兩個合作保險公司的最優(yōu)分紅問題

冀宇軒 劉國欣

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津，300401)

1 引言

風(fēng)險模型最早由Lundberg提出，并由Cramer進行嚴格化.早期風(fēng)險理論的主要研究問題是破產(chǎn)概率.1957年，De Finetti[1]在第15屆國際精算學(xué)大會（紐約）上提出了最優(yōu)分紅問題，即最大化破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅，給出了一種更加“現(xiàn)實”的穩(wěn)定性判據(jù)，并在簡單的離散風(fēng)險模型下研究了最優(yōu)分紅策略問題，證明了最優(yōu)分紅策略是障礙（barrier）策略，即當公司盈余額超過某一水平時，超出部分應(yīng)全部進行分紅.1969年，Gerber[2]用相關(guān)離散問題取極限的方法證明了在復(fù)合Poisson模型下，公司的最優(yōu)分紅策略一般為波段（band）策略.其后30多年的時間里最優(yōu)分紅策略問題的研究進展緩慢，直至上世紀90年代隨機控制理論和方法的突破為最優(yōu)分紅策略研究提供了有效的工具.正如Borch在1967年的倫敦皇家統(tǒng)計學(xué)會會議上的報告指出的，隨機控制理論好像是為精算學(xué)量身定做的數(shù)學(xué)工具.關(guān)于復(fù)合泊松模型的分紅問題先驅(qū)性的工作見Buhlmann[3]和Gerber[4].直到今天，最優(yōu)分紅問題已經(jīng)發(fā)展成一個需要分析、概率和隨機控制學(xué)科交叉的豐富且富于挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域.關(guān)于最優(yōu)分紅問題的發(fā)展現(xiàn)狀,可參見Schmidli[5]與Azcue和Muler[6]的兩本專著及其參考文獻.

近些年，二維風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅問題引起了廣泛興趣.二維問題可以更好地反應(yīng)兩個公司或一個公司中兩個項目之間的關(guān)系，具有更加實際的意義.Asmussen和Albrecher[7]中詳細地介紹了二維經(jīng)典風(fēng)險模型及相應(yīng)破產(chǎn)問題及分紅問題.Albrecher等[8]研究了二維經(jīng)典風(fēng)險模型下兩個合作的保險公司的最優(yōu)分紅問題，但他們限定兩個公司的盈余過程是相互獨立的.

本文同樣研究二維經(jīng)典風(fēng)險模型下兩個合作保險公司的最優(yōu)分紅問題，但去掉了兩個公司的盈余過程是相互獨立的限制.本文首先給出模型,建立相應(yīng)的二維最優(yōu)分紅問題.其次，給出值函數(shù)的基本性質(zhì)，特別是給出可行策略的分析刻畫，使我們可以更好地利用PDMP理論.最后，利用Liu等在[9]中給出的測度值生成元理論得到測度值DPE，證明了驗證定理.

2 模型與分紅問題

假設(shè)兩個保險公司的盈余過程分別為

其中,x和y是各自的初始盈余?p1和p2是各自的保費收入率是公司k的第i次索賠大小,k=1,2,服從共同的聯(lián)合分布F(x,y).Nt是強度為λ的泊松過程.假定Nt和隨機變量是相互獨立的.

兩個保險公司的合作準則為:如果公司一的當前盈余為負，只要公司二可以支付公司一的實際赤字,即支付赤字后自己不會破產(chǎn)，就應(yīng)立即支付公司一的赤字?反之亦然.當一個公司的當前盈余為負且另一個公司無法支付它的赤字,那么這個公司立即破產(chǎn),另一個盈余為正的公司繼續(xù)運營.

其中

表示在時刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉(zhuǎn)移給公司一的累積盈余,

表示在時刻t,為了支付公司一的虧損,由公司二轉(zhuǎn)移給公司一的累積盈余.上式中I{·}表示示性函數(shù).

定義ˉτ為破產(chǎn)時刻,表示有一個保險公司資產(chǎn)小于0,或兩個公司資產(chǎn)都小于0的時刻,嚴格地說，

用Πx,y表示初始盈余時,所有的可行分紅策略的集合.在初始盈余水平的前提條件下,我們可以寫出該問題的最優(yōu)值函數(shù),如下:

其中,

上式中δ>0是折現(xiàn)因子，分別為公司一與公司二單獨運營時的最優(yōu)分紅值函數(shù).

3 值函數(shù)性質(zhì)與策略刻畫

命題1?x,y>0,最優(yōu)值函數(shù)V(x,y)有良好定義,且滿足

命題2最優(yōu)值函數(shù)V(x,y)分別關(guān)于x,y是單調(diào)遞增的,局部Lipschitz連續(xù),且滿足?(x,y)∈有

和

上述命題的證明與Albrecher等[10]類似.

設(shè)?是一個有左右極限的路徑的集合,(?,F,P)是具有由過程{(Xt,Yt)}生成的σ-代數(shù)流{Ft}的完備概率空間.定義一個推移算子θt:對s,t∈R+，ω∈?,有θt?ωt=ωs+t.對?x,y≥0,Ux,y為可測函數(shù)α:的集合,滿足:

（1）α(x,y,t)關(guān)于t非降,左連右極,α(x,y,0)=0?

（2）α1(x,y,t)

定理1分紅策略L∈Πx,y可行當且僅當存在兩個可測函數(shù)α1(x,y,t)和α2(x,y,t),對以及Fτn×B(R+)-可測函數(shù)使得

其中ˉα(t)=(α1(x,y,t),α2(x,y,t)).τi表示第i個索賠的到達時刻.稱為馬氏策略.若受控盈余過程是時齊的強馬氏過程,則相應(yīng)的可行策略L稱為平穩(wěn)馬氏策略.

定義1若受控盈余過程是強馬氏過程,則相應(yīng)的可行策略

令M為Borel?可測函數(shù)l:的集合,滿足

定理2可行策略為平穩(wěn)馬氏策略當且僅當存在函數(shù)l1,l2∈M,滿足

定理1與定理2的證明分別類似于Liu等[11]中命題2.1與定理2.4的證明.

4 測度值動態(tài)規(guī)劃方程

定理3(動態(tài)規(guī)劃原理(DPP))對?x,y≥0,任意停時T,有

證明由于自然流{Ft}為跳流,因此對任意停時T,存在t,使 得因此僅對固定時刻t≥0證明.

令

由最優(yōu)值函數(shù)定義,有V(x,y)≤v(x,y,t).

再證V(x,y)≥v(x,y,t).任意給定ε>0,取一個可行策略使得

故V(x,y)≥v(x,y,t).

綜上,V(x,y)=v(x,y,t).使得V(x,y)=則?x,y≥0,?t>0有

定理4(動態(tài)規(guī)劃方程(DPE))假定存在一個可行策略

其中,

證明由動態(tài)規(guī)劃原理,得

由Stieltjes積分分部積分公式及（4.3）可得

其中,

綜合（4.4）和（4.5）式可得

5 驗證定理

定理5(驗證定理)假設(shè)可測函數(shù)v是測度值DPE的解,滿足?x,y,t≥0,

證明對任意滿足(3.1)的可行策略由Stieltjes分部積分公式，有

其中

為零初值鞅.由(5.3)可得

由于v是測度值DPE的解,因此所以有

令t→∞得,因此

從(4.2)和(5.1)可得,Hˉα?v(x,y,t)=0,因此

令t→∞得,因此

證畢.