基于廣義帕累托分布模型的短期風速資料抗風設計風速計算研究

王曉惠，潘曉春，張 洋

( 中國能源建設集團江蘇省電力設計院有限公司，江蘇 南京 211102)

0 引言

設計風速是涉及結構抗風安全的重要參數。實際生產工作中往往因為氣象觀測站點觀測資料年限不夠等問題，導致工程設計風速取值困難，為此許多學者及工程設計人員進行了有益的研究。

許多學者[1-6]將臨時測站與氣象站的同步觀測資料進行相關性分析，并以此相關關系在氣象站的統計風速基礎上進行修正，獲得工程區域的設計風速。由于許多情況下，同步資料的相關關系并不能達到修正的預期等原因，不少學者試著僅采用短期實測資料進行分析研究。董安正[7]等針對短期風速樣本不足的缺陷，采用由Monte Carlo 模擬方法得到的“理想”數據樣本對人工神經網絡進行訓練，然后由“非理想”的短期風速原始資料估計設計風速。然而搭建人工神經網絡模型相對復雜，且不具有普適性。隨著數值計算的發展，龐加斌[8]等、羅穎[9]等采用虛擬氣象站法，根據周圍氣象站基本風速與海拔高度之間的關系來推算虛擬氣象站的設計風速，但在復雜地形區域數值模型難以得到可靠的風速與海拔的關系。

基于極值理論的數理模型是具有長期觀測資料的設計風速計算的基本方法。許多學者嘗試在短期資料中改進極值理論以求獲得期望的結果。張秀芝[10]等采用二項—對數正態復合極值分布擬合短期風速資料計算海面設計風速基準值，并以沿岸站長年大風經驗公式計算訂正值，基準值與訂正值疊加作為設計風速。丘海珊[11]等利用短期風速及經驗頻率的對數關系進行線性擬合，計算風電場的設計風速。廣義帕累托分布模型在極值模型的基礎上，通過閾值設置增加樣本容量，充分利用短期觀測資料，模擬效果優于極值模型，越來越受到青睞[12]。國外學者[13-16]用GPD 模型，采用小時、天、周及月最大風速求解重現期為小時、天、周、月的設計風速。羅乃東[17]利用月最大風速及年最大風速構建新的樣本，用GPD 模型嘗試計算短期風速資料的設計風速。GPD 模型中閾值的選擇直接影響設計風速取值，而常用的平均剩余函數圖法[18-19]、Hill 圖法[20]在閾值選擇時存在較大的主觀性，使得設計風速的取值存在不穩定的現象[21]。在已有的研究中，難見普適的、可靠的短期資料計算設計風速的數理統計方法。

本文基于短期風速觀測資料，擬采用GPD模型推導重現期單位為年的設計風速計算方法，并對現有的閾值方法進行改進。采用多座氣象站實測資料進行短期資料的年設計風速計算成果與長期資料的Gumbel 分布模型分析成果對比，驗證方法的可靠性與適用性。

1 短期風速資料的GPD模型

1.1 GPD函數

利用長期測風資料計算設計風速時常采用年最大風速序列進行分析。年最大風速序列一般符合廣義極值分布(generalized extreme value，GEV)。當形狀參數為0 時，GEV 便退化為Gumbel(亦稱極值I 型)分布，常被用于工程結構的抗風設計。

假設年最大風速序列{Xi}，閾值為u0，則超閾值系列{X｜X＞u0}的頻率分布模型近似符合GPD，見式(1)。

式中：u0為閾值；σ為尺度參數，且恒為正值。

由于風速的隨機性，可以認為超越閾值的風速發生也是隨機的。因此超過閾值的大風年發生次數m為一隨機變量，且服從Poisson 分布[22]，見式(2)。

式中：λ為超過閾值年平均發生次數，λ＞0；k為任意整數。

按超閾值模型的經典假設，每年超過閾值的大風發生次數服從以λ為參數的Poisson 分布，則在R年中共發生λR個超過閾值的大風。對應R年一遇大風的重現期見式(3)。

式中：Pe為GPD 模型設計風速對應的頻率。

對應R年一遇設計風速VR可由式(4)計算。

GPD 的參數估計方法有多種，如矩估計、最小二乘估計、基于分位數估計、近似廣義最小二乘估計等。考慮到采用的是尺度參數為0時GPD 模型，本文采用矩估計，得到尺度參數的計算公式如式(5)。

1.2 短期風速序列推算設計風速

Grigoriu 認為，對于短期數據，可采用月最大風速來推算年最大風速分布[23]。假定各月的月最大風速滿足獨立同分布的條件，此時風速的年最大分布和月最大分布滿足式(6)[24]。

