工業物聯網中的精確時鐘同步:網絡化控制理論觀點

2021-08-28 04:56:36徐小權唐曉銘黃慶卿李永福

自動化學報 2021年7期

王頲徐小權唐曉銘黃慶卿李永福

適合關鍵業務型工業物聯網(Industrial internet of things,IIoT) 應用的工業無線傳感器網絡(Industrial wirelesssensornetworks,IWSN) 需要部署在典型嚴酷工業環境中,具有關鍵要求[1].在IIoT 中,數據融合、能量管理、傳輸調度、定位和追蹤協議要求所有的節點運行在公共的時間基準[2].通過使用統計信號處理觀點,很多時鐘同步協議歸類為參數估計問題,已經在不同的網絡隨機延遲分布下,評估了一些經典協議的性能[3].由于IWSN中存在許多不可靠的因素,例如包延遲、丟失、節點失效等,導致這些同步協議算法的性能大大地降低,甚至算法失敗.特別指出,國內學者針對時鐘同步問題的前沿理論研究,可參見文獻[4].國際前沿研究中,一致性算法[5?6]在分析中沒有考慮包延遲,因此,在收斂的時鐘參數中產生了大的均方誤差.在文獻[7] 中,魯棒平均時間同步(Robust average time synchronization,RoATS) 提出來相應于邊界通信延遲,以魯棒的方法調節節點的時鐘頻率和時鐘偏移.在文獻[8] 中,提出一組基于2 階一致性的隨機時鐘同步協議.已經證明,在這樣的方法下,可以總是調節算法參數,且在概率均方意義下達到時鐘同步.然而,一致性算法[7?8]不能在分析中量化消息延遲的影響,特別是包延遲.作為耦合狀態模型的相對時鐘模型依賴于交互平均以達到同步補償或協作控制過程.因此,已經存在的協議和一致性平均方法受限于網絡規模,隨著網絡規模的擴展,時鐘同步收斂性能將下降.

IIoT 在規模網絡下分布式精確時鐘同步問題仍然是處于目前的研究熱點.作為耦合狀態模型的相對時鐘狀態模型依賴于協作控制過程.受限于網絡尺寸的一致性時鐘同步方法的收斂率研究集中在收斂性(穩定性),難以量化和分析收斂率,特別是對于不可靠網絡.

當存在消息延遲時(固定時延),用于文獻[2] 的卡爾曼濾波(Kalman filtering) 導出了用于時鐘偏移追蹤的消息傳遞方法(雙向信息交換).事實上,文獻[2] 的時鐘模型具有新的不同本質(節點的時鐘狀態依賴于狀態空間模型度量下自身節點狀態的噪聲擾動).文獻[2] 的絕對時鐘模型建模為解耦狀態模型,但量測模型仍然是絕對狀態的輔助量測過程.事實上,存在狀態耦合關系.根據現代控制理論觀點,通過分析文獻[2],發現無法滿足系統的能觀測性(更堅實的理論依據參見附錄A).因此本文首先針對絕對時鐘模型的能觀測性的問題.

考慮包丟失(過度的延遲被認為是丟失) 和節點失效作為節點量測信息丟失,為了量化丟失的量測信息的影響,已經廣泛地采用兩類通道模型:1) 獨立同分布(Independent and identically distributed,i.i.d.) 模型,建模包丟失過程為一個獨立同分布過程[9];2)在馬爾科夫模型下,包處理過程描述為二元馬爾科夫鏈[10].

在獨立同分布(i.i.d.) 模型下,文獻[2] 和文獻[11?13] 集中在間隙卡爾曼濾波的穩定性,此時僅一個傳感器傳輸它的原始量測,且存在一個臨界丟包率.在臨界丟包率以上,狀態估計誤差協方差矩陣的均值將發散為無窮[9].在文獻[9] 中,也給出了臨界丟包率的上界和下界.對于一般的向量系統,眾所周知難以顯式地表達臨界丟包率.也是源于處理文獻[9] 的局限性,文獻[13] 中對于一步可觀測系統下界可顯示為“緊”的,包括文獻[12] 中所示的非退化系統.然而,文獻[14] 中的一個反例顯示臨界丟包率嚴格地位于下界和上界之間.

