對第33屆全國中學生物理競賽復賽第6題的解答的質疑

李 惠 范雪嬌

(株洲市第二中學 湖南 株洲 412007)

【原題】(節選)光電倍增管是用來將光信號轉化為電信號并加以放大的裝置，其結構如圖1所示.它主要由一個光陰極、n個倍增極和一個陽極構成；光陰極與第1倍增極、各相鄰倍增極及第n倍增極與陽極之間均有電勢差V；從光陰極逸出的電子稱為光電子，其中大部分(百分比η)被收集到第1倍增極上，余下的被直接收集到陽極上；每個被收集到第i倍增極(i=1，…，n)的電子在該電極上又使得δ個電子(δ>1)逸出；第i倍增極上逸出的電子有大部分(百分比σ)被第i+1倍增極收集，其他被陽極收集；直至所有電子被陽極收集，實現信號放大.已知電子電荷量絕對值為e.求:光電倍增管放大一個光電子的平均耗能，已知δσ>1，n>1.

圖1 光電倍增管結構圖

原題一共有2小問，筆者只節選了參考解答有誤的第1小問，附上其解答結果.

光電倍增管放大一個光電子的平均耗能為

式中np是從光陰極逸出的電子個數，E是消耗的總電能.

1 對結果的質疑及驗證

我們把n=0代入原解答得

(1)

顯然不正確.

進一步驗證n=1的情形.當n=1時，其物理意義是光電倍增管中有np個光電子從光陰極逸出，有ηnp個光電子被收集到第1倍增極上，(1-η)np個光電子被直接收集到陽極上，最后有δηnp個光電子從第1倍增極上逸出，被收集到陽極上.我們分成兩步來計算光電倍增管放大以上這些光電子所消耗的電能.第一步，先計算從光陰極直接被陽極收集的光電子所消耗的電能.從光陰極到陽極的電勢差為

Vpa=(n+1)V=2V

(2)

一共有(1-η)np個光電子從光陰極到陽極，一共消耗的電能為E1，有

E1=2(1-η)npeV

(3)

第二步，計算從光陰極逸出被第1倍增極收集再從第1倍增極被陽極收集的光電子消耗的電能E2，顯然

E2=(η+ηδ)npeV

(4)

最后，把兩部分消耗的電能加起來，求得

E=E1+E2

(5)

(6)

那么，把n=1代入原參考解答，會是這個結果嗎？

(7)

顯然，代入之后的結果式(7)與真實物理意義對應下的結果式(6)不符.

結論：原解答有誤.

2 筆者所做的詳細解答及驗證

為了能讓讀者清晰地看到加速各部分光電子所消耗的電能，筆者先進行簡單的羅列如下：

放大從光陰極到第1倍增極，和光陰極到陽極的光電子消耗的電能為E0，有

E0=[η+(1-η)(n+1)]npeV

(8)

放大從第1倍增極到第2倍增極，和第1倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E1，有

E1=[ηδσ+ηδ(1-σ)n]npeV

(9)

放大從第2倍增極到第3倍增極，和第2倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E2，有

E2=[ηδ2σ2+ηδ2σ(1-σ)(n-1)]npeV

(10)

放大從第3倍增極到第4倍增極，和第3倍增極到陽極的光電子消耗的電能為E3，有

E3=[ηδ3σ3+ηδ3σ2(1-σ)(n-2)]npeV

(11)

放大從第(n-1)倍增極到第n倍增極，和第(n-1)倍增極到陽極的光電子消耗的電能為En-1，有

En-1=[ηδn-1σn-1+2ηδn-1σn-2(1-σ)]npeV

(12)

放大從第n倍增極到陽極的光電子消耗的電能為En，有

En=(ηδnσn-1)npeV

(13)

接下來，把式(8)～(13)相加得

E=E0+E1+E2+…+En-1+En

(14)

在式(14)等號右邊含有兩個等比數列，其一是ηnpeV，ηδσnpeV，ηδ2σ2npeV，…，ηδn-1σn-1npeV，我們用級數S1來表示上述等比數列的和；其二是ηδ·(1-σ)nnpeV，ηδ2σ(1-σ)(n-1)npeV，ηδ3σ2(1-σ)·(n-2)npeV，…, 2ηδn-1σn-2(1-σ)npeV，我們用級數S2來表示上述等比數列的和；還剩下兩項(1-η)·(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV作為第3部分.現在我們來求以上3部分的和.

顯然

(15)

S2=ηδ(1-σ)npeV[n+δσ(n-1)+δ2σ2n-2+…+δn-2σn-2·2)]

(16)

構建級數S3=δσS2來錯位求和

S3=ηδ(1-σ)npeV[δσn++δ2σ2(n-1)+…+δn-2σn-2·3+δn-1σn-1·2)]

(17)

式(16)、(17)相減得

(18)

把以上3部分相加得

E=E1+E1+E2+…+En-1+En=

S1+S2+(1-η)(n+1)npeV+ηδnσn-1npeV=

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}npeV

(19)

于是光電倍增管放大一個光電子的平均能耗為

(1-η)(n+1)+ηδnσn-1}eV

(20)

我們將n=1代入式(20)中，進行驗證

(1-η)(1+1)+ηδ1σ0}eV=

(21)

與式(6)比較，完全吻合.

我們再把文首的n=0的情況代入式(20)中得

(1-η)+ησ-1}eV=

結果與實際的物理意義完全吻合.

綜上所述，式(20)才是本題的正確解答，原解答確實有誤.