利用點子圖促進學生深度學習

劉偉光

有老師問我：“點子圖要教嗎？”其實，在小學數學教學中，點子圖可以化抽象為“具體”，利用點子圖，不但可以幫助學生易于理解數學知識，還可以增進數學思考，促進深度學習。下面以《筆算乘法》（人教版小學數學三年級下冊P46）教學為例，談談點子圖在數學教學中的作用。

一、利用點子圖助力學生自主探究，增強學習數學的自信心

點子圖是小學生學習數學的好幫手。利用點子圖，可以將一些在課堂上無法如實展示的教學內容“還原”，化抽象為具體，幫助小學生消除學習障礙，解決遇到的問題。如教學《筆算乘法》例題1的“每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？”時，因為本例題教學的重點在兩位數乘兩位數的計算上，因此在學生列出算式14×12后，教師直接讓學生自主探究計算，那么學生計算的結果（168或其他）正確嗎？這就需要驗證。學生在教師引導下，畫出點子圖（P46點子圖），把王老師所買的書（點子）搬（畫）到教室來了。因為一個點子表示一本書，所以點子圖的點子數就是王老師買書的本數，學生只要數數點子圖的點子，就知道自己計算結果是否正確了。這個教學環節，利用點子圖，實現了把王老師所買的書“搬”到課堂上的想法，讓學習內容變得直觀，增強了學習的自信心。

二、利用點子圖增進數學思考，培養學生的思維能力

在學習數學知識過程中，挖掘與教學內容有關的思考元素，增進學生數學思考，發展學生思維，是數學課堂教學的主旋律。

1.轉化成兩位數乘一位數的形式，用連乘或乘加的方法計算

第一，轉化成連乘的形式進行計算，即先把點子圖平均分成若干部分，再列成連乘的算式計算。例如：有的學生把點子圖平均分成三部分（如P46點子圖左），先計算出每部分的點子數，再求出三部分（整個點子圖，下同）一共的點子數，列出的算式為：14×4=56，56×3=168，計算結果是168，寫成綜合算式記為14×4×3;有的學生把點子圖平均分成四部分，先計算出每部分的點子數，再求出四部分一共的點子數，列出的算式為：14×3=42，42×4=168，計算結果也是168，寫成綜合算式記為14×3×4;有的學生把點子圖平均分成六部分，先計算出每部分的點子數，再求出六部分一共的點子數，列出的算式為：14×2=28，28×6=168，計算結果也是168，寫成綜合算式記為14×2×6;有的學生把點子圖平均分成兩部分，先計算出每部分的點子數，再求出兩部分一共的點子數，列出的算式為：14×6=84，84×2=168，計算結果是168，寫成綜合算式記為14×6×2等。

第二，轉化成乘加的形式進行計算，即先把點子圖分成不相等的兩部分（每部分小于10行，即每部分行數為一位數），再列成乘加的算式計算。例如：有的學生把點子圖分成“9行”和“3行”兩部分，分別計算出各部分的點子數，再求出兩部分（整個點子圖，下同）一共的點子數，列出的算式分別為：14×9=126，14×3=42，126+42=168，計算結果是168，寫成綜合算式記為14×9+14×3;有的學生把點子圖分成“8行”和“4行”兩部分，分別計算出各部分的點子數，再求出兩部分一共的點子數，列出的算式分別為：14×8=112，14×4=56，112+56=168，計算結果也是168，寫成綜合算式記為14×8+14×4;有的學生把點子圖分成“7行”和“5行”兩部分，分別計算出各部分的點子數，再求出兩部分一共的點子數，列出的算式分別為：14×7=98，14×5=70，98+70=168，計算結果也是168，寫成綜合算式記為14×7+14×5等。

把上面這些綜合算式與原列式（14×12）聯系對比，可得出：14×12=14×4×3=14×3×4=14×6×2=14×2×6或14×12=14×9+14×3=14×8+14×4=14×7+14×5。即把14×12中的一個乘數轉化成兩個一位數的積（如12=4×3=3×4=6×2=2×6）或和（如12=9+3=8+4=7+5），把14×12轉化成連乘或乘加算式來計算，就是將兩位數乘兩位數轉化成兩位數乘一位數的方法進行計算。

2.轉化成兩位數乘整十數與兩位數乘一位數的和形式，用乘加的方法口算

先把點子圖分成整十行和不足十行（一位數）兩部分，再用乘加的方法口算。例如：有的學生把點子圖分成“10行”和“2行”兩部分，分別算出各部分的點子數，再求出兩部分（整個點子圖）一共的點子數，列出的算式（口算）分別為：14×10=140、14×2=28、140+28=168（如P46點子圖右），計算結果是168，寫成綜合算式記為14×10+14×2。聯系比較原列式得出14×12=14×10+14×2。即把14×12中的一個乘數轉化成一個整十數與一位數的和（12=10+2），變成前面一節課剛學過的口算形式（這種方法是上一節課口算方法的應用，是理解豎式計算算法算理的基礎，解決本課重難點的關鍵）。

點子圖點子求得方法的優化探究，挖掘了點子圖中蘊含的數學思考元素，增進學生的數學思考，學生思維活躍又個性十足，促進了知識的遷移，培養了學生的思維能力和創新意識。

三、利用點子圖理解算法算理，促進學生深度學習

理解兩位數乘兩位數的算法算理是本課教學的重難點。前面教學中利用點子圖，解決了驗證問題，促進數學思考，還生成了新的教學資源，它可以幫助學生突破本課教學難點，理解好筆算（豎式）算理，掌握兩位數乘兩位數的計算方法。如在“探究計算14×12”時，有學生用豎式計算得到168的，但教師通過提問了解到還存在兩個問題：一是學生還無法確認自己計算結果是否正確，需要加以驗證;二是學生雖然用豎式計算出來了，但不知其所以然，還沒有弄清算理。在“用已學過的計算方法求出點子數”的探究活動中，收獲了14×10=140、14×2=28、140+28=168的口算方法（稱為橫式）。因此，教師用課中生成的豎式和橫式，以小組為單位，讓學生對照點子圖（P46中右），說說橫式和豎式的關系，并作出關聯圖，幫助學生理解豎式計算的算理算法。學生匯報交流的關聯圖整理如下圖。

板書：

第一，弄清算理。引導學生觀察比較上圖左右兩部分：一是結果一致，說明豎式算法正確可行（橫式的已由點子圖驗證過）。二是豎式中每一步算法的選擇及其意義，可利用點子圖（P46中右）、橫式和豎式的對照比較講清楚，讓學生能夠理解算理，最后把點子“還原”為書，學生可以順利完成課本的豎式圖填空（P46下）。

第二，弄清算法。引導學生觀察整個豎式結構模型：第一步計算（14×2）和以前學過的兩位數乘一位數豎式計算方法相同。第二步計算（14×10），觀察“1”（10）×4=“4”（40）的對位，理解用“用哪一位上的數去乘，得到的積就跟那一位對齊”;再根據“0加任何數得任何數”，理解豎式中的0可以不寫……從而引導學生建構豎式模型，歸納計算法則。

綜上可知，利用點子圖教學，數形結合，化抽象為具體，幫助學生理解數學知識，同時豐富了教學思考的元素，增進學生的數學思考，促進學生深度學習，同時培養了學生思維能力和應用意識，讓學生在數學探究中智慧生長。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大堂出版社，2012.

[2]馬云鵬.深度學習—走向核心素養（學科教學指南小學數學）[M].北京：教育科學出版社，2019.