基于灰色理論的鋼絲繩疲勞壽命預(yù)測模型

林 海 曾世龍

（甘肅省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測研究院，蘭州 730050）

1 技術(shù)背景

鋼絲繩由于其獨(dú)特的螺旋扭曲結(jié)構(gòu)和機(jī)械性能，廣泛應(yīng)用于航空航天、交通與建筑等領(lǐng)域。安全可靠地使用鋼絲繩，能夠確保工程運(yùn)行的安全性，直接影響著生產(chǎn)效率和人身安全。因此，鋼絲繩疲勞壽命的準(zhǔn)確預(yù)測已在工程實(shí)踐中獲得了廣泛關(guān)注。

對于各種部件的疲勞行為預(yù)測，許多學(xué)者提出了疲勞預(yù)測模型或方法。Jesus等[1]提出了一種從基礎(chǔ)材料的應(yīng)變壽命數(shù)據(jù)估計(jì)帶缺口結(jié)構(gòu)部件的概率應(yīng)力-壽命（S-N）曲線的程序。Muniz-Calvente等[2]提出了一種概率預(yù)測的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)和適用于任何疲勞破壞準(zhǔn)則的機(jī)械零件的疲勞裂紋萌生壽命的方法，并預(yù)測了鉚接連接的疲勞萌生壽命。趙鑫[3]在充分利用相關(guān)鋼絲繩疲勞試驗(yàn)的歷史數(shù)據(jù)的前提下，結(jié)合現(xiàn)有的鋼絲繩小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過貝葉斯方法預(yù)測了鋼絲繩的疲勞壽命。現(xiàn)有的小樣本條件下，鋼絲繩疲勞壽命的預(yù)測方法是僅預(yù)測簡單載荷下鋼絲繩的疲勞壽命，無法綜合考慮影響鋼絲繩疲勞壽命的復(fù)雜因素。作為小樣本條件下數(shù)據(jù)預(yù)測的一種重要方法，灰色理論在處理小樣本復(fù)雜的影響因素和多個不確定因素方面具有很大優(yōu)勢。該方法已應(yīng)用于機(jī)械剛性零件和金屬材料的壽命預(yù)測。謝里陽、李存海、白鑫等[4-6]從不同應(yīng)力下的同一試驗(yàn)件處于相同概率分位點(diǎn)的角度出發(fā)，提出了一種基于樣本集聚的小樣本P-S-N方法，通過將不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命轉(zhuǎn)化為同一應(yīng)力水平，實(shí)現(xiàn)了對小樣本數(shù)據(jù)的擴(kuò)充。傅惠民等[7]基于異方差回歸分析理論，對S-N曲線上所有試驗(yàn)件的壽命進(jìn)行了整體統(tǒng)計(jì)和分析，實(shí)現(xiàn)了多母體聯(lián)合推斷，建立了小樣本S-N曲線和P-S-N曲線的檢驗(yàn)方法。Chen等[8]提出了一種分層貝葉斯數(shù)據(jù)擴(kuò)充的新方法，以集成分層貝葉斯建模和貝葉斯數(shù)據(jù)擴(kuò)充來處理稀疏數(shù)據(jù)專門針對疲勞S-N曲線的問題。唐鴻遠(yuǎn)、陳柏明等[9-10]創(chuàng)新性地將灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用于材料疲勞壽命預(yù)測。

綜上所述，基于灰色理論的鋼絲繩疲勞壽命預(yù)測方法可以確定危險(xiǎn)物體的S-N曲線。鋼絲繩的斷面數(shù)據(jù)是小樣品的整個鋼絲繩測試數(shù)據(jù)。本文將基于灰色理論建立鋼絲繩優(yōu)化的灰色預(yù)測疲勞壽命模型，以預(yù)測小樣本條件下鋼絲繩的可靠性壽命數(shù)據(jù)。

2 鋼絲繩彎曲疲勞試驗(yàn)

鋼絲繩彎曲疲勞試驗(yàn)的測試對象為6×31SW+FC型鋼絲繩，查資料可獲得彎曲疲勞試驗(yàn)臺和具體試驗(yàn)加載[11]。當(dāng)鋼絲繩發(fā)生以下情況時(shí)，需判斷鋼絲繩是否失效，并記錄鋼絲繩的往復(fù)運(yùn)動次數(shù)作為鋼絲繩的疲勞壽命。

