基于隨機波動率模型的滬深300ETF期權定價

郁瑞瀾， 商 豪

(湖北工業大學理學院， 湖北 武漢 430068)

2019年12月23日，滬深300ETF期權在上海證券交易所上市。滬深300ETF期權是繼上證50ETF期權之后我國上市的第二只ETF期權。它是以華泰柏瑞滬深300ETF為標的的歐式期權，在提高市場穩定性和流動性、完善金融市場等方面有重要意義。因此，滬深300ETF期權定價的合理性至關重要。1973年，Black和Schole[1]通過大量數據分析發現金融衍生品和標的資產的價格服從含有漂移項的布朗運動。利用無套利理論將歐式期權的價格表示成股票價格與時間的微分方程，得到歐式看漲期權價格的解析解。因B-S模型常數波動率、常數利率等假設條件過于理想化，無法處理資產價格帶跳、發放紅利對其影響等問題，國內外學者不斷對其進行改進以適應實際情況。在真實金融市場中，波動率微笑[2]、波動率聚集[3]等現象非常常見，因此學者們以隨機波動率為重點，改進了一系列新的期權定價模型。1993年，Heston[4]提出連續時間波動率的平方根模型，并經過大量實證發現Heston模型比B-S模型的定價結果更精準。在實證分析中，馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC)實現了抽樣分布隨模擬進行而改變的動態模擬過程，它既不需要事先估計參數，也無需對大量數據進行擬合優化。Jacquier E等(1994)[5]最先將MCMC法引入隨機波動率模型的參數估計中。Jacquier E發現MCMC法的參數估計精度最高。Nilsson(2016)[6]針對隨機波動率模型的參數估計進行了大規模的模擬研究，發現不同樣本量下對不同參數進行估計時均是MCMC法的誤差最小。張瑤(2020)[7]針對滬深300ETF期權波動率的隨機性提出AHBS模型、Heston模型，并用最小二乘法進行參數估計。劉瑩等(2019)[8]用粒子群(PSO)智能算法改善了Heston模型對香港恒生指數期權進行定價時的參數校準問題。Azencott R , Ren P[9]根據Heston模型參數的矩估計建立了選擇時間間隔和收益率數據二次采樣頻率的標準。本文基于Black-Scholes期權定價模型和隨機波動率模型對滬深300ETF期權的定價問題展開實證研究。

1 模型基礎

1.1 Black-Scholes期權定價模型

假設某一資產的價格是S(t)，由經典Black-Scholes公式(下稱B-S公式)可知，在一個連續時間上面，資產價格的波動率方程為：

其中，W(t)表示標準Wiener過程，σ為波動率(σ>0)，μ是漂移項。在經典B-S公式中，波動率σ和漂移項μ是與時間無關的非隨機變量。盡管根據這個公式可以求出波動率的公式解，但是 “波動率與時間無關”的假設顯然不符合實際情況，所以求得的波動率模型與實際波動率相差很大。

1.2 Heston隨機波動率期權定價模型

隨機波動率模型(Stochastic Volatility Model)的主要思想是在假設標的資產價格服從維納過程的基礎上，將波動率視為一個隨機過程。Heston模型是SV模型的一種，它假設資產價格的波動率服從均值回復平方根過程，也就是CIR(Cox-Ingersoll-Ross)過程。在中性風險下，Heston模型的形式：

其中，Ws(t),Wσ(t)是維納過程，它們的相關系數記為ρ。模型的參數為μ,α,β,σ0,ρ，μ有時也取為無風險利率r。

為了便于參數估計，將式寫成：

1.3 馬爾科夫蒙特卡洛方法

假設θ是一個多維的參數向量，現希望從分布P(θ|X)中產生一列隨機值。首先，將θ分為幾個幾個部分，即θ=(θ(1),θ(2),θ(3),…,θ(n))，其中P(θ(1)∣θ(2),θ(3),…,θ(n),X)，P(θ(2)∣θ(1),θ(3),…,θ(n),X),…,P(θ(n)∣θ(1),θ(2),…,θ(n-1),X)能夠簡單地得到它的隨機抽樣值，也稱為全條件后驗分布。

Gibbs算法具體的抽樣過程為：

?