針對含多傳感器的網絡化狀態估計問題,許多研究者廣泛研究了針對不同傳感器,約束于可能不同的包丟失情形[15?20].在文獻[21]中,開發了一種新的回歸矩陣技術,用于研究針對于MMSE (Minimum mean square error) 估計器的必要與充分穩定條件,它適用于單一傳感器和多傳感器情形.

在“工業物聯網”的前期研究中,文獻[4] 針對不可靠量測的“相對時鐘模型”,基于適合在線運算的Tubes-MPC (Model predictive control) 控制方法完成“指數收斂性”量化分析.文獻[1] 已經開展的工業物聯網TDMA (Time division multiple access) 確定性調度算法中,維護高可靠性的時間精度具有重要意義.文獻[22] 作為本文重要研究背景的“工業物聯網”精確時鐘同步的緊時隙需求,本文提出的MMSE 等價變換能觀測性觀測模型符合噪聲量測的實際應用模型,對文獻[22] 的理想觀測器進行了深度分析擴展.

本文的建模與適用性:1) 建模特點:文獻[2]的網絡拓撲來源于實際的網絡應用拓撲結構(如工業無線ISA100、WirelessHart、WIA-PA 中的Mesh 網絡拓撲),具體的網絡協議可參考前期文獻[22?24] 和文獻[25].2) 協議特點:對于本文及文獻[2] 的分布式網絡拓撲(全分布、短時延Cyber-Physical 環境要求),具體應用于無線Mesh網絡(Wirelessmeshnetwork,WMN)[23?24],將在工業物聯網TDMA獨立時隙間實現無沖突的數據傳輸,以有效提高資源利用率[25].

為了不依賴于特定的相對參考節點或網絡結構,文獻[2] 中絕對狀態模型建模為絕對狀態空間模型,狀態相對于本地時鐘的理想狀態(狀態空間“0”點).本文通過對文獻[2] 的“能觀測性”的分析,建立了MMSE 等價變換的能觀測性觀測模型,觀測模型的能觀測性是系統狀態確定性估計的必要條件.由提出的新的解耦觀測模型,建立了基于文獻[2,15] 的規模網絡的修正的卡爾曼濾波,建立了時鐘同步的量化分析的收斂條件.

本文的主要貢獻是:

1)基于前期的研究[4,22,26?27],本文基于卡爾曼濾波的精確時鐘同步研究,從“網絡化控制理論觀點”準確定位文獻[2] 的研究實質(參見命題1),分析了雙向信息交換的物理量測模型和在BMU (Basic measurement unit) 下建立的適用于大規模網絡的“能觀測性”精確量測模型.

2) 通過使用MMSE 等價能觀測性量測模型,能夠得到確定性的絕對狀態的估計值(基于理想狀態(1,0)).能夠解除節點間的狀態耦合與控制耦合.時鐘同步問題被轉化為對于本地時鐘理想狀態(1,0) 的分布式卡爾曼濾波精確設定點狀態追蹤問題.

3) 通過MMSE 等價能觀測性的狀態解耦的量測模型,實現了對工業物聯網的時鐘同步精度的量化分析.

注1.本文使用有N個傳感器節點{S1,S2,···,SN}的網絡為研究對象,對于任意節點Si,i∈{1,2,···,N}.Ni表示Si的鄰居節點集合,Ni={Ni(j)=mj|m1,···,mj,···,m|Ni|}(mj∈Ni,j∈{1,···,|Ni|});Nj表示Sj的鄰居節點集合,Nj={Nj(o)=mo|m1,···,mo,···,m|Nj|}(mo∈Nj,o∈{1,···,|Nj|}).N[i]表示包含Si及其鄰居節點的局部子系統,N[i]={Ni,i},元素個數|N[i]|=|Ni|+1.(·)M×N表示任意M行N列的矩陣.

注 2.不可靠量測丟包變量定義,參見表1.

