考慮關節摩擦的3-PRS并聯機構動力學建模研究

陳國強 周紅鵬 黃俊杰 代 軍 白秉欣 劉夢超

(河南理工大學機械與動力工程學院， 焦作 454000)

0 引言

并聯機構具有結構緊湊穩定、承載能力強、精度高、功能強等優點[1-2]。目前，關于并聯機構的研究大多集中在結構、控制策略以及運動學和動力學的模塊化等方面[3-7]。并聯機構包括閉環結構的約束，并且并聯機構因考慮關節之間的摩擦而增加了非線性和耦合性[8]，因此，并聯機構動力學分析是難點。對機構進行動力學分析需要建立計算簡單的動力學模型。常用的動力學模型包括拉格朗日法[9-10]、牛頓-歐拉法[11-12]、虛功原理法[13-14]和凱恩法[15-16]。拉格朗日法表現形式簡單，但計算量較大，適用于不考慮摩擦力的動力學分析。虛功原理法和拉格朗日法同樣具有整齊的表達形式，但在機構較多時計算量較大。凱恩法計算方法簡捷，但對力與力矩的分析相對匱乏。由于關節之間存在各種力，因此采用牛頓-歐拉法分析較為復雜，但牛頓-歐拉法在構建動力學模型時容易表示內部的約束力和反約束力，適合用于分析機構關節摩擦問題[17]。

并聯機構末端運動精度是衡量其性能的指標之一。并聯機構中部件之間的關節對末端運動軌跡有很大影響。關節之間存在著諸多不確定因素，如重力、慣性力以及摩擦力等。機構關節之間通常采用靜摩擦模型、庫侖摩擦模型、粘性摩擦模型以及相互組合的一些摩擦模型等[18-23]。段書用等[24]對串聯機構建立了牛頓-歐拉法動力學模型，分析了關節間不同摩擦模型對末端運動軌跡造成的影響，并研究了各關節之間的相互影響。付建寧等[25]研究了庫侖摩擦與粘性摩擦對末端運動軌跡的影響，提出一種表示關節間摩擦力的非線性摩擦補償方法。REYNOSO-MORA等[26]同時考慮庫倫摩擦與粘性摩擦對軌跡和前饋控制產生的影響，并提出采用凸松弛的方法解決機械臂的非凸問題。

本文采用牛頓-歐拉法對3-PRS并聯機構進行動力學分析。規劃3-PRS并聯機構末端運動軌跡，采用矢量法對機構進行運動學分析，分析關節間3種不同的摩擦模型，在考慮關節摩擦力的情況下，采用牛頓-歐拉法對3-PRS并聯機構的每個構件及整體進行動力學建模分析。利用逆動力學分析負載對摩擦力的影響，利用正動力學分析不同摩擦模型對末端運動軌跡的影響。

1 3-PRS并聯機構矢量運動學分析

1.1 機構分析

3-PRS并聯機構的三維模型和結構示意圖如圖1、2所示，分別包括3個立柱、3個滑塊、3根連桿、1個動平臺以及1個定平臺。滑動導軌以120°均勻分布在固定平臺上，球面副以120°均勻分布在并聯機構的動平臺上。該并聯機構由3個分支鏈組成，每個分支鏈由運動副(P)、旋轉副(R)和球面副(S)組成，稱為3-PRS并聯機構。

圖2中，Ni(i=1,2,3)表示動平臺的3個頂點，Mi(i=1,2,3)表示定平臺的3個頂點，QiMi(i=1,2,3)表示3根立柱導軌、QiNi(i=1,2,3)表示3根連桿，AiBi(i=1,2,3)表示均分布在固定平臺上的3個水平導軌。在定平臺上設置定坐標系O1x1y1z1，其外接圓半徑為R，在動平臺上設置移動坐標系O2x2y2z2，其外接圓半徑為r。連桿長度設置為Li，滑塊到固定平臺的距離設置為Hi(i=1,2,3)，QiMi和QiNi之間的夾角設置為θi(i=1,2,3)。設動坐標系繞著定坐標系在x軸上的旋轉角為α，同理繞著定坐標系在y和z軸上旋轉角分別表示為β和γ。經過分析3-PRS并聯機構有3個自由度，分別是動平臺沿z軸方向上的移動自由度，以及分別繞x和y軸方向的轉動自由度。

1.2 運動學規劃

對建立的3-PRS并聯機構進行運動軌跡的規劃，即設置該機構的末端理想驅動軌跡。由于該機構只有3個方向的自由度，其中包括動坐標系繞著定坐標系在x軸方向上的旋轉角α，y軸方向上的旋轉角β以及z軸方向上的平移，設置3個方向規則運動軌跡表達式為