（1）鋼絲繩接頭處有4根以上的斷絲。

（2）在鋼絲繩的非接合區(qū)域，6d（d為單根絲的直徑，下同）范圍內(nèi)有4根或以上的斷絲，30d范圍內(nèi)有8根或以上的斷絲。

（3）鋼絲繩斷裂或變形。

將鋼絲繩的循環(huán)次數(shù)記錄為疲勞壽命，在可靠性為0.999 9的情況下處理試驗(yàn)結(jié)果，得出不同張力下的可靠性疲勞壽命，如表1所示。

表1 鋼絲繩的疲勞壽命數(shù)據(jù)

3 基于灰色理論的壽命分析

可靠性壽命數(shù)據(jù)的預(yù)測順序是確定鋼絲繩危險(xiǎn)部位可靠性S-N曲線的基礎(chǔ)。一方面，通過疲勞試驗(yàn)獲得小樣品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并通過數(shù)據(jù)處理獲得不同張力下鋼絲繩的可靠性壽命。另一方面，建立改進(jìn)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測可靠性壽命數(shù)據(jù)，得到可靠的S-N曲線。

3.1 原始GM(1,1)模型

設(shè)數(shù)據(jù)序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則x(0)(n)的一階累積生成序列AGO為：

式中，有：

x(1)的緊鄰均值序列z(1)=[z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)]為：

則原始數(shù)據(jù)GM(1,1)模型的白化微分方程為：

式中：a為發(fā)展系數(shù)；μ為灰作用量。

GM(1,1)模型的灰微分方程為：

將k=2,3,…,n代入式（5），可以得到n-1個關(guān)于a和μ的方程：

將式（6）展開，可得：

令：

則式（7）可以改寫為：

通過最小二乘法，可以得到a和μ：

將求解得到的a和μ代入式（4），則可以得到白化方程的響應(yīng)解為：

由初始條件x(1)(1)=x(0)(1)，得：

從而可得原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值：

3.2 改進(jìn)的GM(1,1)模型

在原始GM(1,1)模型中，初始條件為x(1)(1)=x(0)(1)，不能夠充分運(yùn)用原始數(shù)據(jù)中的信息。將式（13）中的初始條件重新設(shè)置為，則白化方程的響應(yīng)解為：

式中，有：

將c值代入式（15），可得：

則新的原始數(shù)據(jù)預(yù)測值可以表示為：

實(shí)際工作過程中，隨著張力的增加，通常會有許多不確定的干擾因素進(jìn)入鋼絲繩的疲勞壽命預(yù)測系統(tǒng)，從而影響壽命的最終預(yù)測結(jié)果。傳統(tǒng)的GM(1,1)模型是基于現(xiàn)有的鋼絲繩樣品測試數(shù)據(jù)建立的，無法充分考慮未來因素對鋼絲繩疲勞壽命的影響。本文以循環(huán)迭代的方式考慮疲勞壽命隨拉力變化過程中的干擾因素，反映了鋼絲繩的最新失效狀態(tài)。

灰色預(yù)測模型可以灰色處理影響鋼絲繩疲勞壽命的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)、力學(xué)模型和外部環(huán)境，降低可靠性壽命數(shù)據(jù)預(yù)測的計(jì)算難度。通過引入灰色理論，揭示了數(shù)據(jù)間隱含的關(guān)系，進(jìn)一步挖掘了數(shù)據(jù)信息。通過小樣本數(shù)據(jù)處理方法，最后運(yùn)用所提方法處理鋼絲繩疲勞壽命數(shù)據(jù)，得到了小樣本下的鋼絲繩S-N曲線。使用改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測700～1 200 kN張力下的疲勞壽命，預(yù)測結(jié)果如圖1所示。

圖1 預(yù)測壽命與試驗(yàn)壽命的對比

由圖1可得，理論預(yù)測結(jié)果很接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明改進(jìn)的預(yù)測模型在考慮了鋼絲繩變形或磨損引起的不確定因素的影響和外界環(huán)境對壽命預(yù)測結(jié)果的影響的基礎(chǔ)上，不僅優(yōu)化了求解方法，而且提高了預(yù)測精度。

4 結(jié)語

經(jīng)驗(yàn)證，基于灰色理論建立的小樣本疲勞壽命預(yù)測模型，預(yù)測精度較高。此模型通過引入灰色理論，揭示了數(shù)據(jù)間隱含的關(guān)系，進(jìn)一步挖掘了數(shù)據(jù)信息，不僅優(yōu)化了求解方法，而且考慮了鋼絲繩變形或磨損引起的不確定因素的影響和外界環(huán)境對壽命預(yù)測結(jié)果的影響。通過利用現(xiàn)有的小樣本數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對鋼絲繩疲勞壽命的預(yù)測，不僅降低了檢測成本，而且大大縮短了材料疲勞壽命的試驗(yàn)周期。