最終得到抽樣值θ1,θ2,θ3,…,θN，為了消除初始值θ0的影響，舍去前面M個值。

設f(θ)是我們感興趣的函數，令

1.4 Heston模型的貝葉斯估計后驗密度

Heston模型的離散形式為：

其中，ΔWi(tn)=Wi(tn+1)-Wi(tn),i=1,2。

記

Y=(y1,…,yn)T,Δ=(Δ1,…,Δn)T

Zn～N(μn,Σn)

其中

由此，可以得到給定參數(Y,Δ)的條件分布為

由此，接下來可以計算出Gibbs抽樣所需要的條件密度：

其中

m1=

其中

其中

其中，

2 實證分析

2.1 數據的選擇與描述性分析

根據在值程度，期權可分為虛值期權、實值期權和平值期權。本文選取2019年12月23日至2020年8月31日到期日在兩個月內的9只在值程度不同的滬300ETF看漲期權的日交易數據，以日期為y軸，隱含波動率為z軸作出隱含波動率的曲面圖(圖1)。

圖 1 樣本期權波動率曲面圖

由圖1可見，隱含波動率與在值程度的關系呈現較為明顯的“波動率微笑”曲線。相對實值期權和虛值期權來說，平值期權的波動率處于低點，也較為穩定。由此可見，滬300ETF期權的隱含波動率不是一個常數，說明B-S公式中“波動率為常數”的假設與現實情況不符。

本文僅選取2019年12月23日至2020年8月31日到期日在兩個月內的滬300ETF平值看漲期權的日交易數據用以實證分析，理由如下：第一，平值期權的隱含波動率較穩定；第二，平值期權的交易較活躍，在交易量較大的情況下，交易價格更貼近其價值；第三，平值期權的Vega值比較高，期權價格對標的資產價格的波動率敏感，更能體現不同定價模型之間的差異。

本文無風險利率使用1個月Shibor利率(即“上海銀行業同業拆借利率”)，數據來自東方財富網，由爬蟲獲得，其余數據均由WIND金融終端導出。

2.2 參數估計結果

常見的MCMC法有Metropolis-Hastings(M-H)算法和Gibbs算法。M-H算法有兩個缺點：一是在高維情況下由于接受率的原因導致算法收斂時間長，二是有些高維數據特征的聯合分布很難求出來。在M-H算法基礎上發展而來的Gibbs算法將參數分為幾個部分，每個部分的抽樣都基于其他參數的前一個抽樣值，最終可以收斂于真實的后驗值，很好地克服了M-H算法的缺點。鑒于MCMC法的優點以及Gibbs算法在高維特征時的優勢，本文采用MCMC法中的Gibbs算法對Heston模型的參數進行估計，結果如表1所示。

表1 參數估計結果

2.3 實證結果與誤差分析

以日期為x軸，價格為y軸，分別畫出B-S公式、Heston模型和期權實際價格的折線圖(圖2)。

圖 2 B-S公式、Heston模型和期權實際價格的折線圖

如圖2所示，B-S模型的價格波動幅度比Heston模型大，這是由于Heston模型假設資產價格的波動率服從均值回復平方根過程，所以價格波動幅度相對平穩。此外，整體上看，B-S的定價結果偏高，Heston模型比B-S模型的定價結果更貼合實際，但是當標的資產價格大幅波動時，B-S定價結果比Heston定價更準確。

記理論價格為yn'，期權實際價格為yn，樣本總量為N，用平均絕對誤差

平均相對誤差

平均絕對相對誤差

均方誤差

分別計算B-S公式和Heston模型的誤差。

MAE和MAPE主要用于衡量定價誤差的大小；MAPE指明了誤差的方向，即表明了理論價格比實際價格低還是高；MSE強調數據變化程度，MSE越小模型數據越精準。由表2可以看到，在四種誤差衡量方法之下，Heston模型都比B-S公式表現得更好。

表2 不同模型的定價誤差PHam

3 結束語