(1)

基于式(1)設定的運動軌跡反求出3個滑塊的驅動力，以驅動力驅動機構得到理想軌跡如圖3所示。

1.3 位置反解

(2)

在機構運動過程中動坐標系相對于定坐標系原點的位置參數設為O2(xt,yt,zt)，姿態參數為(α,β,γ)。該機構共有3個自由度，因此位置參數xt和yt等于0，姿態參數γ等于0°。動平臺到定平臺的坐標旋轉矩陣可以表示為

(3)

式中s表示正弦函數，c表示余弦函數。

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

連桿長度Li(i=1,2,3)可以表示為

(8)

整理可以得到滑塊的輸入位移Hi(i=1,2,3)為

(9)

由式(5)、(9)可得機構反解聯立求出的滑塊高度Hi(i=1,2,3)，根據1.2節中設置的機構末端運動軌跡可以得到相應的運動行程。

1.4 速度分析

(10)

其中

(11)

動平臺上各端點速度可以表示為

(12)

式中vHi——滑塊速度O——零矩陣

eHi——滑塊輸入速度方向單位矢量

ωLi——連桿角速度

δLi——連桿長度單位矢量

vHi=JvV

(13)

其中

(14)

式(12)兩端同時叉乘δLi得到連桿角速度為

(15)

(16)

連桿質心的速度可以表示為

(17)

(18)

1.5 加速度分析

通過式(10)可得動平臺加速度為

(19)

根據式(12)可得動平臺上各端點處的加速度為

aHieHi+εLiδLiL+ωLi(ωLiδLi)L

(20)

aHi=HiA+VTJiV

(21)

其中

(22)

(23)

在式(20)兩端叉乘δLi，可得連桿角加速度為

(24)

(25)

(26)

對式(17)求導，連桿質心加速度可以表示為

(27)

其中

(28)

(29)

2 摩擦模型

2.1 庫侖摩擦模型

庫侖摩擦力方向與物體運動方向相反，其模型表達式為

f(v)=fcsgn(v)

(30)

其中

fc=μ|fn|

(31)

式中v——兩物體之間的相對運動速度

sgn(·)——符號函數(隨速度改變方向)

fc——庫侖摩擦力μ——庫侖摩擦因數

fn——兩物體之間的法向力

庫倫摩擦模型如圖5所示。

2.2 庫倫-粘性摩擦模型

粘性摩擦力大小與速度成正比，方向與物體運動的方向相反，粘性摩擦模型表示為

f(v)=fvv

(32)

式中fv——粘性摩擦因數

為了更好地體現物體之間的摩擦力模型，常常將不同的摩擦力相互聯合表達，從而組成了庫倫-粘性摩擦模型，該模型可表示為

f(v)=fcsgn(v)+fvv

(33)

庫倫-粘性摩擦模型如圖6所示。

2.3 庫倫-粘性-靜摩擦模型

靜摩擦模型可以表示為

(34)

式中fe——物體所受的外界力

fs——物體所受的最大靜摩擦力

由于速度等于零時沒有相對滑移，因此靜摩擦力與速度沒有關系。為了描述物體整個過程所受的摩擦力，將靜摩擦力與庫倫-粘性摩擦模型相結合形成了庫倫-粘性-靜摩擦力模型，該模型可以表示為

(35)

庫倫-粘性-靜摩擦模型如圖7所示。

3 動力學建模

運用牛頓-歐拉法對3-PRS并聯機構建立動力學模型。牛頓方程表示對部件建立力的平衡，歐拉方程表示對部件建立轉矩的平衡，分別對3-PRS并聯機構的各個部件建立牛頓-歐拉動力學方程。通過消除部件之間的內力，對整體建立牛頓-歐拉動力學模型，根據整體動力學模型得到整個并聯機構的驅動力以及機構運動與外力之間的關系。

3.1 動平臺動力學模型

3-PRS并聯機構的動平臺受力如圖8所示，其中分別包括動平臺重力mDg，3根連桿的約束力FNi(i=1,2,3)以及球面副所受的摩擦力矩MNi，另外設動平臺所受外部的力為Fw和外力矩為Mw。

由圖8可得動平臺動力學方程為

(36)

O1IO2εO2+ωO2(O1IO2ωO2)

(37)

式中O1IO2——動平臺相對于定坐標系的轉動慣量矩陣

IO2——動平臺相對于動坐標系的轉動慣量矩陣

3.2 連桿動力學模型

3-PRS并聯機構的連桿受力如圖9所示，分別包括連桿重力mLig,動平臺約束反力-FNi和摩擦力矩-MNi，以及轉動副關節約束力FQi和摩擦力矩MQi。

由圖9可得連桿動力學方程為

-FNi+mLig+FQi=mLiaLi

(38)

