表貼式永磁同步電機解析建模與極槽配合選取

杜 剛，鄧兆祥，張河山，楊明磊，唐小麗

(1.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044；2.重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074；3.同濟大學 汽車學院，上海 201804；4.東風小康汽車有限公司，重慶 405321)

永磁同步電機具有優(yōu)良的動力輸出性能和效率高等特點，在電動汽車領域得以廣泛應用[1]，而極槽配合對電機的齒槽轉矩、振動噪聲、輸出轉矩及其波動等有重要的影響[2]。相關文獻資料大多給出的是指導性規(guī)則和常用的極槽配合[3]，對高性能驅(qū)動電機，需要更加合理地選取極槽配合。

目前，國內(nèi)外主要基于有限元法來研究不同極槽配合的電機性能。Liu等[4]建立了一種考慮槽開口和最大繞組系數(shù)的繞組函數(shù)，并借助有限元對比分析了不同極槽配合永磁電機的性能。Carraro等[5]討論了永磁體性能和八種極槽配合對永磁電機轉矩密度、齒槽轉矩、轉矩脈動和成本等的影響，并提出了一種基于有限元的優(yōu)化設計程序。Wang等[6]利用有限元法分析了18槽10極電機繞組系數(shù)，并與傳統(tǒng)的極槽配合對比分析了反電勢、齒槽轉矩、輸出轉矩和轉矩脈動等性能。有限元法雖能計算復雜模型，但需重復建模，計算周期長；解析法可靈活調(diào)整解析模型任意結構參數(shù)，計算周期短，電磁參數(shù)等物理關系清晰，更加適合電機的初始設計[7]，但同樣對解析模型拓撲結構的完整性和精確性提出了更高的要求。Yin和Wu等[8-9]提出了一種子域與磁路混合模型，考慮了電機鐵芯磁飽和，未定義定子齒尖。Zhu等[10]將電機劃分為多個求解域并建立了矢量磁位方程，能夠計算任意極槽數(shù)的永磁電機空載性能，但未考慮定子齒尖的影響。楊金歌等[11]在文獻[10]的基礎上，增加了定子齒尖，計算了齒槽轉矩，張河山等[12]則進一步建立了考慮輔助槽的電機解析模型，研究了極弧系數(shù)、輔助槽尺寸和槽開口寬度對電機齒槽轉矩和電磁轉矩的影響。

文中則在文獻[12]的基礎上，建立了表貼式內(nèi)轉子永磁同步電機解析模型，進一步將永磁體和電樞磁場耦合，計算了電機空載和負載特性，通過有限元驗證了解析模型的正確性。利用該解析模型，建立了尺寸約束邊界，在保證電機硅鋼片用量不變的情況下，分析研究了極槽配合對氣隙磁密、齒槽轉矩和輸出轉矩等性能的影響規(guī)律，60槽8極電機電氣輸出性能更佳，文中采用一種完全脫離有限元的解析方法對不同極槽配合電機性能進行分析，解析模型拓撲結構完整，計算精度高，為極槽配合的快速選取提供了新手段，大大縮短了電機設計周期。

1 磁場解析建模

1.1 假設條件

文中選用表貼式內(nèi)轉子永磁同步電機進行解析建模，圖1為該類電機的結構簡圖，其坐標系采用極坐標系。極坐標系r軸固定在定子齒中心位置，該結構示意圖幾何參數(shù)如下：

圖1 永磁同步電機結構簡圖

1)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ域分別為永磁體域、氣隙域、電樞槽域和槽開口域；

2)θ0為零時刻轉子N極中心位置處與r軸的夾角；

3)θi為第i個電樞槽、槽開口中心位置：θi=2π/Q(i-1/2)；

4)ls1、ls2分別為電樞槽、槽開口弧度角。

為便于建模分析，作如下假設：

1)永磁體材料的退磁曲線為線性；

2)忽略繞組端部效應；

3)定子槽內(nèi)線圈邊電流密度Ji1和Ji2均勻分布；

4)定、轉子鐵芯材料的磁導率為無窮大；

5)文中采用徑向充磁的永磁體形式進行計算；

6)永磁體域I的相對磁導率均相同且不為1。

在二維平面內(nèi)，各子域磁場分布可由矢量磁位方程表示[13]，為

(1)

