再談功的概念

曾浩生 何思芳

(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410081)

1 引言

在討論功的概念時(shí)，幾乎所有教科書都給出相同的數(shù)學(xué)公式A=Fscosα.但對(duì)其中位移“s”的理解不盡相同，有理解為“物體的位移” “力的作用點(diǎn)的位移” “受力質(zhì)點(diǎn)的位移”， 等等.需要指出的是，功的概念一般都是在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中給出的.當(dāng)受力對(duì)象為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，上述說法都是正確的.而當(dāng)受力對(duì)象有一定的大小和形狀，不能看作是質(zhì)點(diǎn)時(shí)，上述說法的含義不盡相同，于是就出現(xiàn)了爭(zhēng)議和誤解[1～6].事實(shí)上，對(duì)于非質(zhì)點(diǎn)體系，上述任何一種說法都不能完全正確地給出功的定義.鑒于問題的重要性，而且始終沒有得到完美地解決，有必要再次進(jìn)行討論.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)受力對(duì)象為剛體時(shí)，運(yùn)用作用在剛體上的力的性質(zhì)，能夠完美地理解功的計(jì)算，澄清在功的計(jì)算過程中時(shí)常產(chǎn)生的困惑和錯(cuò)誤.

2 作用在剛體上的力的性質(zhì)

作用在剛體上的力對(duì)剛體產(chǎn)生兩種效果：一是使剛體的質(zhì)心產(chǎn)生平動(dòng)；二是使剛體繞過質(zhì)心的軸做加速轉(zhuǎn)動(dòng).從這兩種效果出發(fā)，可以推出作用在剛體上的力滿足如下兩條性質(zhì)：

(1)力的滑移定理.作用在剛體上的力是滑移矢量.作用在剛體上的力可以沿力的作用線滑移而不改變力的作用效果.或者說，作用在剛體上的力的三要素為力的大小、方向和作用線.

(2)力的平移定理.作用在剛體上的力可以平移到另一點(diǎn)，同時(shí)附加一力偶矩的作用.

如圖1所示，一力F作用在剛體上的A點(diǎn)，在B點(diǎn)加一零力系(F′,F″),滿足F′=F″，于是力F的作用就等價(jià)于F′再加上力偶矩(F,F″)的作用.附加力偶矩的大小M=Fd(d為力平移的距離)，方向垂直向里.

圖1 闡述力的平移性質(zhì)示意圖

3 作用在剛體上的力所做的功

剛體的運(yùn)動(dòng)可分為平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，以及它們的復(fù)合運(yùn)動(dòng).我們將分這3種情況討論功的計(jì)算.

3.1 剛體平動(dòng)時(shí)功的計(jì)算

【例1】如圖2所示，一卡車載有質(zhì)量為m的木箱，在平直的公路上行使，因緊急情況突然剎車.剎車后卡車向前滑行了L的距離后靜止，木箱在卡車上相對(duì)于卡車滑行了l的距離后靜止在卡車上.設(shè)木箱與卡車間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，試計(jì)算木箱與卡車之間的摩擦力對(duì)卡車所做的功.

此題中木箱對(duì)卡車的摩擦力作用點(diǎn)在不斷地變更，在計(jì)算功時(shí)，位移到底是L，還是L+l？不好確定.但如果采用剛體模型，將卡車視為剛體，利用力的滑移性質(zhì)，將木箱對(duì)卡車的摩擦力滑移到卡車的質(zhì)心，由于卡車質(zhì)心所發(fā)生的位移為L(zhǎng)，于是木箱對(duì)卡車的摩擦力所做的功為A=μmgL，問題變得十分清晰.

圖2 行駛中的卡車，當(dāng)木箱在卡車上滑動(dòng)時(shí)， 計(jì)算木箱對(duì)卡車的摩擦力做功示意圖

【例2】如圖3所示，手持一支鋼筆，鋼筆在重力作用下順勢(shì)下滑h高度，設(shè)手與鋼筆之間的滑動(dòng)摩擦力為f，研究手對(duì)鋼筆的摩擦力所做的功.

圖3 鋼筆在手中滑落時(shí)，計(jì)算手對(duì)鋼筆的摩擦力做功示意圖

如果按照質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中功的定義，手對(duì)鋼筆的摩擦力，其作用點(diǎn)在不斷地變更，但當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力時(shí)沒有位移，質(zhì)點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)沒有受力，從而得出手對(duì)鋼筆的摩擦力不做功的錯(cuò)誤結(jié)果.但若采用剛體模型，根據(jù)力的滑移定理，將鋼筆所受摩擦力滑移到鋼筆的質(zhì)心，而質(zhì)心所發(fā)生的位移為h，故得功A=-fh，十分清楚地給出正確結(jié)果.

