利用Tracker軟件研究扭擺的振動

王 林 肖桂娜 耿鈺超

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

研究扭擺振動是大學物理實驗的重要內容，扭擺實驗是利用光電門傳感器測量扭擺振動周期，此方法難以描繪扭擺的振動圖像，而扭擺的振動圖像是研究扭擺振動的重要步驟，通過振動圖像能分析出扭擺在較長時間內的阻尼振動情況.

本文利用Tracker軟件自動追蹤功能，獲得相應的數據與振動圖像，利用數據分析功能，研究在短時間內扭擺的簡諧振動，分析不同擺角對振動周期的影響，通過對長時間內扭擺振動進行圖像擬合，研究扭擺阻尼振動規律，并且計算出阻尼系數.

1 實驗原理

由于扭擺在振動的過程中受摩擦力矩與空氣力矩的共同影響，扭擺在較長時間內的振動屬于一種阻尼振動，這種力矩稱為阻力矩.在振動角速度較小的情況下，可認為阻力矩的大小正比于扭擺的角速度大小，則阻力矩為

(1)

式中c為扭擺的阻力系數，扭擺在回復力矩與阻力矩的作用下，可得到

(2)

其中I為扭擺沒有放置物體時的轉動慣量，k為扭擺的扭轉系數.在式(2)中將I除遍各項，得

(3)

令

(4)

式中ω0是扭擺振動系統的固有圓頻率，β是振動的阻尼因數，將式(4)代入式(3)，可得

(5)

我們通過簡單的實驗可知，扭擺振動運動狀態是欠阻尼狀態，則式(5)的運動學方程為

(6)

其中A為扭擺振動的振幅，φ為振動的初相位，它們都是初始條件.通過式(6)可以看出扭擺運動的振幅Ae-β t是隨時間的推移成指數的形式衰減的，最終衰減為零，整個振動則以ω1為圓頻率做周期性變化.

由于扭擺的衰減較小，在短時間內扭擺的轉動可以看成一個簡諧振動，其回復力矩

Mc=-kθ

(7)

根據剛體的轉動定理得

(8)

(9)

其中ω為扭擺振動的圓頻率[1].

2 實驗操作與數據采集

2.1 Tracker軟件說明

Tracker軟件屬于一款視頻跟蹤操作分析軟件，同時它還是面向物理教育的免費開源軟件, Tracker軟件解決了過去物體教學過程中只能觀察物體運動過程而不能描繪出物體具體運動軌跡的問題，同時它還能對記錄下的物體運動過程進行定量分析.通過視頻拍攝技術將物體的運動過程記錄下來，將其導入進Tracker軟件中，利用Tracker軟件中的定標、建立坐標系、自動追蹤等功能，根據物體運動軌跡按原比例描繪圖像，同時軟件還可以記錄每一個坐標點的速度、加速度、角速度、擺角等數據，利用Tracker軟件中的數據擬合功能，觀察實驗曲線與我們的理論擬合曲線是否重合，從而來判斷實驗的準確性.同時在此過程中可以將物體的運動圖像與數據提取出來進行分析.

2.2 實驗操作

(1)將扭擺置于水平面上，并且調平.為了便于軟件追蹤，在扭擺的金屬托盤擺動位置貼一個異于背景顏色的彩色紙片.實驗裝置如圖1所示.

(2)本實驗利用的是視頻畫質為4K,60 fps的數碼相機或手機相機，筆者采用的是數碼相機.將實驗器材按圖1擺放.這里最好能將相機放置在扭擺的正上方，這樣能清晰地拍攝視頻.將扭擺轉至離平衡位置90°左右，松手并開始記錄.

(3)將記錄的視頻導入Tracker軟件中，建立坐標軸，將坐標原點放在托盤中心，豎軸與扭擺平衡位置重合.然后根據事先放好的實物長度定標，并隱藏坐標線與定標尺.

圖1 研究扭擺振動實驗裝置圖

(4)點擊創建窗口，建立質點，然后按住Shift+Ctrl鍵選擇標記帶顏色的質點，拖動方框選擇匹配區域，點擊自動搜索，軟件將會自動搜索出標記位置在不同時間內的坐標，根據需要將縱橫坐標調整為擺角與時間的關系，如圖2所示.同時可以得到在不同時間內擺角、角速度、角加速度大小等數據.

(5)數據點采集完成后，雙擊圖進入圖像數據處理界面，將圖像調至合適大小，如圖3所示.