式中：Fa(x)和Fm(x)分別為風速年最大和月最大分布。

定義λ為超過閾值u0的月平均發生次數，FG(Y)為短期風速資料的GPD 分布，則有式(7)。

按照式(6)，以短期風速資料求解年設計風速VR，可得到式(8)。

式中，σ為短期風速資料GPD 模型的尺度參數。

經方程式變換得到式(9)：

考慮到R＞10 時，1-(1-1/R)1/12≈1/(12R)，則得到不同年重現期的設計風速近似計算公式，如式(10)。

1.3 閾值選取的改進

在GPD 模型中閾值u0的選取是準確估計分布參數的前提，并且對模型的有效性至關重要。常用的閾值選擇方法有Hill 圖法、平均超額函數(Mean Excess Function，MEF)圖法[25]。

Hill 圖法、MEF 圖法在分別尋找穩定區域、近似線性區域的判斷均屬定性判斷，具有主觀性，閾值選擇的誤差較大，而Moriarty 提出的經驗閾值法容易造成閾值選擇過大，剔除較多的有效樣本。本文在Moriarty 提出的方法基礎上進行改進，推薦閾值按“樣本均值加Δ倍的標準差”取值，Δ值的選取兼顧樣本長度足夠長及同時通過“K-S擬合優度檢驗”“以λ為參數的Poisson 分布檢驗”的最大值，并以江蘇省的主要氣象站為例進行驗證分析。

2 閾值選取方法對比分析

2.1 資料的選擇

為避免觀測環境變化對風速觀測成果的影響，確保短期資料具有較好的代表性，本文以江蘇某海島氣象站點2009 年7 月1 日—2011 年6 月30 日整兩年的日最大10 min 平均風速觀測資料為基礎，如圖1 所示。考慮到連續的風速樣本間可能存在較強的相關性，同時結合江蘇地區大風過程不超過4 d 的特征，將日最大10 min 平均風速數據4 d 作為一個周期進行取樣。選取每個周期的最大值，且相鄰的最大值的間距不能小于半個周期。

圖1 某海島氣象站日最大10 min平均風速變化圖

2.2 現有閾值選取方法的可靠性分析

按照Hill 圖法的繪制方式，將選取的日最大10 min 平均風速按降序進行排列，計算極值指 數Hk，點 繪 集 合{(k，Hk-1)；1 ≤k≤n-1}得 到Hill 圖， 如 圖2 所 示。 由 于Loretan、Phillips 驗證了Hill 圖法選取閾值的范圍不會超過樣本容量的10%[29]，因此Hk-1趨于穩定區間為[32，45]，相對應的閾值的選取范圍為[14.8，15.3]，閾值取該范圍的起始值14.8。按照MEF圖法的繪制原理，得到圖形如圖3 所示，按照平均超額函數e(x) =E(X-x|X＞x)是線性的且斜率為正的特點，在[16.8， 17.4]范圍內平均超額函數近似為斜率為正的直線，閾值即為16.8。另外可發現MEF 圖法的成果與Hill 圖推薦的范圍[14.8， 15.3]并無交集。按照Moriarty 提出的經驗閾值法，該海島氣象站日最大10 min 平均風速序列的均值、標準差分別為9.38、3.11，按照經驗閾值法閾值取值為13.7。

圖2 日最大10 min平均風速的Hill圖

圖3 日最大10 min平均風速的MEF圖

根據現有不同的閾值選取方法得到對應的閾值及λ，本文估算了GPD 模型的尺度參數，發現尺度參數的估算值、樣本容量隨閾值減小而增大，如表1 所示。三種方法中，Hill 圖法、Moriarty 經驗法的λ值均大于1，且超越閾值的樣本數大于月最大10 min 平均風速序列的樣本數，較月最大風速樣本的容量有所擴大；MEF圖法的λ值小于1，且樣本容量僅為11 個，不足月最大風速樣本的50%，這一特點與使用GPD 模型增大樣本容量的初衷不一致。

表1 不同閾值取值方法的GPD模型參數

本文分別采用K-S擬合優度檢驗法、χ2檢驗法對GPD 模型的擬合程度、λ值是否符合Poisson 分布進行了檢驗。如表2 所示的檢驗結果可知，現有的三種閾值選取方法均通過了置信度95%的檢驗。

表2 不同閾值取值的GPD模型參數的K-S檢驗、χ2檢驗

為說明不同閾值選取方法得到的設計風速取值準確性，本文列舉了短期、長期資料采用Gumbel 分布模型的分析計算成果。短期資料采用同期的月最大風速序列進行分析，長期資料采用1974—2014 年年最大風速序列計算，其中以長期資料的計算成果為標準進行各個方法的誤差分析，如表3 所示。

表3 不同方法的設計風速成果對比m/s

現有閾值選取方法的GPD 模型的設計風速計算成果表明，三種方法計算成果均明顯偏小，誤差自大到小依次為Hill 圖法、Moriarty 經驗法、MEF 圖法，計算誤差均在9.3%以上，Moriarty 經驗法、Hill 圖法的計算誤差達到13.5%～17.1%。同為基于Gumbel 分布模型，采用短期月最大風速序列采用得到的設計風速明顯小于長期年最大風速序列的成果，且小了約20%。

