轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
——以平行四邊形的面積為例

向 澳 王玉文 毛 薇 董浩杰

（長(zhǎng)沙師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 湖南·長(zhǎng)沙 410000）

0 引言

轉(zhuǎn)化思想是小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法中一種常見(jiàn)思想，在數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率中均有應(yīng)用。以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”為例，大部分教師會(huì)直接按照教材的編寫意圖，課前準(zhǔn)備好平行四邊形紙片和剪刀，讓學(xué)生在課上剪一剪，拼一拼。至于為什么要剪？為什么要拼？從哪里剪？學(xué)生沒(méi)有自己的獨(dú)立思考，在初次學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生很難想到割補(bǔ)法，所以在實(shí)際的割補(bǔ)過(guò)程中學(xué)生是在被動(dòng)地接受。

在研讀課本的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)教材從二年級(jí)下冊(cè)的圖形與運(yùn)動(dòng)（1）《平移旋轉(zhuǎn)》就開(kāi)始在為平行四邊形的面積教學(xué)做鋪墊。再到四年級(jí)上冊(cè)的《平行四邊形與梯形》課后習(xí)題通過(guò)做一做，引入一組圖形，分別為平行四邊形、菱形、梯形、菱形，通過(guò)比對(duì)找到平行四邊形，并找到平行四邊形的高。

緊接著在第65頁(yè)的第二題，第一次正式提出了正方形與平行四邊形之間的轉(zhuǎn)化。要求學(xué)生用四根吸管串成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后用兩手捏住長(zhǎng)方形的兩個(gè)對(duì)角，向相反方向拉。在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)兩組對(duì)邊有什么變化？在變化的過(guò)程中有什么是一直不會(huì)變的？（角度變了，所以高變了）。

教師應(yīng)該仔細(xì)研讀教材和新課標(biāo)，以本為本，根據(jù)教材編寫的意圖，結(jié)合學(xué)生年齡段的特點(diǎn)，以及其知識(shí)儲(chǔ)備和掌握程度，再合理設(shè)計(jì)課堂向?qū)W生傳達(dá)知識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，蘊(yùn)含中豐富的能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，如歸納思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等，然而小學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中，是無(wú)法感知自己在學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)思想的，此時(shí)就需要教師對(duì)于課本的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，提煉出數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

1 在新課中做好轉(zhuǎn)化思想的情境創(chuàng)設(shè)

在利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候常常會(huì)復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的舊知識(shí)，將新知識(shí)與舊知識(shí)建立聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到將新的不熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化為我們理解的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。從教材中，可以清楚了解平行四邊形的面積這節(jié)課的導(dǎo)入形式：首先設(shè)計(jì)生活情境引入新授，給予長(zhǎng)方形和平行四邊形花壇圖片，然后以比較長(zhǎng)方形花壇面積和平行四邊形花壇的大小促進(jìn)課堂新知的形成。然而在這其中存在的問(wèn)題是，在實(shí)際生活中，平行四邊形的花壇引入與新知中圖形的拼剪操作聯(lián)系不大，不利于學(xué)生進(jìn)一步探索圖形面積的求解方法。

為了解決這一問(wèn)題，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)游戲或小故事導(dǎo)入新知的學(xué)習(xí)：首先以小動(dòng)物探寶的故事為引線，以“用已有的幾塊木板（包含平行四邊形）填充在缺了一個(gè)長(zhǎng)方形木塊的門上”為思考對(duì)象，通過(guò)比一比、拼一拼、剪一剪等操作方式，有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，然后引出平行四邊形面積的探究，進(jìn)一步探索平行四邊形面積的求解方法。

2 學(xué)生探索新知，感悟轉(zhuǎn)化思想

在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師可在課前準(zhǔn)備好長(zhǎng)方形、菱形及平行四邊形的紙片，其中長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與平行四邊形的底長(zhǎng)度一樣，長(zhǎng)方形的寬與平行四邊形的高一樣長(zhǎng)。結(jié)合故事情境，將故事中各種圖形的木塊以直觀的可實(shí)際操作的圖形紙片呈現(xiàn)出來(lái)，為學(xué)生問(wèn)題的探究提供了切實(shí)可行的道具。具體圖形如下：

為了加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步理解各圖形之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，教師在教學(xué)過(guò)程中需要循序漸進(jìn)。通過(guò)比一比、剪一剪、拼一拼等多種形式，有意識(shí)有目的的引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決幾何圖形的面積問(wèn)題。

首先，要找到平行四邊形與長(zhǎng)方形的共同點(diǎn)。聯(lián)系故事情境，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較這幾個(gè)圖形，找各個(gè)圖形與長(zhǎng)方形的相似之處。經(jīng)過(guò)看一看、測(cè)一測(cè)，學(xué)生很容易找到平行四邊形與長(zhǎng)方形的共同點(diǎn)：平行四邊形的底和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，平行四邊形的高和長(zhǎng)方形的寬一樣長(zhǎng)。

