基于單向耦合法的不確定復雜網絡間有限時間同步

張檬 韓敏

復雜網絡在現實世界中普遍存在,如互聯網、神經網絡、電力網絡等[1?2].復雜網絡一般由大量節點及連接邊構成,并具有小世界及無標度等特性[3?4].近年來,由于許多復雜的實際問題都可以被抽象為復雜網絡模型進行研究而備受各學科領域的關注[5?6].

同步現象是復雜網絡的典型動力學行為之一,其通常指通過自身耦合或施加外力等策略使網絡節點從不同的初始狀態出發,隨著網絡的演化按照某種方式逐漸趨于一致的狀態[7?8].對于網絡同步問題,許多學者做了深入研究,先后提出了多種有效的控制技術,包括:自適應控制[9]、脈沖控制[10]、牽制控制[11]、輸出反饋控制[12]和耦合控制[13]等.其中,耦合控制不同于大多數依賴外部控制器ui(t) 的控制方法,它是通過網絡間的耦合關系實現同步控制的.文獻[13]利用自適應原理及雙向耦合的同步方法,實現了兩個復雜網絡間的同步控制,并辨識得到未知參量及未知拓撲結構.在已有研究中,雙向耦合控制方法是較為常見的[13?15],但利用單向耦合方法實現網絡同步的研究卻相對較少.

目前,大多數關于復雜網絡同步的理論方法只能實現網絡的漸近[16]或指數漸近同步[17],保證在t →∞時,誤差e(t)→0,即在無限時間內,實現漸近穩定收斂,對同步的時間與速度并沒有進一步的考慮.但在實際工程中,人們通常期望較快的收斂速率,并可以預知所需的收斂時間.例如在保密通信中,若同步傳輸速度越快、時間越短,并且可準確預知到達時間,就會有效減小信息被竊取的風險.由此,為了實現更優控制,有限時間同步思想被提出并愈發被研究學者所重視.該類方法可以提前預知同步時間,并具有更好的魯棒性和抗干擾性,控制效果更優,在理論和實際上都具有重要的研究意義[18].文獻[19]在誤差函數中加入比例矩陣,通過設計一個線性狀態反饋同步控制器,實現了有限時間混合外同步控制.文獻[20]針對含有時滯的驅動-響應分數階憶阻神經網絡,利用反饋控制技術,完成了有限時間同步控制.文獻[21]研究了具有馬爾科夫拓撲結構及分布式脈沖效應的耦合網絡全局有限時間同步.文獻[22]提出了一種新穎的切換控制方法,實現了憶阻遞歸神經網絡間的有限時間同步控制.

此外,在研究中較全面的考慮各種影響因素,建立更貼近實際網絡特性的網絡模型是復雜網絡同步研究的重要方向.例如,在實際中,網絡參量或拓撲結構的不確定性是常見的,此時理論研究中假設各參量已知的方法便不再適用.在已有的成果中,文獻[23?24],考慮含有未知參量與未知拓撲結構的復雜網絡同步問題,但是所提方法只能保證一般漸近同步的實現,對同步時間沒有討論.文獻[25?27],基于有限時間同步,考慮了節點含有未知參量的情況,但是拓撲結構均默認為已知.另外,時滯是影響動力學行為的重要特性,是實際工程中普遍存在的影響因素,很多學者在網絡同步的研究中都考慮了這一因素.文獻[28]針對時滯擴散性復雜網絡系統,通過自適應脈沖控制方法,設計脈沖控制器,實現了同步保性能控制.在實際中,可能存在的未知參量、未知拓撲結構及時滯等因素會增加網絡的復雜性,進而對同步結果產生較大影響.不同的節點系統和節點數也是實際中常見,在研究中卻往往被忽略.

根據以上的分析,怎樣在諸多因素的影響下,快速實現同步控制并辨識得到未知量,是網絡同步研究中亟待解決的問題.本文針對此,建立更貼近實際網絡特性的網絡模型,研究耦合網絡間的參量和拓撲結構辨識及有限時間同步控制問題.所提出的單向耦合方法,僅需從響應網絡中提取單向狀態變量信號與驅動網絡相耦合,使驅動和響應網絡建立關聯,基于有限時間穩定性理論和線性矩陣不等式變換,即可實現驅動-響應網絡的有限時間同步及未知參量和未知拓撲結構的辨識.最后通過仿真實驗驗證方法的有效性及優異性.

1 網絡模型與預備條件

考慮具有N1個節點的復雜網絡,網絡中含兩種不同的節點系統,受時變耦合時滯的影響,其中網絡的第i個節點的狀態方程可以表示為:

將網絡(1)作為驅動網絡,構造具有N2個節點并含有未知參量及未知拓撲結構的響應網絡,狀態方程如下:

其中,xi(t)(x i1(t),x i2(t),···,x in(t))T∈Rn為驅動網絡節點的狀態向量,y i(t)(y i1(t),y i2(t),···,y in(t))T∈Rn是響應網絡中第i個節點的狀態向量.f,g:R×Rn →Rn為連續非線性光滑函數,τ(t)≥0為時變耦合時滯.為驅動網絡的外部耦合矩陣,表示網絡的拓撲結構,一般被定義為:當第i個節點與第j(ji) 個節點連接,則耦合c ij0;否則,cij0(ji) .為響應網絡的未知耦合矩陣,即響應網絡的拓撲結構未知.r i(i1,2,···,N2)為網絡間的耦合強度系數,假設N1≥N2.