表1 不可靠量測丟包變量定義Table 1 Definition of unreliable packet loss variables

1 系統解耦狀態模型

文獻[2] 中,考慮了傳感器時鐘偏斜和累積時鐘偏移的演化模型

為了達到全網的時鐘同步,所有節點的時鐘讀數c i(k) 必須被調節為公共的值.假定UTC(Universaltimecoordinated)作為準確的參考時間,也就是β(k)=1 和?(k)=0,并且基于離散時鐘讀數模型ci(k)=k?τ0+?(k ?1)+[β(k?1)?1]?τ0,全網時鐘同步任務將對應于UTC追蹤時變的時鐘偏斜{βi(k)}和累積偏移{?i(k)}.對比于文獻[2],假定節點S1為具有準確時鐘的參考節點實現絕對時鐘量測模型是不合理的(更堅實的理論依據參見附錄A).方程(1) 中的節點時鐘狀態建模源于自身節點擾動的物理模型(而不依賴于其他節點),稱方程(1) 為絕對時鐘狀態模型.

2 本地能觀測性解耦觀測器

2.1 大規模系統本地觀測器

現有研究均采用相對時鐘狀態模型,及相對時鐘量測模型以獲取時鐘狀態的觀測值.因采用相對時鐘模型,則收斂性能依賴于網絡規模.本節將討論我們提出的從文獻[2] 的絕對狀態空間模型出發,構建能觀測性系統量測方程的新方法.

節點Si和它的鄰居節點Sj之間的雙向時間戳交換如圖1.不同于文獻[2],我們在量測關系上平等地對待Si和Sj,例如式(10),同時存在和

事實上,IWSN 有一系列的不可靠的因素,會對時間戳丟失產生影響.因此,我們必須考慮時間戳丟失的影響(全面的丟包假設參見文獻[21,28];可擴展說明參見第3 節).在一輪雙向信息交換過程中(如圖1 所示),無論哪一部分的時間戳丟失,它將影響時間戳交換輪次的成功,只要兩個相鄰節點在有限的時間內沒有接收到相應的時間戳,就認為這一輪時鐘信息交換失敗,也就是說,包發生了丟失.

圖1 一組時鐘信息交換過程和互為對稱量測信息) Fig.1 Aset of clock information exchange processesandare symmetrical measurement information each other)

對于時間戳交換事件僅有兩種情形:交換成功或者失敗[15].使用伯努利隨機變量描述節點Si和節點Sj間第k次信息交換的丟包事件.如果成功,則=1;否則(見表1).假定隨機變量(k ∈N) 遵守獨立同分布[15],則=1)=φi,j,0)=1?φi,j,φi,j為節點Si和節點Sj間的接收概率;假定隨機變量和彼此獨立(l/=i且n/=j或l/=j且n/=i),則

2.1.1 問題的提出

根據附錄A 的詳細分析,文獻[2] 利用雙向信息交換機制建立的系統量測模型,結合完全解耦的節點時鐘狀態轉移方程(1),由此得到的系統時鐘狀態空間模型,無法滿足系統狀態的能觀測性.

由附錄A,從現代控制理論視點,對于子系統的量測模型,不管是一對鄰居節點的一組量測,還是多對鄰居節點的多組量測,子系統的量測矩陣C都不可逆,即根據當前步的觀測值不能馬上確定系統當前步的狀態,進一步得知子系統的能觀測性矩陣Wo的秩不為2|N[i]|(Rank(Wo)=2|N[i]|?2),即無論多少組觀測值都不能確定子系統當前步的狀態,換句話說,子系統是不可觀測的.

2.1.2 物理過程分析、策略、M M SE 等價變換

根據現代控制理論,通過量測值確定系統內部的狀態,正確地選擇合適的量測模型是保證系統能觀測性的關鍵.為此,我們引入BMU,深入研究雙向信息交換的物理過程本質,希望能夠建立一個輔助的絕對時鐘量測模型.

結合輔助量測模型,通過線性變換,將文獻[2]的相對量測模型轉換為一個具有MMSE 性能等價的解耦量測模型,從而保證系統的能觀測性.參考這個等價變換過程,構造一個修改的卡爾曼濾波觀測器.將其描述為下面的定理1.

定理1.考慮式(8),(10),(11)和式(15),BMU的能觀測性已構建MMSE 等價性能量測的必要條件:建立方程(8)～(16) 為系統能觀測性量測模型的演化線索.在BMU 分析模型下,構造符合物理過程的輔助量測模型,通過MMSE 量測性能等價變換,建立實現子系統能觀測性的量測模型,實現子系統的能觀測性.

已經證明(參見定理2),通過將方程(11) 中的獨立量測噪聲線性轉換為相關量測噪聲(由文獻[29,6.6 節] 信號處理實例,易獲得量測“相關噪聲”的理解).運用分布式卡爾曼濾波能夠實施MMSE 量測.