其次，要將平行四邊形與長(zhǎng)方形建立聯(lián)系。通過(guò)提問(wèn)，讓學(xué)生思考：如何剪，可以從平行四邊形中得到一個(gè)盡可能大的長(zhǎng)方形？引導(dǎo)學(xué)生找到平行四邊形與長(zhǎng)方形的聯(lián)系：沿著過(guò)平行四邊形兩頂點(diǎn)的兩條高剪，可以得到一個(gè)大的長(zhǎng)方形和兩個(gè)直角三角形。經(jīng)歷剪一剪的實(shí)際操作，體驗(yàn)圖形切割的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)幾何圖形學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

接著，結(jié)合故事情境引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題并完成平行四邊形與長(zhǎng)方形的轉(zhuǎn)化過(guò)程。讓學(xué)生獨(dú)立思考并合作交流：如何用給出的這三種圖形的木塊填充到空缺了一塊長(zhǎng)方形木板的木門上。此時(shí)，面對(duì)已知的幾個(gè)圖形的紙片，學(xué)生才可能會(huì)將其他圖形紙片與長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行重合，看是否能夠完全重合。根據(jù)學(xué)生找到的長(zhǎng)方形與平行四邊形的共同點(diǎn)和聯(lián)系，學(xué)生首先會(huì)選擇將平行四邊形方形與長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行重合。通過(guò)重合，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形與平行四邊形重合時(shí)，二者既有重疊部分又有多余部分，如果要使長(zhǎng)方形與平行四邊形重疊部分填充到空缺的長(zhǎng)方形中，就必須要沿著平行四邊形的高剪切木塊。沿著平行四邊形的一條高剪切后，剪切后的多余木板正好與還未填充的木板的圖形相同，學(xué)生自然而然就會(huì)想到將多余部分填充到空缺處。

在具體情境中積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探究討論、動(dòng)手實(shí)踐，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。再結(jié)合前面提到的問(wèn)題：如何剪從平行四邊形中得到一個(gè)盡可能大的平行四邊形。教師可進(jìn)一步總結(jié)出平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的方法，加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的感悟。

最后，探究平行四邊形面積的求解方法。通過(guò)剪一剪、拼一拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，學(xué)生能夠深刻體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想在解決幾何圖形問(wèn)題的重要作用。在此基礎(chǔ)上，引入平行四邊形面積的教學(xué)，學(xué)生就會(huì)利用轉(zhuǎn)化思想將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，再進(jìn)行平行四邊形面積的計(jì)算。在教師的追問(wèn)下，通過(guò)觀察比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高。進(jìn)而通過(guò)長(zhǎng)方形面積公式：長(zhǎng)×寬，得出平行四邊形的面積公式：底×高。

3 在解決實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用

知識(shí)來(lái)源于社會(huì)，來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)與生活總是緊密聯(lián)系的，我們既要讓學(xué)生掌握學(xué)科知識(shí)，又要讓學(xué)生活學(xué)活用，能夠用學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。轉(zhuǎn)化思想作為數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，自然也要被應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題上。平行四邊形面積的教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)掌握并能靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形面積計(jì)算和平行四邊形特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，它將為后面學(xué)習(xí)梯形、三角形、圓的面積及立體圖形的表面積奠定基礎(chǔ)，因此起到承上啟下的作用。從這個(gè)角度看，從平行四邊形的面積這節(jié)課中掌握到的轉(zhuǎn)化思想可以被應(yīng)用于三角形、梯形和圓等規(guī)則圖形，也可以應(yīng)用于各種不規(guī)則圖片，總體上看，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用為學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題開(kāi)闊了思路。

4 結(jié)語(yǔ)

教師通過(guò)從轉(zhuǎn)化的角度去把握教材，對(duì)教材內(nèi)容的相互聯(lián)系分析得比較透徹了，對(duì)教材的整體性、結(jié)構(gòu)性能更好地把握，這樣在備課和教學(xué)中能居高臨下，有的放矢地進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生在感知、體驗(yàn)轉(zhuǎn)化方法的過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系緊密認(rèn)識(shí)更深刻，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握更加重視。從而有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和形成，有利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提高。通過(guò)長(zhǎng)方形和平行四邊形的觀察、比較，學(xué)生會(huì)自主將平行四邊形面積與長(zhǎng)方形面積聯(lián)想在一起，從而讓學(xué)生在主動(dòng)思考、積極探索中，建立起轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的形成不是一朝一夕的事，它必須循序漸進(jìn)反復(fù)訓(xùn)練，而且隨著其在不同知識(shí)中的體現(xiàn)，不斷地豐富著自身的內(nèi)涵。因此，教師應(yīng)在不同內(nèi)容的教學(xué)中反復(fù)滲透，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，提高其轉(zhuǎn)化能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。