基于雙環永磁體結構的多穩態能量采集器建模及性能分析

周振華，易正旸，陳書涵，李戰慧，劉 鑫

（1.長沙理工大學汽車與機械工程學院，長沙410114；

2. 湖南科技大學機械設備健康維護湖南省重點實驗室，湖南湘潭411201；3. 機械裝備高性能智能制造關鍵技術湖南省重點實驗室，長沙410114）

近年來，無線傳感器網絡技術和物聯網技術正處于高速發展時期。然而絕大多數無線傳感器節點目前仍使用電池供電，如果無線傳感器節點數量眾多或者布置在危險區域，一旦電池耗盡，更換電池將需要龐大的費用[1]。為了解決無線傳感器節點持續供電的難題，能量采集技術成為研究熱點[2]。典型的環境能量來源有太陽能、熱能、振動能等[3–4]，而振動能被認為是最好的環境能量來源。

振動能量采集的主要研究方向為擴展能量采集的帶寬。目前拓展能量采集帶寬的方法主要有線性拓頻和非線性拓頻兩種方法[5]。在線性拓頻方面，張夢倩等[6]在壓電懸臂梁外部串聯電感，通過改變電感來改變系統的固有頻率。非線性拓頻又可分為非線性單穩態拓頻和非線性雙穩態拓頻，非線性單穩態拓頻是利用非線性力學特性，使振動能量采集系統的頻響曲線向低頻或高頻彎曲，以拓寬系統響應的帶寬[7–9]。但是非線性單穩態能量采集器無法采集更低頻的振動能量。而非線性雙穩態拓頻可以解決這一問題。Cottone 等[10]提出了基于磁斥力的非線性雙穩態能量采集器，通過將矩形永磁體固定在倒立擺的自由端，同時在其正對面放置一塊同極永磁體提供磁斥力。實驗結果表明：合理永磁體間距下，系統呈現雙穩態。雙穩態能夠顯著提高采集器的輸出功率和帶寬。Ertuck 等[11]也提出了類似的結構，采集器由鐵磁壓電梁和兩個固定永磁體組成，兩固定永磁體對稱分布在壓電梁附近，利用磁吸力產生雙穩態特性，研究結果表明雙穩態采集器相較于線性采集器具有更寬的響應帶寬和更大的輸出電壓。此后雙穩態能量采集領域出現大量研究成果：吳子英等[12]提出了一種附加非線性振子的雙穩態能量采集器，并對系統的基諧波和超諧波響應進行了研究，但是該結構較為復雜，不利于集成化；李海濤等[13]提出了一種壓電電磁復合式雙穩態能量采集器，其特點在于可以同時采集壓電片和線圈中的能量；Deng等[14]提出了一種具有新型波紋管結構的雙穩態能量采集器，相較于懸臂梁結構的采集器，波紋管應力分布更加合理，結構也更加緊湊；Zhou等[15]提出了一種柔性雙穩態能量采集器，通過添加帶磁鐵的柔性梁結構來降低勢壘高度，但是其柔性梁也存在位移，因此不利于集成化。

本文提出了一種基于雙環永磁體結構的多穩態能量采集器，其結構緊湊，可以通過改變外環永磁體的結構參數改變能量采集器的勢能曲線。建立了該多穩態振動能量采集器的非線性力學模型，分析外環永磁體參數對勢能曲線的影響規律，通過數值仿真研究分析三穩態和雙穩態狀態下系統的動態響應、電壓輸出特性和吸振性能，結果表明三穩態狀態下的能量采集器能在更寬的頻率范圍內產生更大的能量輸出以及有更好的吸振作用。

1 能量采集器的結構與建模

1.1 能量采集器的結構

本文所提出的具有雙環永磁體結構的多穩態能量采集器結構如圖1所示。其結構主要分為振動部分、發電部分和支撐部分。振動部分由線性彈簧、片簧、內環永磁體和外環永磁體組成，線性彈簧和片簧為系統提供線性剛度，內環永磁體和外環永磁體為系統提供非線性剛度。發電部分由發電永磁體和發電線圈組成，發電永磁體在發電線圈內做往復運動，使線圈內部發生磁通量變化產生感應電動勢，從而實現能量采集。支撐部分由鋁制支架、片簧和工作點調節裝置構成，鋁制支架起主要支撐作用，片簧可以約束振子的振動方向，工作點調節裝置可以調整內環永磁體的垂直位置，以抵消重力對裝置的影響。

圖1 雙環永磁體結構的多穩態能量采集器結構及其平面圖

1.2 雙環永磁體的非線性磁力建模

雙環永磁體的結構參數如圖2所示。其中外環永磁體的外半徑為rout,內半徑為rin，高度為h；內環永磁體的外半徑為rout2，內半徑為rin2，高度為b。za為內環永磁體與外環永磁體中心的垂直位移。J為永磁體的剩余磁通密度，μ0為真空磁導率。

