“動靜法”解函數(shù)背景下幾何最值問題

張春花

(福建省莆田第二中學 351131)

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=x2-x-4與直線y=-2x+2交于A、B兩點，直線與y軸、x軸的交點分別為點E、點F.直線AB下方的拋物線上有一動點P，記點P的橫坐標為t.當△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.

圖1

二、特色解讀

題目簡約，內(nèi)涵豐富，指向核心素養(yǎng).

現(xiàn)在人的眼里，簡單即是美，體現(xiàn)在數(shù)學題目上也一樣.本題圖像簡單唯美，文字簡約，體現(xiàn)數(shù)學的簡約美.簡約外形下對動態(tài)下求三角形面積最大值這一核心問題考查到位，而且此題考查函數(shù)背景下的幾何最值問題，具有較好的延展性，題目不變，可以把問題變式為求線段最短，求三角形周長最短等等，可以從多角度變式探究，此題不失為一道內(nèi)涵豐富的課堂例題.

本題以二次函數(shù)為載體，綜合考查了初中階段“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”的重點知識：二次函數(shù)，一次函數(shù)，相似三角形，三角函數(shù)等，不僅為高中學習二次函數(shù)奠定了基礎，也對學生的思維發(fā)展產(chǎn)生了積極作用.

三、解法欣賞

分析完本題的條件，再來看本題的問題，當△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.通過分析已經(jīng)知道AB的長度，從靜態(tài)視角下考慮只要找到AB邊上的高長度最大時所對應的點P即可.從動態(tài)視角下考慮可以利用相似或三角函數(shù)轉(zhuǎn)化表示出AB邊上的高DP關于變量t的關系式，也可以考慮利用“化斜為直”轉(zhuǎn)化.

1.靜態(tài)法——利用直線平移，化動為靜

思路分析要求△ABP面積的最大值，AB的長度固定，只要找到點P到直線AB的距離最大值即可，將直線AB進行平移，很明顯平移到直線與拋物線只有一個交點的時候，即直線與拋物線相切時的切點P到直線AB的距離最大.聯(lián)立直線與拋物線的解析式，根據(jù)Δ=0得到k的取值，進而得到切點P的坐標.

解法1 利用直角三角形求面積

解法2 利用“化斜為直”求面積

因為A，B，P三點的坐標已經(jīng)求出來了，所以可以利用“割補法”求出ΔABP的面積.采用割法——“化斜為直”利用三角形面積等于鉛垂高與水平寬乘積的一半來求，前面求A，B，P三點的坐標同解法1，過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，根據(jù)直線的解析式可以得到點C的坐標，根據(jù)兩點的坐標公式可以得到CP長度，利用三角形面積等于鉛垂高(CP長度)與水平寬(A,B兩點的水平距離)乘積的一半可以回答本題的問題.

2.動態(tài)法——構(gòu)造函數(shù)法

思路分析從動態(tài)角度思考這道動點問題，根據(jù)ΔABP的面積等于底乘高的一半，已知AB長度，只要用變量t表示AB邊上的高DP即可，考慮利用相似,銳角三角函數(shù)把變量CP的長度轉(zhuǎn)化成DP的長度.

解法1 利用相似構(gòu)造函數(shù)

過點P作CP∥y軸交AB于C，DP⊥AB交AB于D，因為點C,P的橫坐標相同，且點C在直線y=-2x+2上，所以C(t，-2t+2)，進而得到CP的長度，利用△CDP與ΔEOF相似轉(zhuǎn)化得到DP與CP的數(shù)量關系，進而得到DP關于t的二次函數(shù)，然后根據(jù)三角形的面積等于底乘高的一半就成功的構(gòu)造出△ABP的面積關于t的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)回答本題的問題.

解法2 利用三角函數(shù)構(gòu)造函數(shù)

因為解法1中兩個相似三角形是直角三角形，所以可以考慮利用銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，由于DP與CP是∠PCD的對邊與斜邊的關系，所以考慮用銳角正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化.解題過程同解法1一樣，只是在求DP與CP關系式時用正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，同樣得到DP關于t的二次函數(shù).

解法3 利用“化斜為直”構(gòu)造函數(shù)

解法1,2是根據(jù)△ABP的面積等于底乘高的一半，利用相似，三角函數(shù)把變量CP的長度轉(zhuǎn)化成DP的長度求解，解法3考慮把△ABP的面積“化斜為直”直接利用CP(鉛垂高)的長度求面積.△ABP的面積等于鉛垂高(CP長度)與水平寬(A,B兩點的水平距離)乘積的一半.

四、教學導向

“動靜”視角思考函數(shù)背景下幾何圖形中含有“動態(tài)”元素題

函數(shù)背景下幾何最值問題，一題多解，可以提高同學運算能力，拓寬解題思路，對于幾何圖形中含有“動態(tài)”元素(點，線段等)的問題一般都有兩種視角思考的思路，視角1靜態(tài)下數(shù)形結(jié)合找到題目中要的動態(tài)元素位置；視角2動態(tài)下通過線段，面積等建立“動態(tài)”元素間的函數(shù)關系，用函數(shù)思想來處理，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出限制條件下的最值.

怎樣構(gòu)造函數(shù)表達式?解決步驟：一、根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)對所給條件進行轉(zhuǎn)化，合理設置參數(shù)，將點坐標轉(zhuǎn)化為線段長；二、合理利用面積，特殊圖形(如直角三角形、矩形、圓等)，特殊關系(如全等、相似、三角函數(shù)、勾股定理)將這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；三、利用函數(shù)性質(zhì)求解.

“動靜法”除了可以解決三角形面積最值外，還可以求解線段長、三角形或者四邊形的周長最值.此題的問題是求△ABP的面積最大時t的值，并求出△ABP面積的最大值，題目不變，對問題進行變式，變式一：過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，求CP最小時t的值，并求出CP的最小值；變式二：過點P作DP⊥AB交AB于點D，求DP最小時t的值，并求出DP的最小值；變式三：求△CDP周長最小時t的值，并求出△CDP周長的最小值等等變式，可以做多角度變式探究，這些變式題的做法都可以從以上總結(jié)的“動靜法”兩種視角思考.