單元組合下的齒輪輪系運動方案分析*

趙永生,辛超超,馬雅麗,劉顏銘

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024)

0 引 言

關于齒輪輪系的運動分析,國內外學者目前還一直采用以往的設計手段。而要形成一個關于齒輪輪系的運動分析新方案,往往需要依靠設計人員大量的從業經驗。生成滿足功能需求的新方案存在著一定的難度,對于多工況條件下的復雜齒輪輪系運動方案而言則更加困難。同時,已生成的方案的優劣又受設計者設計理念、創新能力和設計水平的制約;設計過程中尚沒有可利用的軟件,計算機輔助齒輪輪系方案設計的瓶頸是缺少真正意義上的產品設計理論模型與數字化設計平臺的支撐。所以，有必要將設計理論和設計方法相結合,來支持計算機協助輪系運動方案的設計[1-4]。

針對機械系統的運動方案,國內外研究人員已做了廣泛研究[5-7]。HSIEH H L等[8]以基本輪系作為研究對象,提出了一種分析行星輪系速比的手段,研究了整體輪系的運動特性。邢慶坤等[9]通過對單個杠桿系統進行分析來取代行星排,并對其桿點進行了深入研究。WANG J等[10]分析發現了一種新的拓撲方法,用以表示行星輪的傳動,并基于數學組合理論,獲得了行星齒輪組基本部件的3種組合。QIAN F[11]等為了研究運動/力傳遞的構型特性,將機械系統的構型綜合擴展到狀態空間法,進行了積分綜合機制配置。段欽華、薛會玲等[12,13]給基本輪系做出了定義,并研究了一些復雜輪系的運動特點。張利彬等[14,15]通過對機械系統中的運動方案進行分析,得到了新的見解,并對串聯機構進行了深入研究,但其研究中并沒有提及混聯組合機構。張麗萍等[16]在分析簡單機構單元之后,建立了一個信息表達體系,其中包含機構運動特性。李斌等[17]參考行星齒輪機構的運動特性,通過對一種行星齒輪機構矩陣運算進行分析,得到了一種多排行星齒輪機構構型問題的替代方法。

當前學者的主要研究對象是機械系統運動方案,對于齒輪輪系運動方案設計的研究還沒有形成完善的理論體系。在此研究基礎之上,本文對齒輪輪系單元組合約束與組合方式進行分析,獲取特征矩陣的拆分方法,以此完成對齒輪輪系運動的求解。

1 單元組合的運動特征狀態模型

1.1 基本單元與復合單元

齒輪輪系運動方案設計階段重在研究運動變換。在運動方案設計層面上,齒輪系統由表征運動變換特征的機構構成。因此,運用單元化的機構來研究齒輪輪系運動方案的設計,可以對復雜問題進行簡單化處理。

基本單元的機構簡圖如圖1所示。

圖1 基本單元的結構簡圖

單自由度、雙自由度以及能夠明確表達運動特征變換功能的齒輪機構均稱為齒輪輪系的基本單元。基本單元是輪系中最基礎的功能轉變機構,同時也是復雜輪系設計與分析的基礎目標。

一些簡單復合單元的結構簡圖如圖2所示。

圖2 復合單元的結構簡圖

在分解輪系時,筆者發現了一個非最基本運動表征轉換的子輪系。由于齒輪輪系運動方案研究過程當中不涉及單元的具體細節,僅用到單元的輸入與輸出運動特征,這類能夠被研究和組合的單元化機構稱為復合單元。

每個單元均存在專屬的運動特征向量及狀態方程。單元運動方程為:

ko=K·ki

(1)

式中:ki—單元的輸入運動向量;ko—單元的輸出運動向量;K—運動特征狀態矩陣。

基于單元的齒輪輪系組合可以推廣到多個單元的組合當中,本文將討論如何進行單元組合以及組合模型的表達。

1.2 單元組合約束

齒輪輪系運動方案單元化設計的重點是單元之間的組合,在分析單元組合方式之前必須要研究單元之間的組合約束。復合單元的組合約束方式和基本單元一致,本文把基本單元組合作為研究對象。

(1)運動約束

兩種基本單元的構件相連方式通常是剛性連接。在研究構件連接時需要考慮運動約束,即前后兩單元在連接條件下運動特征必須保持一致,換言之,即具有相同的轉速。

組合輪系如圖3所示。

圖3 組合輪系

NW輪系由兩個行星輪剛性相連在一起,沿著相同軸線進行行星轉動。本研究僅加了運動約束,兩個齒輪具有同等轉速以及不一樣的結構參數。

(2)結構約束

前置單元所輸出的構件以及后置單元所輸入的構件在連接時,所有與結構參數相關的約束稱為結構約束。研究構件相連時,如果行星輪與行星架各自組合成單獨構件,那么它們之間要具有一致的轉速和參數。