3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)功的計(jì)算

先簡(jiǎn)單回顧一下力矩做功的概念.如圖4所示，圓盤半徑為r，在水平力F的作用下繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng).若力F始終作用在圓盤邊沿的某一固定位置，并且沿圓盤大圓的切線方向，按照質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中功的概念，力F所做的功為

即力F的功等于其對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩的功.如果按照剛體力學(xué)的觀念，根據(jù)平移定理，將力F平移到圓盤中心O，同時(shí)附加一力偶矩M=Fr的作用.由于圓盤中心不發(fā)生位移，平移到圓盤中心的力對(duì)圓盤不做功.而附加力偶矩所做的功等于

這就是力矩做功的來歷.

圖4 闡述力矩做功示意圖

【例3】如圖5所示，砂輪半徑為r，以ω的角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)邊沿處被打磨的物體與砂輪間的滑動(dòng)摩擦力為f，求當(dāng)砂輪轉(zhuǎn)過角度Θ時(shí)，摩擦力對(duì)砂輪所做的功(設(shè)被打磨的物體相對(duì)于地面靜止).

圖5 打磨物體時(shí)，計(jì)算摩擦力對(duì)砂輪做功示意圖

此題中，物體對(duì)砂輪的摩擦力的作用點(diǎn)在不斷地更換，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受力時(shí)沒有位移，發(fā)生位移時(shí)不受力，按照質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中功的概念，同樣得出摩擦力對(duì)砂輪不做功的錯(cuò)誤結(jié)果.如果采用剛體力學(xué)的觀點(diǎn)，根據(jù)力的平移定理，將摩擦力平移到砂輪質(zhì)心處，再加上力偶矩M=fr的作用.由于砂輪質(zhì)心不發(fā)生位移，作用在砂輪質(zhì)心處的力不做功.附加力偶矩做功為

此時(shí)也就是摩擦力對(duì)砂輪所做的功.若f為恒力，則

A=-frΘ

3.3 剛體做一般運(yùn)動(dòng)時(shí)功的計(jì)算

當(dāng)剛體做平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)時(shí)，要計(jì)算作用在剛體上的某個(gè)力F所做的功，我們同樣可以利用力的滑移定理與平移定理，將力移到剛體的質(zhì)心.此時(shí)平移到剛體上的力可能會(huì)做功，于是，力F所做的功等于移到剛體質(zhì)心處的力所做的功與附加力偶矩所做的功之和.

【例4】一汽車在筆直的公路上行駛，假定車輪相對(duì)地面不打滑，研究地面對(duì)車輪的靜摩擦力所做的功.

若采用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的觀點(diǎn)，車輪所受的靜摩擦力作用點(diǎn)在不斷地變更，但質(zhì)點(diǎn)受力時(shí)不發(fā)生位移，故地面對(duì)車輪的靜摩擦力不做功.若采用剛體模型，我們可以將地面對(duì)車輪的靜摩擦力f平移到車輪的質(zhì)心，同時(shí)附加一力偶矩M=fR(R為車輪的半徑).設(shè)汽車前進(jìn)的距離為s，則平移到車輪質(zhì)心處的力所做的功

A1=fs

而附加力偶矩所做的功

A2=-Mθ=-fs

故總功

A=A1+A2=0

兩種理解結(jié)果一致.

【例5】如圖6所示，半徑為R的圓柱體在重力作用下沿斜面連滾帶滑地從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，設(shè)斜面的長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜面對(duì)圓柱體的滑動(dòng)摩擦力為f，試研究下滑過程中滑動(dòng)摩擦力對(duì)圓柱體所做的功.

圖6 圓柱體在斜面上有滑動(dòng)地滾下， 計(jì)算摩擦力對(duì)圓柱體做功示意圖

此題中，圓柱體所受的摩擦力的作用點(diǎn)同樣在不斷地更換，按質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中功的概念很難求得正確結(jié)果.若采用剛體模型，問題將變得十分清楚.將摩擦力f平移到圓柱體的中心，同時(shí)附加力偶矩M=fR的作用.平移到圓柱體中心的力f在運(yùn)動(dòng)過程中所做的功顯然等于-fL.然而，附加力偶矩在運(yùn)動(dòng)過程中也要做功.設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中圓柱體轉(zhuǎn)過的角度為θ(由于有滑動(dòng)，應(yīng)有θR

A=-fL+fRθ<0

4 總結(jié)

總之，質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中所定義的功的概念原則上只適用于受力對(duì)象為質(zhì)點(diǎn)的情況，不能隨意地推廣應(yīng)用到受力對(duì)象為非質(zhì)點(diǎn)的情況，否則就會(huì)產(chǎn)生困惑甚至錯(cuò)誤.例如，若采用“力的作用點(diǎn)的位移”或“受力質(zhì)點(diǎn)的位移”，就很難正確地理解例題1～3和例題5中功的計(jì)算；若采用“物體的位移”，就很難計(jì)算例題3～5涉及的功.但如果采用本文所述的剛體模型的概念，問題就會(huì)變得十分清楚和容易解決.