運用求導法對一道物理預賽試題的分析研究與解法拓展

沈 衛 陳擁華

(湖州市菱湖中學 浙江 湖州 313018)

連接體問題在高中物理問題中歷來是屬于難解問題，在物理競賽中也多有體現.對這類問題的解決常常需要用到相對運動關系、動量守恒，當涉及到對體系受力關系的定量解析時，還可能考慮到由于參考系的變換而需要建立物體在非慣性系下牛頓第二定律的方程，例如第36屆全國物理預賽(江蘇賽區)第15題.該題描述了輕繩的兩端連接小環和小球，并使小球在豎直平面內向下擺動時帶動小環沿光滑水平固定橫桿滑動，并求解小球的速度與輕繩的拉力.現將原題及答案原解呈現如下.

【例題】一質量為m的小環A與一質量為2m的小球B通過一長為l的輕繩相連.先將小環套在一水平放置的光滑固定桿上，將繩拉直到水平方向，并使小環和小球都處于靜止狀態，如圖1所示.然后同時釋放小環和小球.

圖1 題圖

(1)試求：小球B運動到最低點時，小環與小球的速度大小，并求此時繩中的拉力；

原解:第(1)問是第(2)問的特解，因此主要給出第(2)問的解答過程.設繩子與水平方向的夾角是θ時，小環A的速度為vA，小球B相對于小環A的速度為vBA，則小球B的速度為vB=vBA+vA，由系統水平方向動量守恒可知

mvA-2m(vBAsinθ-vA)=0

(1)

由系統機械能守恒可知

(2)

由式(1)、(2)可得

(3)

(4)

由式(3)、(4)可得小球B的速度滿足

設繩子中的拉力為F，小環的加速度為a，則小環的動力學方程為Fcosθ=ma.以小環為參考系(非慣性系)，小球B做圓周運動，其所受的慣性力F′=2ma.在非慣性系中，小球B的受力情況如圖2所示.

圖2 小球受力情況

小球沿繩方向的動力學方程滿足

(5)

將式(4)代入式(5)中可得繩子拉力為

點評：除去數學計算上略顯復雜，該題在求解環A與球B的速度上涉及的物理建模思想與方法還是較為簡單直觀的，充分滲透了高中物理處理動力學問題所需要的兩種守恒——動量守恒與機械能守恒.若說比較抽象的就是建立環A與球B在速度上存在的牽連關系，但是根據動量守恒與運動合成分解還是容易為學生所理解的.但是在求解細繩拉力的時候，多數學生甚至部分教師忽略掉了以環A為參考系而產生的對球B所作用的慣性力.也有學生提出疑問：能否在避開慣性力運用的前提下實現對細繩拉力的求解？例如知道環A沿橫桿運動的加速度a，再結合Fcosθ=ma就能夠得到細繩的拉力.但是要實現這樣的求解，前提是需要得到環A沿桿運動的加速度表達式，那么能否在學生已有知識框架下實現對拉力F的另解呢？

1 運用求導法實現對環A加速度的求解

高中階段學生已經學習過導數并掌握了大多數函數的求導法則及其運用，基于這樣的一個前提，學生也知道對位移求時間的導數可以得到速度，而對速度求時間的導數可以獲得物體運動的加速度.依據這樣的原則，本文提供兩種通過求導法獲取環A加速度進而得到細繩拉力大小的方法.

1.1 對環A的速度表達式求時間的導數

根據式(3)可知環A沿水平橫桿運動的速度，顯然對該式求關于時間的導數必然能夠得到環A沿桿運動的加速度，故有

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)中整理之后可得環A沿桿運動的加速度為

將該式代入到表達式Fcosθ=ma中便能夠得到細繩拉力的大小.

1.2 運用導數構建方程求解

力學問題中對物體的位置坐標求二階導數可以得到物體的加速度，在這里不妨構建沿桿水平向右與垂直于桿豎直向下的二維直角坐標系，如圖3所示.

圖3 構建二維直角坐標系

因此可得到當細繩與水平橫桿成θ角時，環A與球B的位置坐標分別為

xA=xyA=0

xB=x+lcosθ

yB=lsinθ

對環A、球B的位置坐標求時間的二階導數可得

(8)

(9)

(10)

根據系統水平方向動量守恒及豎直方向球B的受力可構建方程有

將式(8)～(10)代入可得

(11)

(12)

將

代入該式之后亦可得到細繩拉力F的大小.