此外,結構約束還包含由中心距關系所引起的約束,即組合之后輪系的構件軸線必須同主軸線完全重合。

在圖3(d)中有:

r11-r12=r21+r22

(2)

式中:r11—基本單元U1的齒輪1的半徑。

如果相連兩個行星輪模數一致,所有單元的齒輪齒數間就會有一定關聯。約束能夠用各齒輪齒數關系代替中心距關系,即:

z11-z12=z21+z22

(3)

式中:z11—基本單元U1的齒輪1的齒數。

雙聯齒輪中則出現行星輪剛性連接,參與連接的兩個行星輪模數不相同。

(3)自由度約束

基本單元在組合之后自由度發生了變化,原因在于組合過程中構件與運動副之間產生連接;基本單元機架也在進行組合時參與其中。基本單元僅單一機架連接的方式有兩種:固定機架間的合并、運動構件和相對機架的合并。這里只討論固定機架的合并。

齒輪輪系當中一般包含有兩類組件:系桿與齒輪。所以,基本組合后的系統自由度為:

(4)

式中:dof—組合后系統自由度;dofi—第i個單元自由度數;m—參與組合的單元數量;l—參與連接的運動構件數;p—減少的轉動副數。

筆者創建構件連接方程,并給上述運動約束做出描述。如果前一個單元j的第m個構件與后一個單元j+1的第n個構件相連接,則運動特征傳遞方程為:

(5)

式中:k—運動特征向量;C—連接矩陣。

1.3 單元組合方式

(1)串聯組合方式

第一個單元的輸出與第二個單元的輸入構件相連接。

正常單元串聯組合如圖4所示。

圖4 串聯組合方式

(2)并聯組合方式

兩個單元輸入構件或輸出構件連接。單元并聯組合方式的運動特征為運動并行傳遞。

常見單元并聯組合如圖5所示。

圖5 并聯組合方式

(3)混聯組合方式

在齒輪輪系當中,混聯的組合方式包含串聯與并聯兩種組合。

比較常見單元混聯組合方式如圖6所示。

圖6 混聯組合方式

1.4 單元組合的特征狀態模型

(1)串聯組合的運動狀態關系式

串聯組合的運動模型表達了串聯系統的兩種傳遞方式之間狀態的轉變。在圖4(b)中,U1、U2分別是雙、單自由度單元,其運動關系式如下:

(6)

單元U1和U2之間的連接方程為:

(7)

依照單元的運動方程與連接公式,可得出串聯組合的運動特征方程為:

(8)

(2)單元并聯組合運動特征狀態方程

如圖5(c)所示,單元U1、U2是單自由度單元,U1、U2的運動特征狀態方程為:

(9)

(10)

(3)混聯組合單元的運動特征方程

在圖6(c)中,單元U1、U2是雙自由度的單元,其運動特征狀態方程為:

(11)

(12)

進一步地,可得到混聯組合運動特征方程為:

(13)

2 運動方案綜合

輪系運動方案研究是在明確齒輪之間傳動比以及轉速情況下,根據單元組合獲取符合較大傳動比與符合復雜運動變換功能需要的齒輪輪系;根據需求,獲取特征信息,得到特征狀態矩陣。

若用許多單元組合來完成輪系運動特征變換,則必須對矩陣進行拆分,對拆分步驟建模,為利用計算機手段完成矩陣分解過程提供依據。

本文首先討論運動狀態矩陣的拆分。

2.1 運動特征狀態矩陣的分解

由已有的研究可知,輪系運動方案分析的重點為拆分特征矩陣,即齒輪輪系傳動比特征的分解。

在明確輪系的輸入與輸出特征向量情況下,分析輪系可行解,可通過把齒輪輪系中的特征狀態矩陣拆分為多個特征狀態矩陣的相加與相乘,然后運用各個特征狀態矩陣到數據庫中查找對應的集合,接著完成序列組合。

2.2 運動特征狀態矩陣的分解算法

依據齒輪輪系單元的常見組合方式和運動特征狀態矩陣的分解規則,每個組合方式關聯不一樣的狀態矩陣拆分算法。本研究分析兩個單自由度單元串聯組合的運動特征矩陣的分解算法。

先給定輪系的特征狀態矩陣是K,K能夠拆分成n個矩陣乘積:

K=K1·K2…Kn-1·Kn

(14)

