基于螺旋理論的可變剛度機械臂關節研究

陳龍凱，張帆，蔣家鵬，于瀟瀟，吳凱宇

（1.201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院；2.201620 上海市 上海工程技術大學 機器人智能控制實驗室）

0 引言

手術機器人在手術過程中，末端手術器械要進入病人體內，所以，要防止手術器械對病人身體進行額外的破壞[1]，希望手術器械在到達指定位姿后，前端的機械臂關節能夠進行有效的鎖緊，以保證末端手術器械的穩定。因此，對機械臂關節進行研究很有意義。

目前，手術機器人關節常用的鎖緊方式有液壓鎖緊、偏心鎖緊和電磁鎖緊。北航機器人研究所在對手術機器人的研究中采用了3 種鎖緊機構：一種是電磁離合器鎖緊機構。通過離合器的開合實現關節的松弛與鎖緊[2-4]，但是由于電磁離合器的體積大，不適于手術機器人機械臂上使用；另一種則是彈簧鎖緊機構。這種裝置利用彈簧拉緊外圈，通過外圈與摩擦片抱死的方式實現鎖緊，但彈簧長久使用，摩擦力不能保證恒定；第3 種通過液壓鎖緊裝置來實現關節的鎖緊。液壓裝置一般用于機床、大型起重設備，而且對于手術環境不能夠保證。針對上述問題，本文提出了一種可實現鎖緊的機械臂關節，通過ADAMS仿真驗證和3D 打印件進行分析驗證，最終確定該關節的可行性。

1 關節機構描述

1.1 設計原則

機構約束螺旋系。關節具有一個轉動自由度，通過機構的運動螺旋系，求解反螺旋得到關節機構的約束螺旋系為5 系。

（2）分支約束螺旋系。由機構的約束螺旋系可計算分支的約束螺旋系，機構的約束螺旋系由2 條并行支鏈提供，機構約束力為各支鏈的末端約束力的并集。右側支鏈具有5 個約束力，左側分支的約束力不能超出該范圍[5]。

1.2 關節構型介紹

所提出的關節模型如圖1 所示，由上平臺、下平臺和2 條分支鏈所組成。其中，左側支鏈由依次連接的6 個轉動副和連接各轉動副之間的連桿組成，兩端的連桿與上下平臺固連；右側支鏈由一個轉動副和連桿組成。兩端的連桿同樣與上下平臺固連，其中，左右兩側支鏈均有一個主動運動副，其余均為被動副。

圖1 關節三維模型Fig.1 Three-dimensional model of joints

1.3 鎖緊條件

具體實現方式如圖2 所示。首先假設Ri表示第i 個轉動副，在初始位姿時，R1，R3，R6三個轉動副的軸線空間匯交于一點，且于R7的軸線的延長線上，左右兩條支鏈相當于同軸轉動，此時，關節可以轉動。當主動轉動副R2驅動時，改變轉動副R3的軸線，此時的R1，R3，R6三個轉動副的軸線不再匯交，即左右兩條支鏈不再同軸，由于約束力的變化，主動力做功的改變，導致關節處于鎖緊狀態。

圖2 關節結構CAD 簡圖Fig.2 CAD sketch of joint structure

2 機構的可動性研究

為了便于問題分析，建立坐標系 如圖3所示。其中，坐標原點o 為R1和R6軸線的交點，x 軸沿著R3軸線的方向，y 軸沿著R7軸線方向，z 軸遵循右手定則。

圖3 機構坐標示意圖Fig.3 Schematic diagram of mechanism coordinates

在此設R1，R3，R6三個轉動副的軸線空間匯交于一點時為姿態1，當R1，R3，R6三個轉動副的軸線空間不再匯交于一點時，為姿態2。在姿態1 時，關節左側支鏈的運動螺旋系可表示為

動平臺的速度可表示為

同時可以看到，上述6個旋量的Plücker坐標，第5 列元素均為0，該旋量集的秩為5。左側支鏈存在的6 個旋量線性相關[6]，必有一組非全為0 的使得動平臺的速度有如下關系：

機構可動的充要條件是其支鏈上的所有旋量線性相關[7]，其中R2可由R1，R3，R4，R5，R6線性表示。左側支鏈的運動不會引起動平臺的運動。

由式（1）可知，左側分支的運動螺旋系為5 系，該分支對動平臺的運動提供一個約束螺旋為

式（4）表明，左側支鏈的約束螺旋系僅包含沿y 軸方向的約束力，即該分支限制了動平臺沿y 軸移動的自由度。

右側分支提供固定約束，運動螺旋系可表示為

該分支的運動螺旋系為1 系，那么約束螺旋系為5 系。由互易積理論有

式（6）表明，右側支鏈的約束螺旋系包含3 個軸線互相垂直的約束力和兩個分別垂直于xoy 面和yoz 面的約束力偶，即該分支約束了動平臺空間內的3 個移動自由度和兩個垂直于xoy面和yoz 面的轉動自由度。并聯機構的自由度可利用修正Grubler-Kutzbach 公式進行計算[8]，即