證明.

1) 能觀測性策略.BMUs 能觀測性的清晰證明可以參考附錄B.這一部分是方程(8)～(16) 實現能觀測性證明的精煉版本,提示我們理解關鍵點.

2) 能觀測性的量測模型–物理過程分析.這一部分將分析雙向信息狀態量測的物理模型與MMSE等價線性變換.

對于時鐘讀數模型,可以表達為標準時間和累積時鐘偏移形式

當節點Si在第k次同步周期發送時鐘信息時,這里k?τ0是參考時間,而dij是節點Si和Sj間的固定時延(且dij是對稱的[2,4]),D是量測節點Sj發送應答信息的相應時間;是在節點Si和節點Sj傳輸過程的隨機時延;是在節點Sj和節點Si傳輸過程的隨機時延.□

注意到,由統計信號處理的建模觀點,由文獻[29] 中的6.6 節,文獻[2] 的建模參數能夠通過技術方法獲得(例如,量測方程(文獻[2] 中的式(17)) 的噪聲量測的統計方差).而觀測方程(7) 和(8) 則無法直接獲得.因此,文獻[2] 中的式(17) 做為建模的假設前提是合理的.

1) 輔助參考絕對量測狀態是真實存在的,但不可直接獲得

如果每一個節點Sj從節點Si處接收到發送的信息,響應立即給出,我們能夠使D=0.關于節點Si鄰居的所有的觀測方程(7) 組集在一起,能夠得到

針對節點Si的局部子系統的絕對時鐘狀態量測方程可表達為

式中,n ∈{1,2,···,2|N[i]|},且m ∈{1,2,···,2N}.

因為存在標準時間k?τ0和固定時延,不能直接獲得γi,k,因此,需要另一個量測模型.根據式(3)～(6),我們能夠得到節點Si的觀測模型(對稱量測信息可以通過另一組時間戳獲得,存在于輔助量測節點中)

2) 雙向信息交換、采集輔助相對狀態量測

以節點Si為中心的所有觀測方程(10) (即方程組(10)的第1 個方程) 進行組集:

式中,z i(k)=是系統的狀態量測.在實際中,和對應的對稱量測信息,用于更新絕對狀態輔助量測,并通過輔助量測的更新消息彼此互傳(參見附錄B).Hi∈是量測矩陣,滿足

υi(k)∈是量測噪聲,符合0均值和協方差矩陣為

注意到矩陣HHHi的特殊結構,能夠從觀測模型(11)中提取它自身節點和所有鄰居節點的狀態

3) 組集參考絕對量和相對量的量測

對于所有Si,式(8) 和式(11)作為行交替地組集在一起,我們能夠得到全局量測模型

4)局部子系統量測的 M MSE 等價線性變換

式∑中,n ∈{1,2,···,2|Ni|},m ∈{1,2,···,.Nj(o)參見注1.Pi(n,m) 直觀的理解參見附錄D-2中的“物理變換矩陣”.

5) 能觀測性系統量測方程

在實際的大規模網絡中,通過使用方程(13) 的信息交換,能夠實現如方程(14) 所示的MMSE 等價變換(附錄B).為了證明量測方程(11) 在輔助量測方程(8) 的協助下存在MMSE 量測性能解耦,對應于式(11),在式(14) 中抽取偶數行,我們得到一個解耦的量測方程,在MMSE 量測的等價變換上等價于能觀測性方程(13)～(15).

式中,y i,k=ViYYY i ∈是系統狀態量測;C i=V iΓi ∈是量測矩陣,滿足

νi(k)=Viψi ∈是量測噪聲,符合0 均值和協方差矩陣并且V i ∈是對應于節點Si的提取矩陣,滿足

注意到矩陣Ci的特殊結構,Ci中對應于其他節點的值(除了S i) 是0.因此,對于節點Si的解耦量測模型為

為了區分觀測方程(11) 和(15),我們稱觀測方程(11) 是耦合觀測方程,且觀測方程(15) 是解耦觀測方程.在下面的設計過程中,將解耦觀測方程視為理論分析工具.

定理2.在BMU 能觀測性量測模型的必要條件下,系統存在MMSE 性能等價變換.

證明.