式中：Ai代表各子域的矢量磁位；μ0為真空磁導率；Mr和Mθ分別為剩余磁化強度的徑向和切向分量；J為電流密度。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ域中，電流密度J=0；在Ⅱ、ⅲ、Ⅳ域中，不存在永磁體，所以Μr和Mθ皆為0。

1.2 永磁體域

在永磁體域中，剩余磁化強度為

(2)

(3)

(4)

式中：MRc=MRcos(kωrt+kθ0)，MRs=MRsin(kωrt+kθ0)，Mθc=-Mθ′sin(kωrt+kθ0)，Mθs=

Mθ′cos(kωrt+kθ0)。

當永磁體徑向充磁時：

(5)

Mθ′=0，

(6)

式中：k/p=1,3,5,...，p為極對數(shù)；ap極弧系數(shù)。

由式(1)得永磁體域的泊松方程，為

(7)

由于鐵芯磁導率無窮大，切向磁場強度滿足條件：

(8)

通過分離變量法得到永磁體子域通解：

(9)

其中：A1和C1都為諧波系數(shù)。

1.3 氣隙域

由式(1)可得氣隙域的拉普拉斯方程為

(10)

通過分離變量法得到氣隙域通解，為

(11)

式中，A2和C2都為諧波系數(shù)。

1.4 電樞槽域

由式(1)得到電樞槽域的泊松方程，為

(12)

滿足方程的邊界條件為

在電樞槽域，繞組形式采用圖1所示的非重疊繞組，對于非重疊繞組，電流密度的分布形式為

(13)

將式(13)展開成傅里葉級數(shù)，可得電流密度為

(14)

式中：

Ji0=(Ji1+Ji2)d/ls1，

En=nπ/ls1。

聯(lián)立式(12)和式(14)，利用分離變量法可得電樞槽域通解，為

(15)

1.5 槽開口域

由式(1)可得槽開口域的拉普拉斯方程：

(16)

滿足方程的邊界條件為

利用分離變量法可得槽開口域通解：

(17)

式中：A4和B4為諧波系數(shù)；Fm=mπ/ls2。

2 邊界條件與諧波系數(shù)求解

電機解析模型被分成4個子域，則需要通過磁場的邊界條件把各子域連接起來。由磁密B和磁場強度H性質(zhì)可知，磁密B的法向分量和磁場強度H的切向分量在各子域的交界面具有連續(xù)性[14]，則可通過該邊界條件求解出各子域矢量磁位通解的諧波系數(shù)。

2.1 永磁體域和氣隙域分界面

永磁體域和氣隙域分界面邊界條件，為

AI|r=Rm=AII|r=Rm， 0≤θ≤2π，

(18)

HIθ|r=Rm=HIIθ|r=Rm, 0≤θ≤2π，

(19)

由式(18)和式(19)可得：

(20)

(21)

(22)

式中，V2=(Rm/Rs)k。

2.2 電樞槽域和槽開口域分界面

電樞槽域和槽開口域分界面邊界條件如下：

(23)

(24)

將式(23)和式(24)展開成傅里葉級數(shù)可得：

cos[En(θ+ls1/2-θi)]·cos[Fm·(θ+ls2/2-θi)]，

(25)

(26)

cos[Fm(θ+ls2/2-θi)cos[En(θ+ls1/2-θi)]dθ。

(27)

2.3 氣隙域和槽開口域分界面

氣隙域和槽開口域分界面邊界條件為

(28)

(29)

將式(28)和式(29)展開成傅里葉級數(shù)可得：

(30)

(31)

3 電磁性能計算與有限元驗證

3.1 氣隙磁密分布

根據(jù)矢量磁位和磁密關系，得到其徑向分量和切向分量：

(32)

(33)

式中：Brs=-k[A2(r/Rs)k+B2(r/Rm)-k]/r，Brc=k[C2(r/Rs)k+D2(r/Rm)-k]/r，

Bθc=-k[A2(r/Rs)k-B2(r/Rm)-k]/r，Bθs=-k[C2(r/Rs)k-D2(r/Rm)-k]/r。

3.2 磁鏈

由矢量磁位的分布和文中假設條件，可求得左側和右側線圈邊的磁鏈分布：

(34)

