水透鏡的變焦原理研究

唐建國

(蘇州市胥江實驗中學校 江蘇 蘇州 215004)

可變焦水透鏡，由一層薄膜包裹一定體積的水組成，可以通過注射器注入或抽取透鏡內液體，從而改變球面透鏡的曲率半徑，達到變焦的效果，如圖1所示.水透鏡在初中物理教學中，通常用來演示人眼晶狀體凸度的調節，模擬近視眼和遠視眼的成因原理，能較好地解決相關教學難點.然而，對于水透鏡焦距的改變，教師大多給出一個定性的解釋，即“水透鏡注入的水越多，形狀上就越凸(曲率半徑越小)，焦距就越小”，那這幾個相關物理量之間究竟滿足怎樣的定量關系？本文對此進行了研究.

圖1 水透鏡

1 水透鏡的理論模型建立

當往薄膜內注入水時，薄膜向外凸出，形成水凸透鏡.忽略水的重力影響，水透鏡可近似當作是由兩個對稱的“球缺”組成，如圖2(a)所示.設水透鏡的曲率半徑為R，水透鏡孔徑的半徑為r，球缺的高度為h，如圖2(b)所示.

單個球缺的體積可用積分的方法求出[1]，整個水透鏡的體積V就是兩個對稱球缺體積之和

(1)

(a)

(b)

根據圖2(b)的幾何關系得出

代入式(1)，得到水透鏡體積計算公式為

(2)

由于水透鏡的厚度比其球面的曲率半徑小很多，因此可將水透鏡視作薄透鏡模型考慮.對于在空氣中的薄透鏡，焦距f與曲率半徑R和透鏡材料的折射率n滿足如下關系[2]

代入式(2)，得

(3)

當r和n取相應的數值之后，式(3)就是一個水透鏡的焦距f關于其體積V的隱函數.

2 水透鏡焦距的測量方法

采用共軛法測量水透鏡在不同體積下的焦距，如圖3所示.固定光源和光屏之間的距離L不變，L須大于所測水透鏡的4倍焦距.將水透鏡放在光源和光屏之間，在前后移動水透鏡的位置過程中，水透鏡有兩個位置能夠使光源成像在光屏上，一個是倒立放大的實像，另一個是倒立縮小的實像，記錄這兩個位置的距離為d.根據薄透鏡成像條件

(4)

根據幾何條件

u-v=du+v=L

代入式(4)，整理可得

(5)

圖3 共軛法測焦距實驗原理圖

根據式(5)，只需測定L和d，就能把焦距測出，即為共軛法測焦距.這種測量方法不需要考慮透鏡的厚度，相比于利用式(4)來測量焦距，避免了在測量u和v時引入的較大誤差，所以測量結果更加準確.

3 實驗測量與理論計算

所選用的水透鏡的孔徑半徑r=18 mm，水透鏡充入一定體積的水.在測量過程中，保持光源和光屏的距離L=800 mm不變，記錄不同水透鏡體積V情況下成倒立放大實像和倒立縮小實像時，水透鏡所在位置分別對應的刻度d1和d2，兩個刻度的差值即為d，將L和d代入式(5)，可得出水透鏡焦距f，記錄如表1所示.將不同水透鏡體積下的焦距繪制入圖4，用圓點表示.

表1 水透鏡焦距測量記錄表

續表1

將水透鏡孔徑半徑r=18 mm，純水的折射率n=1.333代入式(3)，利用Mathematica數學軟件繪制水透鏡的焦距f和所含水體積V之間的函數關系圖像，如圖4中光滑曲線所示.

圖4 水透鏡的焦距與含水體積的關系圖

4 總結

實驗測量和理論計算的結果對比后，可以得到如下結論：(1)實驗測量結果與理論模型計算基本符合，證實了所建立的理論模型可以較好地解釋水透鏡變焦原理.(2)理論和實驗都表明，水的體積只在一定范圍內變化時，水透鏡才具有較好的變焦能力.(3)水透鏡內水的體積不宜充入太多，一方面，水透鏡的變焦能力隨體積的增大而變弱；另一方面，水的體積越大，水的重力會使水透鏡的形狀越來越趨近于水滴形，導致水透鏡的主光軸不穩定.(4)若將充入透鏡的液體介質改成折射率更大密度較小的油，油透鏡是否會比水透鏡具備更好的調焦能力？這個問題值得進一步研究.