恒定磁場中安培環路定理的探討

胡錫奎，李 麗，馮春寶，牟 瓊

(重慶郵電大學 理學院，重慶 400065)

安培環路定理是穩恒磁場最重要的定理之一，反映了磁場的渦旋性以及恒定磁場與電流的關系，是學生必須掌握但概念容易混淆的一個定理，其具體表達式如下

∮lB·dl=μ0∑Iin

(1)

其具體意義為：在真空的恒定磁場中，磁感應強度沿任一閉合曲線(回路)的路徑積分(即B的環流)的值，等于真空的磁導率μ0乘以穿過以該曲線所包圍的各恒定電流的代數和[1-3].

1 安培環路定理應用的探討

相對于畢奧-薩伐爾定理，安培環路定理具有更簡潔的形式，常用于計算恒定電流所產生的磁場的磁感應強度分布[4,5].在一般的恒定電流情況下，安培環路定理公式等號右側電流的代數和很容易計算，但公式等號左側的路徑積分計算比較困難，甚至需要利用數值計算軟件[6,7].因此，在利用安培環路定理求解恒定電流的磁感應強度分布時，要求恒定電流的分布具有特殊的對稱性，其磁感應強度的分布也具有相應的對稱性.可以選擇一個合適的積分回路，使得回路上各點的磁感應強度的方向與回路的方向平行或者垂直，且在有效的回路區域上各點的磁感應強度大小相等.此時，路徑積分很容易計算，安培環路定理可以簡化為

∮lB·dl=BL=μ0∑Iin

(2)

其中，B為磁感應強度的大小，L為有效的回路長度(回路中B·dl≠0的區域的長度，即磁感應強度大小不為零且磁感應強度的方向與回路的方向不垂直).相應的磁感應強度的大小為

(3)

常用無限長載流直導線體系說明安培環路定理在磁感應強度計算中的應用.如圖1所示，無限長載流直導線是柱對稱的，其磁感應強度的分布也應該是柱對稱的.以無限長載流直導線為軸的圓柱面上，各點的磁感應強度的大小相等，且磁感應強度的方向與該點處圓柱面的水平切線平行.選擇以直導線為軸的圓作為回路，回路的正方向由電流方向的右手螺旋關系確定.

無限長載流直導線中的電流為I，回路上各點的磁感應強度的大小都為B，且磁感應強度的方向與該點的回路方向相同.回路的半徑為R，有效長度為L=2πR.利用式(3)可得無限長載流直導線產生的磁感應強度的大小為

(4)

式(4)與畢奧-薩伐爾定理求解和實驗測量得到的磁感應強度分布一致，但計算過程較畢奧-薩伐爾定理簡單，證明了安培環路定理在求解具有特殊對稱性的電流體系的磁感應強度分布時非常方便.除了無限長載流直導線外，安培環路定理還常用于處理無限長柱對稱載流體系、無限大平面載流體系、無限長直通電螺線管、通電螺線繞環等具有特殊對稱性的電流體系，計算過程非常簡單.

圖1 無限長載流直導線磁感應強度分布示意圖

值得注意的是，安培環路定理的應用，要求電流體系的對稱性非常高，這也是大家在應用安培環路定理時容易忽視的一個問題.如果電流體系的對稱性不滿足要求，磁感應強度分布的對稱性也會受到相的破壞，此時的路徑積分不能輕易簡化，即式(2)不再成立.

以柱對稱載流體系為例，當該體系不滿足無限長要求時，盡管磁感應強度分布還是柱對稱的，但沿軸方向的平移對稱性已經被破壞，端面處的磁感應強度與中截面處的磁感應強度有著較大區別，直接利用式(2)計算端面處的磁感應強度分布已經不夠準確.只有中截面處且回路半徑R遠小于柱長度時，才能夠利用式(2)較為準確的得到磁感應強度的大小，因為此時的柱對稱載流體系相對于回路的結構可以近似地看作無限長.

但并不意味著安培環路定理在端面處不成立，安培環路定理對于任意電流體系都是成立的[8,9].應用安培環路定理時，需要具有特殊對稱性的電流體系.這是因為一般的電流體系中，路徑積分比較困難，而特殊對稱性的電流體系中，路徑積分可簡化.

