電磁感應雙桿問題加速度的一般性討論

吳曉松

(重慶涪陵第五中學校 重慶 408000)

1 問題的提出

雙桿問題作為電磁感應中一個常見的物理模型[1]，涉及到電磁感應、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等，一直是教師在教學過程中不能回避的問題.在各種教學參考資料中經常能見到有關這種模型問題的討論，尤其是雙桿最終加速度的問題對于學生來說受力分析仍是一大難點.平時我們遇到的練習題中常常是導軌光滑，寬度一定，磁感強度處處分布均勻，且不受到外力的情況.比如下面這個題.

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L.導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖所示．

圖1 例1題圖

原題解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流．ab棒受到與運動方向相反的安培力作用做減速運動，cd棒則在安培力作用下做加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速．兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，最終兩棒以相同的速度v做勻速運動．兩棒加速度都為零，但是在穩定狀態之前，兩棒是有加速度的.

(1)

此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為

(2)

(3)

此時cd棒所受的安培力

F=IBL

(4)

所以cd棒的加速度為

(5)

由以上各式，可得

(6)

做完該題后，班上一學生向老師問道，如果兩棒長度不等，導軌不光滑，情況又如何呢？ 確實解完該題后都留給教師和學生一種意猶未盡的感覺，因此筆者在教學之余將這一模型一般化后(兩桿不等長，導軌粗糙，磁場分布不同且受到外力)進行了再討論.

2 模型的建立及求解

【例2】如圖2所示[2]，有一足夠長的水平放置的平行金屬導軌間距為l1,其間有勻強磁場，磁感應強度為B1；與之相連的有間距為l2的足夠長的水平放置的平行金屬導軌，導軌間有勻強磁場，磁感應強度為B2.將長為l1，質量為m1，電阻為R1的金屬棒b放置在離連接處足夠遠的位置，金屬棒b與導軌的摩擦因數為μ1；將長為l2，質量為m2，電阻為R2的金屬棒a放置在離連接處足夠遠的另一位置，金屬棒a與導軌的摩擦因數為μ2.導軌與金屬棒a,b構成閉合回路，其中導軌的電阻可忽略不計.當恒力F垂直作用在金屬棒b上，水平拉動金屬棒.求兩金屬棒最終的加速度之比.

圖2 例2題圖

解：研究b棒

(7)

研究a棒

(8)

研究閉合回路

(9)

由式(7)、(8)、(9)可得

(10)

令

所以式(10)簡化為

(11)

(12)

由式(12)可以看出I與R1,R2無關，即經過足夠長時間后電流為一定值.下面計算經過足夠長時間后兩金屬棒各自的加速度及其比值，有

(13)

(14)

通分后

即

(15)

可見兩金屬棒的加速度各自趨于一個穩定值，且

3 對加速度比值的再分析

通過上面的求解結果可知，在恒定拉力作用下兩金屬棒最終加速度的比值與摩擦因數和電阻都沒有關系，只與各自的磁感強度和寬度有關，無疑這是一個非常簡潔而美妙的結果.實際上這個結果的確具有合理性，對兩金屬棒來說水平方向受到不為零的合力時，系統必然具有加速度而且最終達到穩定狀態時(比如勻加速)電流I必須恒定或者說電流的變化率為零.因為

所以

或者

特別地，若B1=B2，則

若l1=l2，則

中學物理資料上常常是其中的一根導體棒受恒定的外力且

l1=l2B1=B2

這就得到我們所熟悉的結論

如果兩桿都不受到外力，最終穩定后兩桿的加速度均為零，這就是原題的情景.當然如果其中一根桿受到恒定的外力，最終穩定后兩桿的加速度之比就是一個簡潔的結果