將節點系統進行拆分f i(x i(t),αi)F i(x i(t))+,這里S:,T:Rn →是驅動網絡的參量.是待辨識的響應網絡中的未知參量.

定義誤差向量為e i(t)y i(t)?x i(t)(i1,2,···,N2),待辨識參量誤差為

定義1.對于復雜網絡(1)和(2),若存在某一時刻t1>0,使得對任意i,j1,2,···,N2,t≥t1有limt→t1‖e i(t)‖0與恒成立,則稱兩個網絡在有限時間t1內實現同步控制,并且網絡中的未知參量及未知拓撲結構在時間t1內正確辨識.

引理1.如果存在連續、正定函數V(t) 滿足如下不等式條件:

其中常實數a>0,0<η <1 .那么對于任意初始時刻t0,V(t) 滿足如下不等式:

且V(t)≡0.?t≥t1.其中,t1t0+V1?η(t0)/a(1?η)即為實現同步控制所需時間.

引理2.對于任意實數x1,x2,···,x n ∈Rn及0

進一步可以得到:

引理3.對于任意向量xi(t),y i(t)∈Rn,存在正定矩陣H ∈Rn×n,滿足如下矩陣不等式:

假設1.假設τ(t) 是一個可微的函數且滿足0≤τ˙(t)≤ε<1.

假設2.對任意的xi(t),y i(t)∈Rn,存在正常量l1和l2,滿足:

其中,向量x的范數‖·‖定義為‖x‖(xTx)1/2.

2 同步原理分析

根據定義1,有限時間的同步問題可以被看作為有限時間內誤差系統的穩定性問題.當t →t1時有ei(t)→0,就認為復雜網絡(1)與(2)實現有限時間同步.本文利用兩個網絡間的耦合關系,通過在響應網絡中加入耦合項的作用,實現網絡同步,并同時辨識未知參量及未知拓撲結構.

響應網絡中的耦合項設計如下:

未知參量及未知拓撲結構的更新規則如下:

其中,δij,η1i,η2i為任意正常量.

定理1.根據引理1,2,當假設1,2 成立,在耦合項(8)及參量更新規則(9)和(10)的作用下,驅動網絡(1)與響應網絡(2)在限制時間t1內實現同步控制與未知參量的辨識,誤差動態系統實現漸近穩定,軌跡趨近ei(t)0,時間t1滿足:

其中,t0為初始時刻.

下面利用有限時間穩定性理論,對定理1 進行證明.

證明.構建如下的Lyapunov-Krasovskii 泛函:

將V(t) 沿誤差系統求導,并代入式(8)～(10),得到

根據假設2 及引理1,進一步得到

其中,e(t),由引理1～3及假設1,變換整理有

注1.驅動網絡和響應網絡分別包含兩種不同的節點動力系統,相似的工作很容易推廣至網絡擁有更多不同類型節點系統的情況.

3 數值仿真

為了驗證所提方法的有效性,選取具有混沌特性的Lorenz 系統[29]和Chen 系統[30],作為節點系統,分別構造12 個節點及10 個節點的復雜網絡進行仿真實驗.Lorenz 系統各參量的取值為a110,a228,a38/3;Chen 系統參量為d135,d23,d328.

3.1 仿真驗證

驅動-響應網絡的節點數分別為N112 和N210.其中驅動網絡中包含5 個Lorenz 系統(i1,2,···,5)和7個Chen 系統(i6,7,···,12);響應網絡是含有未知參量的5 個Lorenz 系統(i1,2,···,5)和5 個Chen 系統 (i6,7,···,10) .網絡的拓撲矩陣C[c ij]12×12按照小世界網絡的連接形式,如式(17).

仿真實驗中,假設響應網絡中Lorenz 系統與Chen 系統包含待辨識未知參量6,7,···,10),其真值為a1i10,d2i3. 未知參量的初始值選取為.另取η1i15,η2i2,δij0.5,λi0.2,k2,τ(t)1滿足假設1.響應網絡中的耦合項如式(8),未知參量及未知拓撲結構的更新規則分別滿足式(9)和式(10).

圖1 為同步誤差e i1(t),e i2(t),e i3(t)(i1,2,···,10)隨時間的演化情況,兩個網絡在耦合作用下,同步誤差曲線從不同的初始值出發,經過一段時間的波動后,在原點趨近于穩定,網絡同步得以實現.

