導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用

韓衛(wèi)衛(wèi) 謝麗娜

（[1]洛陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南·洛陽 471000；[2]平頂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南·平頂山 467000）

1 利用導(dǎo)數(shù)求變化率

導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的基本概念之一，在許多實際問題中，只要從數(shù)量上研究變量的變化速度的，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等等。文獻[1]通過空間關(guān)系的瞬時運算、守恒定律的微分運算給出了導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用。本文中首先利用導(dǎo)數(shù)給出某些物理量的變化率。

由文獻[2]可知

1.1 利用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度

但是，當(dāng)物體做變速直線運動時，它的速度隨時間變化而變化，此時表示時刻從到這一段時間內(nèi)的平均速度，即

上面式子中建立了函數(shù)值增量與自變量增量之比的極限，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可知物體做變速直線運動的在某一時刻的瞬時速度為。

在上面的討論中，我們看到速度“變”與“不變”的相互轉(zhuǎn)化。在整段時間內(nèi)，速度是變化的，但在自變量的改變量很小的情況下，速度變化很微小，這時可近似地“以勻代變”，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，諸如電流強度、角速度、線密度等概念，都可以歸結(jié)為這種思想體現(xiàn)在下面物理量的變化率上。

1.2 利用導(dǎo)數(shù)求角速度

1.3 利用導(dǎo)數(shù)求加速度

1.4 利用導(dǎo)數(shù)求物體運動速度大小和方向

已知拋射體的運動軌跡的參數(shù)方程為

例4已知拋射體的運動軌跡的參數(shù)方程為

求拋射體在時刻的運動速度的大小和方向。

解：先求速度的大小

由于速度的水平分量為

鉛直分量為

所以拋射體運動速度的大小為

再求速度的方向，也就是軌跡的切線方向。

1.5 利用導(dǎo)數(shù)求電流強度

1.6 利用導(dǎo)數(shù)求電壓關(guān)于電阻的變化率

1.7 利用導(dǎo)數(shù)求冷卻速度

解：水瓶中水溫下降的速度為

2 利用導(dǎo)數(shù)求最值

本文中繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)求某些物理量的最值。

對于實際問題，若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點，且知最大(小)值一定存在，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得，那么可以不必討論是否為極值，就可以判斷該點為最大（小）值。

3 結(jié)束語

從上面的8個實例中，我們可以看出很多物理量的計算都需要使用到導(dǎo)數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)在物理教學(xué)中是非常重要的。為了能有效地建立物理和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，這就需要教師在數(shù)學(xué)的教學(xué)工作中，適當(dāng)?shù)卮┎逦锢砟Ｐ停寣W(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的來源，體會導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想方法去分析和解決物理問題，而在物理的教學(xué)過程中，注意對實際問題抽象、簡化，用數(shù)學(xué)語言表示，然后利用導(dǎo)數(shù)對實際問題進行求解。開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法進行推理、分析、計算的能力，需要反復(fù)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)問題進行分析、推理和計算，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力、想象能力、洞察能力和數(shù)學(xué)語言的表達能力，可以培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作能力，整體上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)，所以，利用數(shù)學(xué)建模的方式可以把數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到實際問題中，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法解決實際問題的能力。