1) 基于BMU 的MMSE 等價變換(拆分觀點).

證明參見附錄C.

2)多量測BMU 的MMSE 等價變換(含丟包矩陣的拆分觀點).

證明參見附錄D.□

2.2 含量測丟包的卡爾曼濾波

對于本文的多鏈路觀測模型,任一節點Si共有|Ni|個鄰居節點,則在對稱雙向信息交換時鐘同步機制下的一次時鐘同步信息交換中,Si共進行了|Ni|次信息交換.其中每一次信息交換都有可能會發生丟包事件,χg表示第g種丟包情況(參見表1).

使用解耦觀測模型(15) 和耦合觀測模型(11),能夠建立解耦觀測器和耦合觀測器.并針對觀測器量測的MMSE 性能等價變換進行了深入分析.不同于文獻[2],已嚴格證明存在卡爾曼濾波的MMSE等價變換(參見定理2).

考慮系統的狀態空間方程(1) 和解耦觀測模型(16),沿著文獻[9,15] 中的分析,我們組合了所有的丟包情形,并創建了修正的卡爾曼濾波:

考慮系統狀態方程和第3.1.2 節中耦合量測方程(12),以及輔助絕對量測方程(9),能夠建立修正的分布式卡爾曼濾波.耦合量測方程(12) 僅處理它自身節點和所有鄰居節點的狀態.修正卡爾曼濾波的量測更新將寫為下面的分布式形式

3 時鐘同步長期運行穩定性統計邊界

在絕對時鐘建模(通過必要的基礎性噪聲建模,以量化時鐘同步精度,方便用于大數據分析) 的基礎上,能夠得到基本包丟失假設模型下的時鐘同步精度分析的保守邊界.更多引入Markov 等包丟失模型[21],將進一步細化時鐘同步精度的邊界分析.

我們已經提出與模型具有MMSE 量測性能等價的解耦模型(16).子系統中心節點的MMSE 優化性能(通過鄰居輔助測量節點) 與系統中其他子系統中心節點的MMSE 優化性能一致(相鄰子系統有重疊).因此,本節針對本地子系統中節點的“可靠性邊界”分析能夠應用于全局系統中的所有節點.

卡爾曼濾波穩定性依賴于誤差協方差矩陣Pi(k)=Pi(k|k?1) 收斂于某一有限矩陣.從前面的討論,我們知道量測更新式(27) 和式(28) 在量測丟失的情形下,理論上是MMSE 性能等價的,且將式(23) 和式(26) 代入式(21)

我們知道,對于沒有量測丟失的理想通信網絡(πi,k=I),偶對(A,Q i) 的穩定性和偶對的可檢測性能夠確保Pi(k) 從任一初始條件收斂為唯一值[31].在量測丟失的情形,對于給定的初始條件P i(0),沿著時間傳播的誤差協方差矩陣(按時間排列的序列)是一個隨機過程.考慮平均意義上的收斂,也就是,當k→∞時,E[Pi(k+1)]=E[E[Pi(k+1)|Pi(k)]]≤∞,且如文獻[15] 中那樣,建立相應的收斂條件和穩定域邊界.如文獻[15] 那樣,我們以如下定理的形式給出收斂條件:

定理3 (時鐘同步的收斂條件).對于給定的穩定系統(1)和(16),也就是矩陣偶對(A,Qi) 和(A,是可控和可觀測的,?0≤{φc,1,···,φc,|Ni|} ≤1,使得limk→∞E[Pi(k)]=∞,如果所有量測的接收率都在臨界值,除了鄰居節點j,即0≤φj≤φc,j.

根據定理3,狀態估計過程的穩定性(時鐘同步過程)依賴于E[Pi(k)]的收斂性,依次依賴于相對獨立的鄰居節點的量測的接收率.由于在多通信鏈路中隨機的量測丟失,求解誤差協方差的穩態邊界非常困難.文獻[15] 通過對比文獻[9] 中研究的聚集量測方案,計算出收斂解的上界和下界,和對應的臨界接收率的上界和下界,并且得到一個連結的k維域,這里:1) 在內域的內部,系統被定義為不穩定;2) 在外域的外部,系統被定義為穩定;3) 當處于兩者之間,系統是不確定的.考慮系統(1),矩陣A的最大特征值是1,過程噪聲Q i很小,產生量測的臨界接收率下界=0,并且在匯聚情景下收斂解相應的下界接近于0.此外,對于時鐘同步系統,應該更加關注穩定性,因此,我們焦點集中在外域的外部.

