含間隙曲柄滑塊機構的動力學建模及其誤差補償研究*

2021-08-23 08:47:02薛邵文林乃昌

機電工程 2021年8期

關鍵詞：模型

陳慶,薛邵文,林乃昌*

(1.瀘州職業(yè)技術學院機械工程學院,四川瀘州 646005;2.瀘州市智能制造重點實驗室,四川瀘州 646005)

0 引言

機械制造領域中,加工精度、裝配公差以及磨損等因素會使各種機構產(chǎn)生運動副間隙[1],導致系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性振動,加劇運動副的磨損,降低整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性、精度以及使用壽命。因此,含間隙機構的動力學研究成為了智能制造和精密機械領域中亟待解決的問題。

對于含間隙的機構動力學,國內(nèi)外諸多學者對其已研究多年[2-8]。王見等[9]以3-CPaRR并聯(lián)機構為研究對象,基于Lankarani-Nikravesh和Coulomb模型,建立了含關節(jié)間隙的3-CPaRR并聯(lián)機構彈性動力學模型,分析了不同的關節(jié)間隙對3-CPaRR并聯(lián)機構運動特性的影響。姜洪奎等[10]基于赫茲彈性接觸理論和變形協(xié)調(diào)原理,考慮了初始游隙和接觸角變化等因素,建立了非理想滾道截形的滾珠絲杠副彈性變形接觸角的計算模型。何昊南等[11]針對折疊舵面內(nèi)、外舵鉸接處存在的間隙對地面振動響應的影響,及間隙處的非線性建模方法展開了研究。邱雪松等[12]以月球車兩級往復可展太陽帆板為研究對象,通過接觸碰撞力描述間隙,運用有限元法對太陽帆板進行柔性化處理,建立了多間隙-柔性耦合的動力學模型。侯雨雷等[13]以含轉動副間隙RU-RPR并聯(lián)機構為研究對象,加入Baumgarte違約穩(wěn)定法和Runge-Kutta法,求解微分代數(shù)形式建立的動力學模型,分析了不同摩擦因數(shù)對機構動態(tài)特性的影響。

在誤差補償方面,孔駿成等[14]在機器人操作手臂模型中,將間隙誤差完全等效成桿長誤差,利用PSO算法將間隙誤差補償問題轉化為求適應度極小值問題。陳純等[15]建立了Y軸正、反向單向定位精度和反向差值補償?shù)臄?shù)學模型,通過840D的絲杠和間隙補償表功能完成了補償。唐俊杰等[16]運用了改進的PSO算法,優(yōu)化了驅動桿位移參數(shù),補償了由運動副間隙引起的結構誤差。吳昊駿等[17]在分析鉆孔位姿參數(shù)和鉆具末端塌落量的函數(shù)關系后,對原有車體定位方法進行了修正,對鉆孔定位誤差進行了補償。

本文以含間隙曲柄滑塊機構為對象,考慮運動副間隙碰撞接觸條件及能量耗散因素,結合Nikravesh[18]模型,提出一種表述接觸力的非線性彈簧阻尼模型;將其引入到含間隙曲柄滑塊機構動力學模型的構建中,分析間隙帶來的影響;建立其逆模型,就間隙帶來的誤差分別進行逆模控制和PID加逆模控制來補償間隙引起的系統(tǒng)誤差。

1 曲柄滑塊機構的建模

1.1 理想曲柄滑塊機構的建模

曲柄滑塊機構示意圖如圖1所示。

圖1 曲柄滑塊機構示意圖r2—曲柄長度;r3—連桿長度;r1—滑塊位移;θ2—曲柄轉角;θ3—連桿轉角;r4—間隙半徑;θ4—x軸與軸銷軸套中心連線的夾角;rs1—曲柄質(zhì)心距o點的長度;rs2—連桿質(zhì)心距曲柄的長度;m4—滑塊質(zhì)量;M12—曲柄r2轉矩;Fmn,x,Fmn,y—機架、曲柄、連桿,滑塊兩兩之間的作用力在x,y軸的分量(其中：m,n=1,2,3,4)

用圖1就可表示理想曲柄滑塊機構的示意圖(忽略其中表示間隙的大圓和小圓)。

由圖1可以得到x和y坐標軸的方程式,即:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1

(1)

r2sinθ2+r3sinθ3=0

(2)

分別將上述兩式對時間求導,分別可得到:

(3)

r2ω2cosθ2+r3ω3cosθ3=0

(4)

將式(3,4)寫成矩陣,即:

(5)

式(5)即為理想曲柄滑塊機構的數(shù)學模型。

1.2 含間隙曲柄滑塊機構的建模

實際系統(tǒng)的間隙:在圖1中用大圓和小圓表示連桿軸套與軸銷的間隙。

1.2.1 含間隙機構的閉環(huán)矢量方程

曲柄滑塊機構的閉環(huán)矢量方程如下:

R2+R3=R1+R4

(6)

將式(6)分別向x,y軸投影得:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1+r4cosθ4

(7)

r2sinθ2+r3sinθ3=r1+r4sinθ4

(8)

將式(7,8)求導可得:

(9)

(10)

1.2.2 含間隙機構的動力學方程

根據(jù)圖1的受力分析,曲柄動力學方程為:

(11)

式(11)中:

(12)

式中:R—軸銷半徑。

滑塊動力學方程為:

F14,y-Fy-m4g=0

(13)

(14)

1.2.3 接觸力的非線性彈簧阻尼模型

本文結合Nikravesh[18]模型,建立表述接觸力更精確的非線性彈簧阻尼碰撞模型,即:

(15)

碰撞接觸條件取值如表1所示。

表1 碰撞接觸條件

該模型綜合考慮了接觸力是否存在，以及彈性力和碰撞體的材料阻尼引起的能量損失等因素。

接觸點軸銷相對于軸套的切向速度(Vt)和法向速度(Vn)為:

(16)

(17)

切向觸力為:

Ft=(-fsign(Vt)Fn-CtVt)S

(18)

式中:Ct—切向阻尼。

將Fn,Ft向x,y軸分解得:

Fx=Ftsinθ4+Fncosθ4

(19)

Fy=-Ftcosθ4+Fnsinθ4

(20)

最后,聯(lián)立式(6～20),經(jīng)整理可得到一個16階的矩陣,根據(jù)矩陣建立的仿真模型如圖2所示。

圖2 含間隙曲柄滑塊機構動力學仿真模型

2 實驗驗證

2.1 實驗平臺

為測量曲柄轉角,連桿傾角和滑塊位移所搭建的實驗機構如圖3所示。

圖3 實驗機構

實驗平臺如圖4所示。

圖4 實驗平臺

實驗機構的參數(shù)如表2所示。

表2 曲柄滑塊機構參數(shù)

試驗平臺的規(guī)格如表3所示。

表3 實驗平臺規(guī)格

(續(xù)表)

2.2 數(shù)據(jù)采集RTW平臺

本次實驗所需數(shù)據(jù)的采集RTW平臺如圖5所示。

圖5 實驗數(shù)據(jù)采集RTW平臺

圖5中,曲柄轉角、連桿傾角和滑塊位移的傳感器輸出數(shù)據(jù)由3個Analog Input模塊采集測量,Analog Output是信號輸出模塊;采集之前需將每個數(shù)據(jù)點的采樣頻率設置為0.005 s。

2.3 仿真模型驗證

RTW平臺獲得的實驗數(shù)據(jù)是電壓,滑塊位移需要對實驗數(shù)據(jù)進行處理才能得到,其式為:

(21)

用MATALAB將處理后的實驗數(shù)據(jù)和仿真模型的數(shù)據(jù)對比,便可得到考慮間隙的曲柄滑塊機構模型滑塊位移和實測滑塊位移的比較圖。

考慮到實驗的客觀性,此處分別選取電機轉速在1 200 r/min、1 500 r/min和1 800 r/min時,對滑塊的位移和誤差進行測量,其結果如圖6所示。

圖6 滑塊位移(左)和誤差(右)

從圖6中可以得出:采用不同的運行轉速,含間隙模型與實際系統(tǒng)的輸出吻合度較高。

為衡量不同轉速下兩組數(shù)據(jù)之間的波動程度,筆者計算兩組數(shù)據(jù)的均方差,即:

(22)

式中:Ri—滑塊位移實測值;ri—滑塊位移仿真值;n—數(shù)據(jù)個數(shù)。

均方差計算的結果如表4所示。

表4 滑塊位移誤差的均方差

由表3可以看出,滑塊位移誤差隨著電機的轉速增加而減小。產(chǎn)生這種情況的原因是:當曲柄滑塊機構滑塊運動到極限位置時,方向發(fā)生改變;速度越快,軸銷反向通過軸銷和軸套之間間隙的時間越短,而誤差越小。

3 誤差補償

理想的曲柄滑塊模型和實測數(shù)據(jù)的對比如圖7所示。以下僅給出電機轉速在1 200 r/min時的對比。

圖7 滑塊位移和誤差對比

由圖7可知:兩者之間有較大誤差,誤差峰值達到了1.943 mm,此處的均方差經(jīng)計算為1.151 mm。原因是曲柄滑塊機構除了文中提到的連桿和滑塊鉸連接處含間隙,在機架和曲柄、曲柄和連桿這兩個連接處同樣存在不同程度的間隙;本文中的含間隙模型僅考慮了其中較大的連桿和滑塊之間的間隙。當滑塊運動到極限位置時,軸銷反向運動通過間隙需一定時間,導致實際系統(tǒng)運動情況較理想機構有所滯后,需對實際系統(tǒng)進行誤差補償。