式中：M——機構的自由度數；λ——機構的階數；n——機構的構件總數；g——機構運動副總數；fi——第i 個運動副的自由度數；μ——冗余約束數；ξ——局部自由度數。

對于圖3 所示機構，姿態1 時：λ=6，n=7，g=7，，μ=0，ξ=0，代入式（7）得該機構自由度M=1。

動平臺的約束為兩條支鏈的交集，在姿態1時，機構的動平臺僅含有一個沿y 軸轉動的自由度；姿態2 時，即在R2的驅動后，R3的軸線發生變化，此時，R1的軸線、R3的軸線和R6的軸線不再匯交。R3對應的運動螺旋可表示為

此時，提供固定約束的R7與R1，R3，R4，R5，R6線性無關，左側支鏈不參與運動，故當R2和R7同時驅動時，即R3轉動副的軸線發生改變時，關節不滿足轉動要求，可達到有效鎖緊能力。

3 ADAMS 仿真

在ADAMS 中建立模型，上下關節均采用相同圓柱體簡化，其中下關節用固定副固定在大地上，各連桿之間通過轉動副連接，各連桿之間的幾何位置關系跟上文表述一致。其中，模型中的細圓桿為各轉動副的軸線方向，設置仿真時間為3 s；R2主動副對應的驅動函數：STEP（time，0，0d，2，0d）-STEP（time，2，0d，3，30d）；R7主動副對應的驅動函數為：30.0d×time。具體參數見表1。

表1 機構的結構參數Tab.1 Structural parameters of mechanism

表1 中：aij——第i 個轉動副與第j 個轉動副之間連桿的長度；r——上、下關節的半徑；h——上、下關節之間的高度。

在位姿1，即R1，R3，R6的轉動副軸線匯交于一點時，僅有R7主動副驅動時，關節只含有一個繞y 軸的轉動自由度，此處只考慮上關節在x 軸方向的運動，分別測量了質心點在x 軸方向的運動情況，如圖4、圖5 所示。

圖4 質心點在x 軸方向的位移曲線Fig.4 Displacement curve of centroid point in x-axis direction

圖5 質心點在x 軸方向的速度曲線Fig.5 Velocity curve of centroid point in x-axis direction

當R2和R7主動副共同驅動時，即0～2 s 時間內，第3 轉動副的軸線未改變，2 s 后，第3轉動副的軸線開始發生變化。上關節質心點在0～3 s 內的運動情況如圖6、圖7 所示

圖6 質心點在x 軸方向的位移曲線Fig.6 Displacement curve of centroid point in x-axis direction

圖7 質心點在x 軸方向的速度曲線Fig.7 Velocity curve of centroid point in x-axis direction

從上述的測量曲線可以發現，在只有R7驅動時，整個關節可以轉動到仿真結束，但是在R2和R7共同驅動時，在2 s 后仿真便結束。實質上在0～2 s 時，主動副R2在0～2 s 不起作用，等價于R7主動副單獨驅動；在2～3 s 時，屬于R2和R7共同驅動。R2主動副一旦驅動，R3的軸線將發生變化，此時關節的位姿從姿態1 轉變到位姿2，所以此時機構不可動，仿真結束。ADAMS 運動學仿真與上文中的理論分析完全吻合，該關節可以實現相鄰關節之間的有效鎖緊。

4 實驗驗證

建立三維模型如圖1 所示，并打印分析。如圖8 所示，下關節固定在實驗平臺上，在模型的右支鏈與上關節連接處系細繩，通過繩子系住不同質量的砝碼（分別為30，40，50 g）。

圖8 姿態2 不同轉角下關節的負載實驗Fig.8 Joint load experiment at different rotation angles in posture 2

讓砝碼在重力作用下自然下垂，進行負重實驗，在兩處不同的鎖緊狀態下（135°和120°）均可承受一定的載荷，可以證明關節能夠實現不同轉角下的有效鎖緊。

5 結論

本文中提出了一種可進行有效鎖緊的機械臂關節。通過螺旋理論對關節的兩種姿態進行分析，線性相關性分析關節的可動性，確定關節的轉動與鎖死兩種狀態，建立ADAMS 模型進行運動學仿真。最終對3D 打印件在鎖死狀態下進行負重實驗，可以進行少重量的負重，證明該關節機構可以實現關節的有效鎖緊。