2.3 本文推薦方法的閾值選取分析

本文推薦閾值按“樣本均值加Δ倍的標準差”取值，Δ值的選取兼顧樣本長度足夠長及同時通過“K-S擬合優度檢驗”、“以λ為參數的Poisson 分布檢驗”的最大值。具體的選取方法既u0=X-+Δ·s，其中Δ∈[-1.4，1.4]，變化步長為0.1，由大至小試算至GPD 模型不能同時通過“K-S擬合優度檢驗”及“以λ為參數的Poisson 分布檢驗”的第一個拐點的前一個Δ值，具體的計算成果如表4 所示。尺度參數的估算成果隨著Δ值減小而增大，對應的不同重現期風速也增大，以100 a 一遇設計風速為例，Δ從1.4降低至-1.4 時，尺度參數由1.856 增大至4.578，設計風速由29.0 m/s 增加至52.9 m/s。以置信度95%，對GPD 模型進行K-S擬合優度檢驗，沒有呈現出明顯的規律，在Δ值由大變小時，檢驗依次呈現出通過、不通過、通過、不通過的交替規律。概率以λ為參數的Poisson 分布檢驗也呈現出同樣的規律，但兩者的通過檢驗的Δ值區間不同，具體如圖4 所示，按照前文所述的取值方法，Δ按0.6 取值。

圖4 兩者檢驗置信度95%的通過情況及Δ值的尋找

表4 本文推薦的不同閾值取值對應的設計風速成果m/s

續表

通過閾值選取、設計風速誤差對比分析，可見基于本文推薦閾值選取方法的GPD 模型得到的設計風速成果準確度更高，且通過了K-S擬合優度檢驗，λ值亦符合Poisson 分布。

通過如圖5 所示P-P 圖(概率圖)、如圖6所示Q-Q 圖(分位數圖)，可見基于本文推薦閾值選取方法的GPD 模型對樣本的擬合效果較好，能可靠地反應樣本的真實分布。

圖5 本文推薦方法的P-P圖

圖6 本文推薦方法的Q-Q圖

3 GPD模型應用分析

選取江蘇10 座主要國家基本氣象站，分別進行基于短期資料、長期資料的設計風速計算，并進行對比分析，用以驗證GPD 模型進行短期資料設計風速計算成果的可靠性，GPD 模型的閾值選取采用本文推薦的方法。短期資料采用各氣象站2009 年7 月1 日—2011 年6 月30 日兩年的日最大10 min 平均風速資料。考慮到短期資料采用自計儀器獲得，為確保可比性，長期資料亦選取自記資料，并使用Gumbel 分布模型計算設計風速。

10 座氣象站均按照推薦的閾值選取方法找到了滿足條件的閾值，具體如表5 所示。滿足兩種假設檢驗的情況下，以長期資料的設計風速計算成果為依據，分析短期資料的設計風速取值誤差，如表6 所示。誤差在±5%以內的氣象站有5 座，不同重現期設計風速的取值誤差在-3.7%～3.0%，其中4 座氣象站的誤差在±3%以內；誤差介于±5%～±10%之間的氣象站5 座，誤差在-6.8%～6.7%。

表5 江蘇13座氣象站長、短期資料的設計風速成果m/s

表6 短期資料設計最大風速成果的誤差分析

江蘇省氣象站實測年最大風速呈現逐年下降的趨勢，主要因周邊的探測環境受城市化影響而發生了變化。從而導致短期資料脫離了長期資料的樣本特征，使得短期資料的分析成果誤差較大。因此，本文推薦的GPD 模型在采用此類氣象站點的實測資料計算設計風速時準確度不佳，而周圍相對空曠、周邊探測環境變化較小的氣象站點的短期實測資料在采用本文推薦的方法時，計算誤差基本滿足實際工程的使用要求，計算成果基本可靠。

4 結論

通過短期資料進行設計風速計算的GPD 模型推導及閾值選取方法的比較，采用江蘇10 座氣象站的長期、短期風速資料的設計風速成果對比，得出如下的結論。

1)在使用GPD 模型計算短期資料的設計風速時，采用合理的閾值，可得到精度可靠的設計風速取值。

2)只有2 年的短期資料時，本文推薦采用均值與標準差的組合來確定閾值的取值，即u0=X-+Δ·s，其中Δ∈[-1.4，1.4]，變化步長為0.1，由大至小試算至GPD 模型不能同時通過“K-S擬合優度檢驗”及“以λ為參數的Poisson 分布檢驗”的第一個拐點的前一個Δ值。推薦的方法較常規的Hill 圖法、MEF 圖法，Moriarty 經驗法精度更高。

3)采用GPD 模型進行短期資料的設計風速計算時，周圍相對空曠、周邊探測環境變化較小的地區相比城市化影響較大的區域，成果更加可靠。

本文研究GPD 模型在短期資料設計風速計算時采用了2 年的日最大10 min 平均風速序列，得出滿意的結果。然而，對1 年、3 年等不同長度的短期資料時本文的閾值選取方法及其可靠性尚需進一步研究。