(39)

式中O1ILi——連桿相對于定坐標系的慣量矩陣

ILi——連桿相對于支鏈坐標系的慣量矩陣

O1RLi——支鏈到定坐標系的旋轉矩陣

3.3 滑塊動力學模型

3-PRS并聯機構滑塊受力分析如圖10所示，其中受到自身重力mHg、連桿轉動副關節約束反力-FQi和摩擦力矩-MQi、立柱對滑塊的作用力FHi以及滑塊受到的摩擦力Ffi。

由圖10可得滑塊動力學方程為

FHi-FQi+mHg+Ffi=mHaHi

(40)

3.4 3-PRS并聯機構動力學模型

(41)

根據式(41)可得作用在滑塊上的驅動力表達式為

(42)

將連桿的牛頓方程(38)代入式(42)可得

(43)

對連桿的歐拉方程(39)進行推導可得

LδLiFNi=Ci

(44)

其中

(45)

式(44)兩邊同時叉乘eHi可以表示為

LeHi×δi×FNi=eHi×Ci

(46)

式(46)進行變換可以表示為

(47)

式(43)進行形式的變化可以表示為

(48)

聯立式(47)、(48)可以表示為

(49)

聯立與推導上述公式可得動力學方程為

(50)

式中M(q)——慣量矩陣q——機構位姿

Ff(q)——并聯機構中3種不同關節的摩擦力

F——并聯機構所受外力(負載等)

τ——并聯機構中滑塊上的驅動力

3.5 動力學方程中的摩擦力

3-PRS并聯機構在運動過程中關節處產生摩擦，設移動副關節、轉動副關節和球面副關節所受的摩擦模型分別為ff(v)、fN(v)和fQ(v)。滑塊受到的摩擦力Ffi為摩擦模型ff(v)。設球面副與轉動副中的摩擦力矩分別為MNi和MQi，表達式為

MNi=rNfN(v)

(51)

MQi=rQfQ(v)

(52)

式中rN——球面副半徑

rQ——轉動副半徑

聯立式(38)、(39)計算可得FNi與FQi，將計算結果代入摩擦模型fN(v)和fQ(v)，最終得到的結果即為機構動力學方程中的Ff(q)。

4 實驗

設3-PRS并聯機構的各個部件為質地均勻的剛體，各部分參數如表1所示，將表中的各部分參數作為已知條件，采用基于ADAMS的GSTIFF數值方法進行計算。

表1 3-PRS并聯機構結構參數

4.1 逆動力學實例

4.1.1不同載荷對摩擦力、摩擦力矩的影響

(1)移動副摩擦力

在立柱與滑塊之間為移動副關節，因此兩實體之間產生摩擦力。在動平臺中心施加負載30、40、50、60 kg，圖11為在驅動力作用下移動副與立柱之間所受庫倫摩擦力的變化曲線。

移動副在z軸方向上移動，因此只在一個方向上產生摩擦力。在動平臺上分別施加不同的力，動平臺與連桿之間的作用力增加，連桿對移動副的作用力增加，因此移動副與立柱之間在x軸與y軸方向上的正壓力增大。當摩擦因數不變，正壓力增加，摩擦力逐漸增大，但是摩擦力變化的趨勢不變。理論分析與圖11中的變化相符，因此移動副摩擦添加正確。

(2)轉動副摩擦力矩

由于滑塊與連桿為轉動副約束，因此兩實體之間產生摩擦力矩。在動平臺中心施加負載30、40、50、60 kg，圖12為連桿與滑塊之間所受庫倫摩擦力矩的變化曲線。

轉動副繞著z軸轉動，因此只在一個方向上產生摩擦力矩。在動平臺中間施加向下的作用力，動平臺與連桿之間的作用力增大，因此連桿與滑塊之間的作用力增大。當摩擦因數和摩擦半徑不變，正壓力變大，摩擦力矩逐漸增大。實體之間作用力的方向沒有改變，摩擦力的變化趨勢沒有改變。轉動副的摩擦力矩理論分析與圖12中的變化相符，此處摩擦添加正確。

(3)球面副摩擦力矩

連桿與動平臺之間為球面副的約束，兩實體之間產生摩擦力矩。在動平臺中心施加負載30、40、50、60 kg，圖13為連桿與動平臺之間所受庫倫摩擦力矩的變化曲線。

連桿與動平臺之間的關節為球面副，球面副有3個方向上的轉動自由度，因此在x、y、z軸方向上都有對應的摩擦力矩。在機構動平臺中心垂直向下的力作用下，動平臺與連桿之間的作用力增大，導致正壓力變大，而摩擦因數和摩擦半徑不變，因此3個方向上的庫倫摩擦力矩都增大。由于實體之間的作用力方向沒有改變，因此摩擦力矩的變化趨勢沒有改變，只是大小發生了變化。3個方向上的摩擦力矩變化符合理論的分析，因此球面副的摩擦模型添加正確。