2 有限長載流直導線中的安培環路定理

對于有限長載流直導線體系，常有學生認為其不滿足安培環路定理.如圖2所示，根據畢奧-薩伐爾定理，可得到有限長載流直導線產生的磁感應強度的大小的分布為

(5)

其中，R為場點到載流直導線的垂直距離，θ1和θ2分別為場點與載流直導線兩個端點的連線和電流方向的夾角，磁感應強度的方向由電流方向的右手螺旋關系得到.選擇以導線為軸，半徑為R的圓形回路，回路的正方向與磁感應線的方向相同，磁感應強度沿該回路的路徑積分為

(6)

該回路積分的值和回路所包圍的電流與真空的磁導率的乘積μ0I不相等，導致了很多學生認為安培環路定理此時不成立.

圖2 有限長載流直導線的磁感應強度分布示意圖

產生該誤解的原因是，實際情況中電流不能憑空產生，也不能憑空消失，只能存在于一個閉合電路中[10-12].例如無限長載流直導線，是電路中存在一根較長的直導線且積分回路在直導線中點附近，回路半徑遠小于直導線長度時的一種近似的理想模型.此時電路中的其他載流導線與積分回路的距離足夠遠，在回路上產生的磁感應強度B2相對于該直導線在回路上產生的磁感應強度B1可忽略不計.

因此，對于有限長載流直導線體系，可以將其置入一個閉合電路中進行討論.但是，除該直導線在回路上產生的磁感應強度B1外，電路中其他載流導線在回路上產生的磁感應強度B2不能忽略.可以利用圖3所示的電路對有限長載流直導線體系的安培環路定理進行探討.回路包含兩根正交的直導線L1和L2，積分回路是以直導線L1為軸且半徑為R的圓，與直導線L2的垂直距離為a.除兩根直導線外，電路中其他載流導線與回路的距離足夠遠，在回路上產生的磁感應強度可以忽略不計.載流導線L1和L2在回路上產生的磁感應強度分別為B1和B2.根據磁場的疊加原理可知回路上的磁感應強度為

B=B1+B2

(7)

總磁感應強度在該回路上的路徑積分為

∮lB·dl=∮lB1·dl+∮lB2·dl

(8)

且磁感應強度B1的路徑積分為

(9)

其中，θ為回路上任意一點與兩直導線交點的連線l和直導線L1的夾角.

圖3 有限長載流直導線的電路構造示意圖

對于磁感應強度B2，如圖 4(a)所示，以回路的圓心為坐標原點O，直導線L2在回路平面上的投影的反方向為x軸，直導線L1的方向為z軸建立三維直角坐標系.根據畢奧-薩伐爾定理，回路上任意一點N處的磁感應強度B2的方向應當垂直于直導線L2和MN構成的平面，其中MN為一條平行于x軸的直線.如圖4(b)所示，直導線L2在回路上N點處產生的磁感應強度的大小為

(10)

其中，r為N點到直導線L2的垂直距離(線段AM的長度)，l為N點到導線端點A的距離，ψ為N點與導線端點的連線和直導線的夾角，φ為N點與圓心O的連線和x軸的夾角，即

(11)

(12)

(13)

如圖4(c)所示，磁感應強度B2不在回路構成的平面內，可以將其分解為回路平面上的分量B∥和垂直于回路平面的分量B⊥，其中

(14)

如圖4(d)所示，磁感應強度B2在N點處的路徑積分的微元為

(15)

P點處的路徑積分微元為

(16)

磁感應強度B2該回路上的路徑積分為

(17)

被積函數是偶函數，因此

(18)

可以利用x=tanφ替代積分變量的方法得到上述積分運算的結果.總磁感應強度B在該回路上的路徑積分為

(19)

可見，安培環路定理在有限長載流直導線體系中仍然是成立的.

(a) 3維視圖

(b) AMN平面視圖

(c) yz平面視圖

(d) xy平面視圖

3 結論

安培環路定理是穩恒磁場中的一個重要定理，具有很強的物理意義和應用價值. 但是，根據本人多年的教學經驗，發現學生在學習過程對安培環路定理的理解不夠，特別是對其應用的條件和普適性容易混淆. 本文首先介紹了安培環路定理的應用條件：當電流體系具有特殊高對稱性時，其環路積分可以大大簡化，因而計算非常方便；當電流體系的對稱性受到破壞時，環路積分的簡化不再成立. 但是安培環路定理是普遍成立的. 通過有線長載流直導線的例子，澄清了安培環路定理此時不成立的誤解. 采用簡單的電路構造法，避免了相對復雜矢量和矢勢運算，更容易讓學生、特別是非物理專業的學生接受，能夠幫助學生更好地掌握安培環路定理和進一步理解磁場的性質.