量測的臨界接收率的上界能夠通過以下的優化問題進行求解[15]:

4 系統狀態可靠性與性能評估

4.1 時鐘狀態估計精度性能對比

1) 事實上,考慮運行在獨立子系統上的并行分布式濾波算法,從第4.1.1 節可知不完全能觀的量測模型將導致卡爾曼濾波不穩定.

2) 由附錄B 的“BMU 能觀測性證明”、附錄C的“MMSE 等價變換證明”,能夠移除作用于文獻[2] 中的式(17) 不能觀量測模型下的強制“K 對角化”條件(試圖解決卡爾曼濾波不穩定的狀態估計).

4.1.1 問題的進一步闡釋

1) 本地狀態估計的必要條件

本文狀態觀測器設計目標之一是使觀測誤差e(k) 的極限趨于有限值式(33),與之等價的命題是:

命題1.若為“時鐘狀態追蹤”(Clock state tracking) 系統,即通過引入合適的輸出反饋,使“時鐘狀態追蹤”誤差系統(34) 漸近穩定(即討論誤差系統(34) 的鎮定問題).

其中,e(k|k)=x(k)?對于卡爾曼濾波,使式(34) 漸近穩定,即求解合適的卡爾曼增益K使特征值|λ(A ?K C)|<1.

在經典控制理論中,即是輸出反饋系統的鎮定問題.本文以式(38)為例,若給定一組期望的特征值{λ1(A?KC),···,λ4(A?K C)}(|λi(A?K C)|<1,則存在對應的特征方程

其中,a0,···,a3是期望特征方程對應的系數.令=A ?KC,根據Cayley-Hamilton定理,有矩陣方程d()=0.

得到Ackermann 公式

d(A)是一個給定常數,若想通過式(37) 求解得到K,需保證[CA3CA2CA C]T存在Moore-Penr os e 逆.因此,[CA3CA2CA C]T一定是列滿秩矩陣.對于系統(39),通過“觀測器狀態空間極點配置”的討論[32?33],仍然等價于須式(39)在BMU 下式(38)能觀.對于卡爾曼濾波在能觀性條件下的唯一穩態解的討論,可參考文獻[34?35] (已超出本文的討論范圍.)

所以,時鐘參數確定性估計的必要條件是保證系統的能觀測性(參見附錄B).

4.1.2 性能評估模型

1) BMU 的能觀測性

a) 事實上,Si和Sj間的相對狀態能夠由(或測量(文獻[2]中的式(17)).但和Si的狀態不可觀(證明見附錄A),僅能確定xi(k) 和xj(k) 相對量測值.

b) 結合式(1) 與式(16),當系統在完全量測下時(不發生丟包),能夠得到關于節點Si的BMU 能觀測性量測模型(參見附錄B)為

BMU 的能觀測性證明詳見附錄B.

2) 子系統的能觀測性(BMU 的線性組合)

證明詳見附錄B.1.性能評估請參見第4.1.3 節.

4.1.3 仿真與性能評估

定義根平方均方誤差(Root average mean square error,RAMSE) 為

其中,? ∈{β,?},N是節點數量,M為試驗次數.

定義根平方誤差(Root mean square error,RMSE) 為

其中,? ∈{β,?}.

1) 能觀測性對卡爾曼濾波的影響

參考方程(1) 與方程(12),系統的相對量測模型為

本實例BMU 的方程定義詳見附錄A 中式(A3).

根據附錄B,我們認識到若想確定性估計可控的時鐘參數,必須保證系統的能觀測性.式(39) 中,在BMU 下,能觀測性矩陣的秩是2,意味著式(39)是一個不完全能觀測的系統(附錄A).本實例比較基于式(39) 和基于式(38) 的RMSE 和RAMSE,以此評估系統的能觀測性對卡爾曼濾波穩定性的影響.

由圖2 和圖3 可以看出,系統能觀測性的缺失造成了其對應的卡爾曼濾波不穩定,即β(k) 和之間的偏差,即RAM SE(β(k)),隨著步數的增加而增大.并且RM SE(β(k)) (或RM SE(?(k))) 具有同樣的變化趨勢.而圖中基于式(38) 的卡爾曼濾波則可以正常完成濾波.