(6)通過圖3可看出扭擺的振幅在逐漸衰減，根據式(6)可知扭擺的振幅將隨時間呈指數衰減，選擇Tracker軟件中的數據擬合的自定義公式，擬合包絡線方程，在自定義公式的界面中編輯公式：θ=A*exp(-β*t)，手動調節變量，使包絡線與實驗圖像的各個波峰相交，最終包絡線的方程為:θ=1.6*exp(-0.026*t)，包絡線圖像如圖4所示.

圖2 質點追蹤軌跡界面圖

圖3 實驗散點連線圖

圖4 阻尼振動包絡線圖

(7)因為扭擺的振動是一個欠阻尼狀態，阻尼因數應該小于1，由包絡線方程可知，扭擺的阻尼因數為0.026 s-1，符合理論.根據式(6)可以編輯阻尼振動公式:θ=A*exp(-β*t)*cos(ωt+φ)，手動調節參數使擬合圖像與實驗圖像吻合，如圖5所示.

圖5 振動擬合圖像

圖5中的方點為扭擺振動在不同時刻的位置數據點，實線曲線為扭擺振動的擬合圖像，擬合函數為

θ=1.6e0.026tcos(9.054t-2.53)

(10)

根據式(6)可知扭擺的振動圓頻率理論值

(11)

而實驗測量結果振動圓頻率為9.054 rad/s，相對誤差為0.871%，說明實驗結果有效.

(8)雙擊坐標軸，用質點振幅與角速度建立阻尼振動的相圖，如圖6所示，通過圖6可知，扭擺振動的相軌跡是橢圓，表示扭擺的振動隨著時間的推移，旋轉的振幅與最大角速度都在衰減，最終停止[2].

圖6 阻尼振動相圖

3 利用Tracker軟件探究不同擺角對周期的影響

在扭擺振動實驗中，一般要求在擺角為90°左右釋放，扭擺擺角的大小對扭擺振動是否有影響？現在運用Tracker軟件與光電門傳感器兩種方法探究不同的擺角對振動周期的影響，以光電門傳感器測量的數據為標準，探究Tracker軟件測量周期是否準確，同時觀察擺角的不同是否會對周期產生影響.根據式(9)可知扭擺在短時間內的振動可以看成簡諧振動.

按照上述實驗操作，用視頻記錄擺角從20°～110°扭擺的振動過程，將記錄的不同擺角的視頻分別導入Tracker軟件中.以30°擺角為示例，選擇視頻區域為兩個周期左右，打開數據圖像功能，點擊數據擬合，編輯公式

θ=Acos(ωt+φ)

手動調整參數，使擬合函數與實驗圖像吻合，如圖7所示.

圖7 30°擺角的振動擬合圖

由圖可得擬合函數

θ=0.58cos(9.08t+0.2)

得到振動周期

采用同樣的操作，利用Tracker軟件測量擺角在20°～110°范圍內其他角度的周期.

同時利用光電傳感器也測量出擺角20°～110°范圍的扭擺振動周期，統計用Tracker軟件與光電門傳感器測量的不同擺角的周期，如表1所示

表1中T0代表光電門傳感器所測量的扭擺振動周期，T1代表Tracker軟件所測量的扭擺振動周期，E表示相對誤差.通過表格數據分析，光電門傳感器所測量的振動周期方差小于1，可以得到振動的離散程度小，說明扭擺振動的擺角的大小對周期的影響可以忽略.以光電門傳感器所測量的周期為理論值，Tracker軟件測量的不同擺角的周期數據相對誤差都小于1%，說明利用Tracker軟件測量的扭擺振動周期精確度高.同時觀測兩種方法所測量不同擺角的振動周期大小變化太小，由此可以得出扭擺的擺角大小對周期的影響可以忽略.因此在實驗過程中沒有必要強調擺角是90°，只要擺角在擺動限度內，實驗結果不會受到影響[3].

表1 Tracker軟件與光電傳感器記錄不同擺角振動周期列表

4 結論

本文通過Tracker軟件追蹤功能研究分析扭擺的振動，根據軟件中的數據分析功能得到擬合方程、包絡線方程、相位圖等.Tracker軟件幫助實驗者將不可描繪出來的運動軌跡可視化，使實驗者更加清晰地了解扭擺的振動過程.同時實驗者還可以通過手機記錄運動過程，使實驗更加地便捷與高效.通過Tracker軟件研究扭擺振動的方法，操作簡單、便捷、高效、實驗結果精確度高，值得采用.