(35)

由式(34)和式(35)可得三相總磁鏈為：

(36)

式中，C為繞組分布矩陣。

3.3 反電勢

由磁鏈對時間的微分可得各相反電勢，其中A相反電勢為

eA=-dφA/dt。

(37)

3.4 齒槽轉矩與輸出轉矩

取氣隙域的中心位置ra=(Rm+Rs)/2，利用麥克斯韋張量法求得：

(38)

式中：空載時，T為齒槽轉矩；負載時，T為輸出轉矩。

4 有限元驗證

4.1 樣機參數(shù)

文中選用常用的48槽8極電動汽車用永磁同步電機作為研究對象，有限元模型如圖2，其主要參數(shù)如表1所示，其繞組分布形式為

圖2 電機有限元模型

表1 電機主要參數(shù)

C48=[C1C1C1C1]，

(39)

該矩陣的行分別表示繞組的A、B、C三相，列對應圖1所示繞組分布，從原點向θ方向依次排列。

4.2 空載特性驗證

在電機額定轉速為4 000 r/min的空載工況下，提取有限元模型氣隙中心位置r=(Rm+Rs)/2處的徑向和切向氣隙磁密，并與解析法進行對比，結果如圖3所示，解析模型的徑向和切向分量與有限元結果高度擬合。圖4、圖5和圖6分別為該工況下的A相空載磁鏈、A相空載反電勢和齒槽轉矩，可以看出：解析解和有限元結果擬合度很好，進一步驗證了該解析方法的正確性。

圖3 空載氣隙磁密

圖4 A相空載磁鏈

圖5 A相反電勢

圖6 齒槽轉矩

4.3 負載特性驗證

在額定電流為200 A的負載工況下，依舊選取氣隙中心r=(Rm+Rs)/2，得到圖7所示負載氣隙磁密分布圖，解析解與有限元模型擬合度很好，只是在尖峰位置處有微小差異。圖8為電機輸出轉矩，從圖中可看出：解析解與有限元結果擬合性較好，最大誤差為1.2%，且分布趨勢一致，進一步證明了該解析方法的正確性。

圖7 負載氣隙磁密

圖8 輸出轉矩

5 極槽配合選取

極槽配合是電機最基本的設計參數(shù)，對電機的功率密度、效率和振動噪聲等性能有很大影響，所以在電機的初步設計中，極槽配合的選取顯得格外重要。在選取極槽配合時，需要考慮氣隙磁密、齒槽轉矩、輸出轉矩等性能。

依據(jù)每極每相槽數(shù)，極槽配合可以分為整數(shù)槽和分數(shù)槽[15]兩類，車用高速內(nèi)轉子電機一般為多槽少極的配合形式，轉子極數(shù)主要為4、6、8三種，文獻[4-5]提出多極電機有更好的轉矩輸出性能，本文采用轉子極數(shù)為8級，定子槽數(shù)為36槽、60槽的分數(shù)槽和48槽的整數(shù)槽電機進行研究，且36槽和60槽的繞組分布矩陣分別如式(40)和式(41)所示。利用文中所建立的解析模型，計算分析空載氣隙磁密、齒槽轉矩特性、負載氣隙磁密和輸出轉矩特性。

C36=[C2C2C2C2]，

(40)

C60=[C3C3C3C3]，

(41)

其中：

5.1 電機尺寸約束

文中以電機基本拓撲結構尺寸和鐵芯用量不變?yōu)榍疤醽韺Ρ炔煌瑯O槽配合下電機的性能。在控制電機軸向長度、永磁體厚度、定轉子直徑、定子軛高、齒尖厚度和定子槽開口大小等尺寸不變的情況下，通過改變定子槽寬角ls1的大小來保證電機定子槽總面積不變，從而使定子鐵芯用量保持不變。定子槽總面積如式(42)所示，其中Z為定子槽數(shù)。

A(Z)=(Rsd+Rsu)·πl(wèi)s1hZ/360，

(42)