從圖11～13可知，關節間的摩擦力隨著負載的增加也在不斷地變大，表明摩擦力對驅動力的施加以及機構的運動軌跡都有很大的影響。

4.1.2關節摩擦對驅動力的影響

在機構動平臺中心負載60 kg的情況下，利用牛頓-歐拉法得到的動力學方程計算3個滑塊的驅動力τ1、τ2、τ3。首先計算3-PRS并聯機構移動副、轉動副和球面副3個關節在沒有關節摩擦下驅動力，再計算將所有的關節都施加庫侖-粘性-靜摩擦模型時驅動力。滑塊驅動力及其誤差如圖14所示。

由圖14a、14c、14e可得，在加摩擦力與未加摩擦力兩種情況下驅動力變化較大，說明關節摩擦力對驅動力具有較大的影響。在圖14b、14d、14f中，加摩擦力與未加摩擦力2種情況下相對比3個滑塊驅動力的最大誤差分別為1.40%、1.51%、1.49%。

4.2 正動力學實例

將逆動力學得到的力作為驅動，通過以下方式添加摩擦力：一類是關節采用庫侖-粘性摩擦模型，另一類是關節采用庫倫-粘性-靜摩擦模型。各關節摩擦模型的具體施加方式分別為：模型1：所有的關節都為庫侖-粘性-靜摩擦模型。模型2：所有的關節都為庫倫-粘性摩擦模型。模型3：只有移動副的關節為庫侖-粘性摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。模型4：只有轉動副的關節為庫侖-粘性摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。模型5：只有球面副的關節為庫侖-粘性摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。

由圖15可知靜摩擦力的添加對末端的運動軌跡有明顯的影響。對于末端運動軌跡在x和y方向上的旋轉角α和β差異很小，對于z軸方向的位移有著較明顯的變化。當關節全部為庫倫-粘性摩擦模型時對于末端的運動軌跡沒有明顯的變化，只有相對位置發生了一些變化。只在移動副關節處施加庫倫-粘性摩擦模型與施加庫倫-粘性-靜摩擦模型相比，末端運動軌跡有較大的差異。只在轉動副處施加庫倫-粘性摩擦模型與施加庫倫-粘性-靜摩擦模型相比，運動軌跡只有較小的變化。只在球面副處施加庫倫-粘性摩擦模型相比基本沒有變化。由此可見移動副關節對摩擦力較為敏感，轉動副關節次之，球面副最小。

以逆動力學得到的力作為驅動力，改變在關節上添加摩擦模型的方式為：一類是關節采用庫侖摩擦模型，另一類是關節采用庫倫-粘性-靜摩擦模型。各關節摩擦模型的具體施加方式分別為：模型1：所有的關節都為庫侖-粘性-靜摩擦模型。模型2：所有的關節都為庫倫摩擦模型。模型3：只有移動副的關節為庫侖摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。模型4：只有轉動副的關節為庫侖摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。模型5：只有球面副的關節為庫侖摩擦模型，其余為庫倫-粘性-靜摩擦模型。

從圖16可以看出，在旋轉以及移動的3個方向上都有明顯的末端運動軌跡變化。關節全部為庫侖摩擦模型時，關節的運動軌跡發生了較大的變化。當只有移動副的關節為庫侖摩擦模型時，機構末端的運動軌跡產生了極大的變化，移動副對粘性摩擦的敏感程度極高。當轉動副關節只有庫侖摩擦模型時機構末端運動軌跡變化相對較小，球面副關節處的末端變化次之。由此可見各個關節對粘性摩擦都有一定程度的敏感，從高到低依次為：移動副、轉動副和球面副。

5 結論

(1)在規定末端運動軌跡的情況下，末端負載越大，關節間的摩擦越大，在施加摩擦力、不施加摩擦力兩種狀態下求解驅動力，結果表明，摩擦力對驅動力有較大的影響。

(2)在關節間施加不同摩擦模型的情況下，靜摩擦力對機構末端運動軌跡的影響較小，粘性摩擦對末端運動軌跡的影響較大。

(3)分析了3-PRS并聯機構各關節施加不同摩擦模型對末端運動軌跡的影響，結果表明，各關節對粘性摩擦的敏感程度從高到低依次為：移動副、轉動副、球面副。