點評：上述兩種方法均運用到了求導法，同時也避開了對慣性力的運用.唯一不同的是1.1的解法直接對A環的速度求導，得到加速度a，因此在物理方法的運用上簡單直觀，但運算量較大.1.2的解法則是對位置坐標求解二階導數并結合系統水平動量守恒及球B豎直方向的動力學方程推導出拉力F的表達式.該方法數學上的運算較為簡便，且避免了根號項的求導過程，同時也在求導的過程中充分滲透了物理思想與方法的運用，而不至于使求導的過程淪為純粹的數學運算而喪失了對問題物理本質的探討.那么上述兩種求導方法是否具備較強的普適性呢？與原題答案的方法相比，是否具有突出的優勢呢？顯然僅僅通過這一個例子無法進行比較.因此下面就該題做一個簡單變式，將系統運動模型的構建提升一個維度，由二維平面提升至三維空間，探討一下系統在三維非固定懸點擺動下的細繩拉力大小.

2 提升運動空間的維度 再談細繩拉力的求解

根據原題條件，如果在釋放球B時將球B垂直紙面向里拉開一個角度再釋放，某時刻細繩與水平面方向成角度θ，與豎直平面成角度α，建立三維直角坐標系如圖4所示，并探討此時細繩所產生拉力的大小.其中u為球B相對于環A向下擺動做圓周運動的線速度，根據幾何關系作如圖5所示的球B沿xOz平面的運動示意圖.

圖4 建立三維直角坐標系

圖5 球B沿xOz平面運動示意圖

可知

mvA-2mvBx=0

vBx+vA=usinθcosα

聯立兩式可得到環A沿桿滑動的速度滿足

為了簡化運算，得到球B相對環A做圓周運動的線速度大小，這里采用柯尼希定理求解.由圖4及圖5可知環A與球B系統質心C的速度滿足

(13)

由系統機械能守恒可知

(14)

將式(13)代入到式(14)中即可得到

故環A沿桿滑動的速度滿足

2.1 在非慣性系下建立體系的動力學方程

下面先通過原題解法中非慣性系下的動力學方程解決變式中拉力大小的計算.與原題中的物理模型相似，球B以環A為參考系(非慣性系)做圓周運動，如圖4所示，細繩拉力F提供環A沿桿方向的加速度滿足Fcosθcosα=ma，因此球B受到沿x軸負方向的慣性力滿足F′=2ma=2Fcosθcosα.在非慣性系下，球B做圓周運動的動力學方程滿足

(15)

將式(15)整理之后代入速度u即可得到細繩的拉力滿足

盡管在原有模型構建的背景下拓展了問題中系統運動的維度，將平面運動模型拓展為三維空間的運動模型，但是運用非慣性系下的動力學方程還是較為方便地解決了細繩拉力的求解.雖然在描述運動時需要一定的空間想象能力，但只要根據系統的運動與受力合理地構建平面圖并注意幾何運算中兼顧角度α的運算即可.上述解法可知問題原解的方法還是具備一定的優勢的，雖然需要引入慣性力的運用，但是從模型的構建與運算的角度來說，該方法還是比較簡單而方便的.

2.2 運用求導法對求解細繩拉力的分析探討

根據前述分析已經得到A環沿桿滑動的速度表達式，因此對該表達式求時間的一階導數即可得到A環沿桿運動的加速度aA.顯然對于A環而言，必然有

Fcosθcosα=maA

由此便可得出細繩拉力的大小.但是正如前面所述，對vA的表達式直接求時間的導數其計算量過大，特別是表達式根號項內存在兩個角度變量的情況下，對于問題運算而言無疑增加了很大的困難.雖然該方法原理上不存在任何問題，但是在實際問題的解決過程中要根據問題本身的性質合理地運用.

同理，由于增加了一個維度，將平面運動轉化為三維空間運動，描述系統運動的變量增加了一個角度α，因此運用1.2中構建方程并對描述位置坐標的變量求時間二階導數的方法也在一定程度上增加了運算上的難度.根據圖4、圖5可得到A環與B球在空間直角坐標系下的位置坐標分別為

xA=x

xB=x+lcosθcosα

yB=lsinθ

zB=lcosθsinα

根據沿x軸方向系統動量守恒，沿y軸方向與沿z軸方向的力學關系可建立方程如下

雖然上述方程聯立之后通過運算并結合

亦可以得到細繩拉力F的大小，但是其運算量過大，不符合拓展解法中簡便、直觀的原則.可見求導法雖然對原題中細繩拉力的解答頗具新意，但是一旦將問題背景由二維平面拓展到三維空間，在增加描述運動變量的情形下，利用導數求解無形中使問題的解析過程過于繁瑣，顯然不是十分適用.由此可見，拓展問題的解法不僅要追求創新，同時也要兼顧解決問題方法的有效與直觀，過大的計算量的引入不是追求創新解法的目標.當然，求導法解析動力學問題在高中物理中還有多方面的體現，教師和學生可以在日常的教學實踐中加以關注、積累與總結，從而使數學方法能夠更好、更有效地用于解決物理問題.