圖2 同軸雙環永磁體的結構參數

為了獲得多穩態能量采集器的特性，需要計算雙環永磁體間的磁力。

根據文獻[16]，雙環永磁體間的軸向磁力可由式(1)至式(4)求得：

其中：r2為內環永磁體的積分半徑范圍，θ為內環永磁體的積分角度范圍。如表1所示。

表1 雙環永磁體參數

磁力計算的參數如表1所示。通過式(3)求解出各個f(α, β)，再通過式(2)求出函數f，并將其代入式(1)中求出軸向磁剛度Kz，并對軸向磁剛度Kz進行積分得到軸向磁斥力Fz。

為了驗證磁力的解析表達式，采用COMSOL有限元軟件進行仿真，雙環永磁體的有限元建模如圖3所示。求解結果與數值仿真對比如圖4所示。可以看出根據有限元法得到的磁力和根據數值解析法得到的磁力基本吻合，證實了磁力數值解析表達式的正確性。

圖3 雙環永磁體的有限元建模和磁感線分布

圖4 同軸雙環永磁體間的磁力

2 外環永磁體結構參數對勢能曲線的影響規律

根據參考文獻[17]，雙環永磁體間的非線性剛度可用如下多項式擬合得到：

其中：n0、n2、n4為非線性剛度的多項式系數。非線性磁力的表達式可由式(5)積分得到：

其中：k1、k3、k5為非線性磁力的多項式系數。

能量采集器的勢能函數可由環形永磁體間的磁勢能和線性彈簧的彈性勢能相加得到，系統總勢能函數表達式如下：

其中：k為線性剛度。

2.1 外環永磁體內半徑對勢能曲線的影響規律

考慮到能量采集器的體積約束，設定外環永磁體rout=14 mm。并令k=200 N/m，內環永磁體的參數：rout2=5 mm，rin2=2.5 mm，b=6 mm不變，研究外環永磁體參數對勢能曲線的影響規律。

為了研究外環永磁體內半徑對勢能曲線的影響，設定外環永磁體高度h=12 mm，外環永磁體內半徑rin的變化范圍為11 mm～13.5 mm。系數(k+k1)隨外環永磁體內半徑rin的變化規律如圖5 所示。采用最小二乘法進行擬合，擬合多項式表示為

圖5 (k+k1)隨外環永磁體內半徑的變化規律曲線

顯然，結合方程式(8)可知，當外環永磁體內半徑rin=13.15 mm時，k+k1=0，此時能量采集器的總體線性剛度為0，呈現近零剛度特性。結合圖6所示的不同外環永磁體內半徑下的勢能曲線可知，當rin<13.15 mm時，k+k1<0，能量采集器線性剛度為負，此時能量采集器為雙穩態，勢能曲線有一個勢壘和兩個勢阱，且隨著rin增大，雙穩態的勢壘高度和勢阱間距都在減小；當rin>13.15 mm 時，k+k1>0，此時能量采集器變為單穩態，勢能曲線只有一個勢阱。

圖6 不同外環內半徑下的勢能曲線

基于上述分析結果可知：減小外環永磁體內半徑會使能量采集器由單穩態變為雙穩態，但過小的外環永磁體內半徑會使勢壘高度過大，導致振子無法越過勢壘，因此確定合適的外環永磁體內半徑是設計能量采集器的基礎。

2.2 外環永磁體高度對勢能曲線的影響規律

為了研究外環永磁體高度對勢能曲線的影響，設定外環永磁體內半徑rin=12.2 mm，外環永磁體高度h變化范圍為12 mm～22 mm，系數(k+k1)隨外環永磁體高度h的變化規律如圖7 所示。其擬合多項式表示為

圖7 (k+k1)隨外環永磁體高度的變化規律曲線

結合方程式(9)可知當外環永磁體高度h=19.23 mm 時，一次項系數k+k1=0。結合圖8 所示的不同外環永磁體高度下的勢能曲線可知，當外環永磁體高度h<19.23 mm 時，k+k1<0，能量采集器總體線性剛度為負，勢能曲線有兩個勢阱，為雙穩態系統。且隨著h的增大，勢壘高度降低，勢阱間距增加；當外環永磁體高度h>19.23 mm 時，k+k1>0，能量采集器總體線性剛度為正，此時系統有3 個勢阱。

圖8 不同外環永磁體高度下的勢能曲線

基于上述分析結果，在確定外環永磁體內半徑之后，通過調整外環永磁體的高度可以在一定范圍內在減小勢壘高度的同時增大勢阱間的間距，并且隨著外環永磁體高度的增加，當一次項系數k+k1>0 時，系統將變為三穩態狀態。三穩態狀態下的能量采集器勢壘高度更低，勢阱間距更大，振子更容易通過勢壘且振動位移更大，這意味著三穩態能量采集器能在更寬的頻率范圍內產生更高的能量輸出。

3 諧波激勵下的動態響應及電壓輸出特性分析

本節研究激勵頻率和激勵幅值的變化對雙環永磁體結構能量采集器的影響。選取圖8中外環永磁體高度h=20.5 mm(三穩態)和h=18 mm (雙穩態)兩組外環永磁體進行對比。能量采集器的機電耦合方程可以表示為

