集團陽江校區 225400)

面對一些“直線型”圖形問題，如果忽視圖形的幾何特征，直接解答往往會增加出錯的可能.但是，如果注意挖掘和利用其中的一些隱藏條件，巧作“輔助圓”，往往能簡便地解決問題.

一、問題引入，對中考題四種解法的教學反思

泰州中考數學卷案例：第25題.已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC.若點P在線段AB上，如圖1，設AB=a,BP=b.當EP平分∠AEC時，求a∶b及∠AEC的度數.

圖1

本題當年中考得分率較低，主要失分點是有好多同學第一問就求不出a：b，或者在求出a：b后，絕大多數考生被卡在第二問“求∠AEC的度數”上.

第一種：考卷參考答案的解法.

圖2

教者評析此解法綜合運用了等腰三角形的性質定理、角平分線性質定理的逆定理，及相似三角形和正方形的性質等，但過程繁瑣，考生拿到題目也不容易想到輔助線的作法.

第二種：所教學生的解法.

教者評析此法在求∠AEC的度數時，綜合用到正方形的性質、等腰三角形的性質和三角形的內角和定理等.

第三種：所教學生的解法.

∵PE∥CB,∴∠PEG=∠BCE=22.5°.

∴∠AEG=2∠PEG=45°

教者評析此法綜合用到三角形外角的性質、等腰三角形性質定理、平行線的性質.

第四種：筆者的解法.

同樣先連接BE.

教者評析總結反思上述4種解法，對比之下發現最簡潔的思路還是解法4.

二、“輔助圓”應用的情境分析

1.江蘇常州中考數學模擬卷案例一

如圖3，直線y=x+b(b>0)與x、y軸分別相交于A、B兩點，點C(1，0)，過點C作垂直于x軸的直線l，在直線l上取一點P，滿足PA=PB，點A關于直線l的對稱點為點D，以D為圓心，DP為半徑作⊙D.其中第 (3)小題，請試說明：直線BP與⊙D相切.

圖3

教者分析回答第(3)小題，如果按照一般思路，要證直線BP與⊙D相切，只要證BP⊥PD.要證BP⊥PD，大多數人的思路是：過點B作直線l的垂線，通過證明三角形全等來證明∠BPD=90°，而證明三角形全等的條件又不齊備，還需證明PC=OC=1，解題過程非常繁瑣.仔細分析題目條件，如果結合圖形的性質加以解決，則可找到證明∠BPD=90°的簡便方法：因為點D是點A關于直線l的對稱點，所以根據軸對稱圖形的性質可以得到PA=PD，再結合已知條件PA=PB，所以PA=PD=PB.以點P為圓心，PA的長為半徑作⊙P，則點A、點B和點D都在⊙P上.根據∠BAC=45°，由圓周角定理便能快速證到∠BPD=90°，從而證得BP⊥PD，所以直線BP與⊙D相切.

2.江蘇常州中考數學模擬卷案例二

在平面直角坐標系中，已知點A(4，0)、B(-6，0)，點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為____.

教者分析本題直接求解較難，但如果注意到題目中的關鍵條件“∠BCA=45°”，可以把∠BCA看作圓周角，構造以AB為弦，且弦AB所對圓心角為90°的圓：以AB為斜邊作等腰直角三角形——△ABP(有兩種可能：直角頂點P在x軸上方(如圖4)或直角頂點P在x軸下方(如圖5)，以點P為圓心，PA的長為半徑作圓，⊙P與y軸的交點即為符合條件的點C，故點C也有兩種可能的位置)，過點P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，垂足分別為E、F，進而結合題目條件，利用垂徑定理和勾股定理求得點C的坐標.

圖4 圖5

不難發現，“輔助圓”應用題型中的隱藏條件，具有3類共同特征：一是圖中包括幾條共有端點的相等線段；二是圖中含有90°、45°的角或者其他倍角關系的角；三是圖中有對角互補的四邊形，可利用四點共圓來解題.如果題目條件具備以上三點特征，就可以考慮是否需要構造“輔助圓”，問題解決相應也簡潔快捷得多，讓人感嘆“圓”來如此簡單.