運動特征狀態方程分解原理如圖7所示。

圖7 串聯組合矩陣分解原理圖

此處引入霍夫曼樹理論,當輪系的特征矩陣分解一次,就形成兩個特征矩陣乘積;要進行再分解時,需對這一級的兩個矩陣中的一個或兩個進行分解,直至無法分解為止。

2.3 運動方案設計步驟

齒輪輪系單元庫中保存有各基本變換單元的傳動比、輸入轉速等設計需求,需要通過拆分運動特征矩陣,匹配獲得單元,然后再進行組合,得到運動方案,即:

(1)依照設計要求,能夠獲取齒輪輪系系統的特征狀態矩陣K;

(2)搜索特征矩陣是K的復合單元與基本單元。分析符合系統方程的單元是否存在,若存在,則把可行解作為輸出;

(3)如果不符合步驟(2),則必須對系統的特征矩陣進行拆分。按照組合方式的分解算法做出拆分。通過對狀態空間的理論進行分析,在確定特征方程拆分規則之后,把已完成的分解算法進行傳動比分解計算,并根據分解條件,考慮是否具有可分解計算的可能性,如果是能夠分解的,則進一步計算,最終能夠得到系統中單元的特征方程;

(4)搜索單元的數據庫,分析滿足方程傳動比的特征單元存在與否,進而獲得單元與組合系統的方案集;

(5)通過組合約束的條件,找到能夠滿足設計需求的方案。

3 設計實例

以某型號風力發電的變槳齒輪箱齒輪輪系運動方案設計為例。其設計需求為:

(1)輸出轉速:0～15 r/min;

(2)總傳動比:100;

(3)輸入轉速:1 500 r/min;

(4)單輸入、單輸出。

運動方案求解過程如下:

(1)確定向量的元素為輸入、輸出轉速w,輸入與輸出運動狀態向量為:

(15)

(16)

(2)確定輸入軸的個數為1、輸出軸的個數為1,根據滿足需求的單元組合方式確定系統特征狀態方程,并提取特征狀態矩陣。先計算一個單元是否滿足需求,再確定兩個單元串聯組合是否滿足傳動比需求,以此類推。每次計算完成,增加一個單元數再重新計算,直到達到級數上限。按照3種組合方式分別計算如下:

①串聯。當單元組合方式為串聯時,滿足需求的串聯組合方式的單元組合圖示為圖4(a),其特征狀態方程如圖8所示。

圖8 不同單元數串聯組合的計算公式

②并聯。當單元組合方式是并聯時,符合需求的單元組合圖示為圖5(b),其特征狀態方程如下:

(17)

③混聯。當單元組合方式為混聯時,滿足混聯組合方式的單元組合圖示為6(a),其特種狀態方程如下所示:

(18)

(3)選擇組合形式進行匹配。

利用單元庫求出同時滿足條件的組合。通過本文計算方法,可得到多種設計方案。

下面給出3種組合方案,選擇更多單元組合可以得到更多的設計方案,盡管系統要復雜一些,利用方案評價體系,可以選出合適方案,實現方案的創新設計。

運動方案結果舉例如圖9所示。

圖9 運動方案結構簡圖

圖9結果表明:

(1)特征矩陣的拆分方法是高效且可應用的,在風力發電的變槳齒輪箱齒輪輪系運動方案求解中,共獲得了9種運動方案結果;

(2)該分析方法可為實際工程中齒輪輪系運動方案研究提供參考。

4 結束語

針對齒輪輪系運動方案設計的研究理論體系不完善的問題,筆者運用單元組合方法與實例驗證方式,對齒輪輪系運動方案進行了分析;創建了一種輪系運動方案分析模型,通過單元連接方程和單元組合特征狀態方程,研究特征狀態矩陣分解規則,得到了系統矩陣串聯、并聯及混聯分解算法,實現了特征狀態矩陣的拆分,并形成齒輪輪系運動方案分析流程;同時,齒輪輪系的單元庫中存在著含傳動比、輸入轉速等設計需求的基本單元,運動特征矩陣進行拆分后,可以通過匹配獲取單元并進行組合;最后，通過設計實例對結果進行了驗證。

研究結果表明:

(1)齒輪輪系運動方案單元化設計的重點是單元之間的組合,在分析單元組合方式之前必須要研究單元之間的組合約束;

(2)通過分析模型,可以把輪系運動方案求解轉變為數學矩陣的計算,并根據狀態特征矢量計算規則建立單元組合串聯、并聯以及混聯分解算法;

(3)以齒輪箱為例,闡述不同組合方式下的特征狀態方程并獲得了9種運動方案,進一步說明本研究中運動方案是高效率且可應用的。

在選擇了齒輪輪系的運動方案之后,筆者后續的研究方向是如何確定系統中具體的齒輪參數,比如傳動比、配齒數等。