圖2 可觀性對BMU RAMSE 系統穩定性的影響Fig.2 Effect of observability for system stability of a BMU-RAMSE

圖3 可觀性對BMU-RMSE 系統穩定性的影響Fig.3 Effect of observability for system stability of a BMU-RMSE

2) 解耦量測模型的可擴展性

解耦量測模型具有MMSE 性能的可擴展性.本實例將比較不同規模的子系統的濾波性能(本質為以BMU 為單元的多量測鏈路子系統).根據式(38),以Si為中心,有Ni個鄰居節點的子系統作如下擴展

通過觀察圖4 和圖5,我們能夠發現,隨著鄰居節點個數的增多,子系統在k時刻可以獲得更多的量測值.卡爾曼濾波的估計性能也會因此由子系統多鏈路量測“過采樣”而得到改善.從圖中可以看出,有10 個鄰居節點的子系統的RAMSE 下降最快并且也最先達到穩態.

圖4 BMU 系統RAMSE 估計性能Fig.4 Estimation performance with BMU systems-RAMSE

圖5 BMU 系統RMSE 估計性能Fig.5 Estimation performance with BMU systems-RMSE

4.2 不可靠工業物聯網狀態追蹤性能評估

通過定理1、定理2 及MMSE 等價變換分析,子系統中心節點的MMSE 優化性能與其他子系統中心節點的MMSE 性能一致.不失一般性,本節中本地子系統時鐘同步狀態的可靠性性能評估是規模可擴展的.

在仿真中,選擇4 個節點,如圖6 所示.采樣周期τ0=0.1s且?=1,且=2.7×10?10.以節點S1為例,鄰居節點是S2,S3和S4,相應的量測方差為:Rζ1=Rυi=diag{0.25,0.125,0.5},Rν1=diag{0.5,0.25,1}.

圖6顯示從每一個鄰居節點的量測臨界接收率與收斂的誤差協方差矩陣的跡對應的上界.對于時鐘同步系統中,依賴于估計的狀態所需要的準確度,容易通過圖6 推斷出相應的網絡設施質量的需求.

圖6 測量的臨界接受率— 上限Fig.6 Critical acceptance rate of measurement —upper bound

例如,要求tr(P1) 的穩態值為0.001,則對于φ1,c,ub >0.0855,φ2,c,ub >0.041,φ3,c,ub >0.2155能夠定義為穩定.我們做1000次Mon t e Carlo 實驗(如圖7 所示).圖中顯示在丟包情形下(虛線) 和沒有丟包的情形下(實線),迭代次數與誤差協方差矩陣的跡的平均的關系,且經過驗證,經過有限時間后,在統計意義下,誤差協方差矩陣的跡(如圖7 所示) 沒有超過相應的上界.

圖7 Monte Carlo 實驗Fig.7 Monte Carlo experiment

針對本文的實驗驗證與進一步研究,相關的研究中(參見一致性算法[5,7?8]和文獻[36]) 已經存在全面的闡述.對于復雜的大數據工程的適應性驗證非常重要,仍需結合具體的工程實現細節進行分析.

5 結論

時鐘同步系統的規劃和設計中,重要的方面是同步性能的權衡.我們已經提出能觀測性MMSE等價變換的狀態解耦量測方程及全分布式修改卡爾曼濾波(適用于網絡規模化擴展).通過理論分析時鐘同步的條件和計算統計同步誤差相應的上界,當前論文在時鐘同步準確性與潛在的通信鏈路質量間已經作了量化均衡.針對規?；I物聯網的硬實時調度任務的“緊時隙”,如“工業物聯網確定性調度中TDMA 緊時隙時間精度邊界可靠性分析”具有重要的研究意義.

本文已經提供了包丟失假設下的可擴展研究的基本框架與線索.進一步,我們能夠追蹤工業無線網絡Cyber-Physical 條件下狀態估計的前沿研究,以全面考察規模化精確時鐘同步的狀態估計精度.針對時鐘同步具體應用領域,本文已經提供了必需的(理論分析的)研究參考價值;進一步擴展研究的框架線索(如Markov模型[21]等);基于綜合優化角度,在更全面完整包丟失信道模型假設下(如文獻[28]等),則能在本文卡爾曼濾波建?；A上擴展時鐘同步無線頻譜感知的狀態估計策略.