圖1 同步誤差的演化e i1(t),e i2(t),e i3(t)(i1,2,···,10)Fig.1 Synchronous errors e i1(t),e i2(t),e i3(t)(i1,2,···,10)

圖2 未知參量的辨識(i1,2,···,5)Fig.2 Identification of the unknown parameters(i1,2,···,5)

圖3 未知參量的辨識(i6,7,···,10)Fig.3 Identification of the unknown parameters(i6,7,···,10)

圖4 未知拓撲結構的辨識Fig.4 Identification of network structure

圖5 未知拓撲結構的辨識Fig.5 Identification of network structure

圖6 未知拓撲結構的辨識Fig.6 Identification of network structure

圖7 未知拓撲結構的辨識Fig.7 Identification of network structure

3.2 仿真對比

在第3.1 節,仿真結果驗證了所提方法的有效性.為了進一步說明本文方法的優越性,將本文方法與文獻[14]所提方法進行對比,驗證本文所提出的單向耦合方法,可以不依賴外部控制輸入,并且在較少耦合數的情況下,具有更快的同步速率及更小的波動范圍.為了更好的比較同步速率,引入平均誤差E(t) 作為評價指標,具體形式如下:

其中,N為網絡節點個數.

在已有的研究中,大部分工作均需要依賴外部控制器ui(t) 實現同步控制.首先與這種經典的同步控制方式進行對比,驗證本文方法的優越性.與文獻[14]中定理1 所提的方法進行對比,為了保證同步條件的一致性,簡化了本文考慮的一些影響因素.如驅動?響應網絡的節點個數假設為相同的N,只考慮一種形式的節點系統,且忽略時變耦合時滯的影響,驅動-響應網絡的模型簡化為

此時,相應的參量更新規則簡化如下:

根據文獻[14]中的仿真實例5.1,選取相同的預設條件,節點數N3,將含有未知參量a1i的Lorenz 系統作為網絡節點系統,拓撲結構如下:

在相同的初始條件下,選取參量η1i5 (文獻[14]中,θi5),δij0.1 ,k0.01 ,λi0.2 .對比結果如圖8 所示.圖8(a)為本文方法平均誤差的演化曲線,圖8(b)為文獻[14]定理1 方法在相同條件下平均誤差的演化情況.可以看出本文方法無需依賴外部控制器,在網絡間單向耦合的作用下即可實現同步控制,且同步速度快,波動范圍小.表1 列出兩個方法的具體對比結果.

表1 本文方法與文獻[14]定理1 方法對比結果Table 1 The comparison result between our method and the Theorem 1 in[14]

圖8 本文方法與文獻[14]定理1 方法的平均誤差曲線Fig.8 The average error of our method and Theorem 1 in[14]

當驅動和響應網絡中均加入耦合項時,稱此種方法為雙向耦合控制方法.進一步將本文方法與文獻[14]中定理2 的雙向耦合方法進行對比,驗證本文方法可以在較少的耦合數下,實現較小波動范圍內的快速收斂.

驅動?響應網絡的形式保持式(19)不變.同樣與文獻[14]仿真條件保持一致,根據文獻[14]中仿真實例5.2,選取節點數N4,節點系統同樣為Lorenz系統,a1i為未知參量,η1i5 (文獻[14]中θi5),δij5 .拓撲結構如下所示:

此時得到兩個方法在相同初始條件下平均誤差的變化曲線如圖9 所示,對比圖9 中的(a)和(b),可以發現本文方法的圖9(a)曲線收斂速度更快,波動范圍更小.說明與文獻[14]中定理2 的雙向耦合方法相比,本文所提方法在較少耦合數量的情況下,可實現小范圍內的快速收斂,同步效果更好.表2為兩個方法具體的對比結果.

總體來說,本文方法與文獻[14]中的兩種方法進行對比,有如下優勢:

1)本文方法與文獻[14]中定理1 方法對比,本文方法不需要依賴傳統的外部控制器,網絡通過內部耦合即可實現同步,且從圖8 及表1 可以看出,本文方法同步速率更快,抖震更小.

2)本文方法與文獻[14]中定理2 方法對比,本文采用較少耦合數即可實現快速收斂,且從圖9 及表2 看出,本文方法用時短,波動更小.

表2 本文方法與文獻[14]中定理2 方法對比結果Table 2 The comparison result between our method and the Theorem 2 in[14]

圖9 本文方法與文獻[14]定理2 方法的平均誤差曲線Fig.9 The average error of our method and Theorem 2 in[14]

在對比實驗中,為了確保同步條件的一致性,一些可能的影響因素被忽略了,比如網絡內部節點的不同,時變耦合時滯及驅動?響應網絡節點不同的情況,若全面考慮以上因素,文獻[14]的方法不能保證在本文的預設條件下,實現同步.整體來看,本文方法普適性更強,同步效果更優.

4 結論

本文提出一種新穎的單向耦合同步控制方法,基于有限時間穩定性理論和線性矩陣不等式變換,克服多重因素的影響,得到了網絡同步的充分條件.在實現了有限時間同步控制的同時辨識得到網絡的未知參量及未知拓撲結構.數值仿真中,一方面,驗證了所提方法的有效性;另一方面,通過對比實驗表明了本文方法的優異性.如何將方法應用到實際以及基于單向耦合方法實現固定時間的網絡同步與參量辨識問題,是后續研究的重點.