其中：m為振子質量，c為機械阻尼，k為線性剛度，為激勵加速度，ξ為機電耦合系數，L為發電線圈電感，R為外部負載電阻的阻值，z為振子位移。能量采集器的系統參數如表2所示。通過龍格庫塔法對方程式(10)進行求解。

表2 能量采集器參數

諧波激勵的加速度為

其中：ω為角頻率，A為激勵幅值。輸出電壓的有效值為

其中：u為t時刻的瞬時電壓。

3.1 不同激勵頻率下的動態響應及電壓輸出特性分析

由于0.01 Hz～20 Hz的振動被稱作低頻超低頻振動，因此選取數值仿真的頻率范圍為0.01 Hz～20 Hz。選取激勵加速度幅值A=8 m/s2進行三穩態和雙穩態狀態下的能量采集電壓對比。圖9 為A=8 m/s2時的輸出電壓對比。當f=0.01 Hz 時，兩者幾乎均無電壓輸出。

圖9 A=8 m/s2時不同激勵頻率下的輸出電壓的有效值對比

當f=1 Hz 時，雙穩態狀態下的能量采集器幾乎沒有輸出電壓，而三穩態狀態下的能量采集器則有了一定的電壓輸出。當f=10 Hz 時，雙穩態狀態下的能量采集器的輸出電壓才開始迅速提升。隨著激勵頻率繼續增加，振子無法越過勢壘，電壓反而降低。因此，三穩態狀態下的能量采集器帶寬為1 Hz～12 Hz，雙穩態狀態下能量采集器帶寬為10 Hz～13 Hz。

仿真結果表明在相同激勵加速度幅值的情況下，三穩態狀態下的能量采集器相較于雙穩態狀態下的能量采集器擁有更低的工作頻率和更寬的帶寬。

3.2 不同激勵加速度幅值下的動態響應及電壓輸出特性分析

設定外界的激勵頻率為f=8 Hz，激勵加速度幅值變化范圍為1 m/s2～12 m/s2。三穩態和雙穩態狀態下的能量采集器在不同激勵加速度幅值下的輸出電壓對比如圖10 所示。三穩態狀態下的能量采集器在A=4 m/s2時達到激勵加速度閾值，輸出電壓迅速增大。而雙穩態狀態下的能量采集器則需要達到A=9 m/s2時才能達到激勵加速度閾值。

圖10 f =8 Hz時不同激勵加速度幅值下的輸出電壓對比

仿真結果說明三穩態狀態下的能量采集器可以在更低的激勵加速度幅值下獲得更大的能量輸出。

4 多穩態能量采集器吸振性能分析

本文提出的多穩態結構不僅能夠提升能量采集性能，同時也能作為吸振器吸收振動，由線性主振系系統和多穩態吸振器構成的模型如圖11 所示。其中M為主振系質量，k′為主振系剛度，c′為主振系阻尼，主振系上部為多穩態吸振器。z′為主振系的位移。

由圖11 結合式(10)可以寫出吸振系統的微分方程：

圖11 吸振系統模型

設定主振系質量M=1 kg，剛度k′=2 000 N/m，阻尼c′=0.3 Ns/m，其他參數如表2所示。令主振系初始位移為10 mm，并添加均值為0、標準差為8 m/s2的白噪聲進行激勵，觀察不同穩態下的吸振效果。圖12(a)為5 s～15 s主振系振動時域曲線，從圖中可以看出三穩態吸振效果明顯好于單穩態和雙穩態。圖12(b)為主振系振動頻域曲線，在共振頻率處，三穩態吸振下的主振系幅值比單穩態吸振低37.4%，比雙穩態吸振低29.4%。圖13(a)為吸振器振動時域曲線，可以看出在5 s～14 s 時三穩態吸振器依然進行大幅周期運動，而雙穩態吸振器則由于勢壘較高，在7.5 s時從大幅周期運動衰減成了阱內小幅周期運動，因此三穩態采集器能夠吸收主振系大量的振動能量，這也是其吸振效果最優的原因。圖13(b)為吸振器振動頻域曲線，盡管在共振頻率處三穩態吸振器幅值低于單穩態吸振器，但是其在其他頻率上都有著較高的振動幅值。

圖12 主振系振動時頻曲線

圖13 吸振器振動時頻曲線

5 結語

所提出的基于雙環永磁體結構的多穩態能量采集器不僅可以拓展能量采集的帶寬，而且相對于懸臂梁式的能量采集器，雙環永磁體結構更加緊湊，更有利于集成化。充分研究了外環永磁體的高度和內徑對勢能曲線的影響規律，研究發現：隨著外環永磁體高度增加，能量采集器由雙穩態轉變為三穩態。并通過數值仿真計算和對比了三穩態狀態下的能量采集器和雙穩態狀態下的能量采集器在不同激勵頻率和激勵幅值下的動態響應和輸出電壓。結果表明相對于雙穩態狀態下的能量采集器，三穩態狀態下的能量采集器在低頻具有更小的能量閾值，更容易越過勢壘，能夠在較寬的低頻范圍內采集能量。最后分析對比了不同穩態的能量采集器對振動抑制的影響，能量采集裝置處于三穩態狀態時吸振性能最好。