A(36)=A(48)=A(60)，

(43)

在誤差允許范圍，為了計算方便，h約等于定子軛高，則這3種極槽配合電機所得定子槽寬角如表2所得，其他相關參數(shù)則依舊采用表1所示參數(shù)。

表2 電機變動參數(shù)

5.2 不同極槽配合解析計算

5.2.1 空載特性對比

對以上3種極槽配合形式的電機進行了解析計算，得到齒槽轉矩、氣隙磁密和其主要諧波分布。由圖3和圖9可知，徑向氣隙磁密峰值遠大于切向氣隙磁密，極槽配合對空載徑向和切向氣隙磁密的幅值影響不大，但對其分布有較大影響，這是由于定子開槽引起的，隨著槽數(shù)的增多，氣隙磁密波形尖峰分布更密。從圖10看出，徑向氣隙磁密前9階諧波幅值相差很小，隨著階次的升高，60槽8極電機的諧波含量明顯減小。齒槽轉矩分布如圖11所示，隨著槽數(shù)的增加，齒槽轉矩波動頻率增加，60槽8極齒槽轉矩峰值遠小于其他2種極槽配合，分別降低了96.38%和98.23%，如表3所示。

表3 齒槽轉矩峰值

圖9 空載氣隙磁密

圖10 空載徑向氣隙磁密諧波分布

圖11 齒槽轉矩

5.2.2 負載特性對比

在電流為200 A的額定負載工況下，負載氣隙磁密分布如圖7和圖12所示，電樞磁場和永磁體磁場耦合，徑向氣隙磁密波形正弦化，60槽8極電機的諧波畸變率最小，正弦性更好，如表4所示。負載徑向氣隙磁密諧波分布如圖13，同空載特性相似，前9階徑向氣隙磁密諧波幅值相差微小，9階之后，60槽8極電機的徑向氣隙磁密諧波含量明顯降低。如圖14和表4所示，60槽8極電機相比36槽8極電機，轉矩峰值提升了36.97%，轉矩脈動量降低了35.22%，相比48槽8極電機，轉矩峰值提升了2.59%，轉矩脈動量降低了57.97%，3種極槽配合的輸出轉矩有較大差異原因有：60槽8極電機的徑向氣隙磁密分布更加正弦化，使得轉矩脈動較低，其切向氣隙磁密分布更加稠密，使其具有更大的輸出轉矩；另外，繞組分布形式的不同也對輸出轉矩有一定影響。

圖12 負載氣隙磁密

圖13 負載徑向氣隙磁密諧波分布

圖14 輸出轉矩

表4 徑向氣隙磁密和轉矩特性

6 結 論

文中選用表貼式內(nèi)轉子永磁同步電機作為研究對象，永磁體徑向充磁，繞組采用非重疊繞組，建立了該類電機的二維解析模型，并借助有限元驗證了該解析方法的正確性。文章選用了轉子均為8極，定子36槽、60槽的分數(shù)槽和48槽的整數(shù)槽兩類極槽配合，利用文中建立的解析模型分析計算了這3種極槽配合電機空載和負載特性。

36槽8極和60槽8極電機的齒槽轉矩遠小于48槽8極電機，且負載徑向氣隙磁密諧波畸變率分別比48槽8極低19.99%和24.73%，諧波含量少，轉矩脈動量小，進一步說明分數(shù)槽配合能降低齒槽轉矩，負載氣隙磁密正弦性更好，有利于降低電磁噪聲和轉矩脈動。36槽、48槽和60槽的輸出轉矩依次增加，且60槽的輸出轉矩遠大于36槽，所以在一定范圍內(nèi)，多槽結構有利于提升電機轉矩輸出。綜上，60槽8極電機能更好地滿足電動汽車用驅(qū)動電機性能要求。

文中建立的解析模型未考慮鐵磁材料的磁飽和效應，但極槽配合選取主要參考空載和額定工況點，所以鐵磁材料磁飽和影響較小，電機電磁性能和輸出性能對于極槽配合的選取依舊具有非常重要的參考性，為電機的初步設計提供了更加高效便捷的方式。