附錄A 問題的提出

文獻[2] 從一對節點出發,利用雙向信息交換機制建立系統量測模型,結合完全解耦的節點的時鐘狀態轉移方程(1),得到一個子系統的時鐘狀態空間模型(文獻[2] 中的式(17).我們以一對節點Si和Sj(BMU) 為例,分析基本量測單元的能觀測性.對于Si和Sj節點分別有下面的系統

從系統(A3) 的觀測方程可以看出,第k步的觀測矩陣的秩為1(x(k) 的維數為4),那么由Z(k)不能把x(k) 唯一地確定出來.考慮再加3 步觀測Z(k+1),Z(k+2),Z(k+3),根據系統的觀測方程和狀態方程不難得出

可以很容易知道,矩陣Wo(4)秩為2,由方程(A4)知,通過Z(k),Z(k+1),Z(k+2),Z(k+3)不能把x(k) 唯一地確定出來(不存在最小二乘解),即使再增加更多的觀測值,矩陣Wo(N)(N>4)的秩仍然為2,即還是不能把x(k) 唯一地確定出來(只能唯一確定偏斜和偏移的相對量(最小二乘解)).因此基本量測單元是不可觀的.

對于由多組基本量測單元構成的子系統,由于基本量測單元之間的相互獨立,類似一組BMU的情況,得子系統的能觀測性矩陣Wo(N)(N >2|N[i]|)的秩為2|N[i]|?2((x(k) 的維數為2|N[i]|),能夠唯一確定所有鄰居節點Sj(j ∈Ni)與中心節點Si的相對偏移量?j(k)??i(k) 和相對偏斜量βj(k)?βi(k).不能把x(k)唯一地確定出來(不存在最小二乘解),所以子系統是不可觀的.

附錄B BM U 能觀測性證明

通過上述研究得知系統(A1)是不可觀的,使用多組量測值僅能確定中心節點Si與鄰居節點Sj之間的時鐘狀態相對量,為能確定Si的狀態,通過分析雙向信息交換機制,對每一個節點建立一個自身狀態量測模型

從系統(B4) 的觀測方程可以看出,第k步的觀測矩陣的秩為1(x i(k) 中包含βi(k) 和?i(k)),那么由不能把xi(k)唯一地確定出來.考慮再加1 步的觀測,根據系統(B4) 的觀測方程和狀態方程不難得出

B.1 由BM U 組合擴展的系統層面的能觀測性證明

對于無線傳感器網絡(WSN)G(V,E),可以分成|E|組獨立的BMU,其中|E|代表無向圖G中所有邊數.Si(i={1,2,···,N})為中心及其所有周圍鄰居節點組成的子系統,分成|Ni|組BMU,|Ni|為Si的鄰居節點數.BMU(Si)={BMU(Si,Sj)|(Si,Sj)∈E,且Si,Sj∈V},其中,BMU(Si,Sj)表示由Si和Sj構成的BMU,借助輔助量測γi,k=Mixxx(k)+ζi(k),進行 MMSE 等價變換(如式(13)～(15)所示),可以得到解耦的量測方程yi,k=+νi(k) (如式(16),不含丟包時),類似BMU的能觀測證明過程,可以得到能觀測性矩陣

B.2 詳細的算法過程(量測消息傳輸、量測更新)

正是因為在實際中時鐘狀態的直接量測難以獲得,所以有必要通過一個可用量測模型和一個時鐘狀態轉移模型確定時鐘的狀態.

針對BMU,通過式(B3),我們構造出一個具有能觀測性的量測方程,并利用作為時鐘狀態的直接量測客觀存在的事實,從理論上說明(證明)MMSE 等價變換的可行性.

附錄C 可靠量測下M M SE 等價變換

整個網絡由多個相互獨立的BMU 組成,我們以一個BMU來闡述這一過程.以BMU(Si ?Sj)為例,通過雙向信息交換機制,可以得到下面的量測模型

通過能觀測性分析,知道在量測模型(C1) 和(C2) 下的BMU 系統是不可觀的.為解決BMU 系統的不可觀問題,以達到通過觀測值確定系統狀態,引入下面的輔助量測模型(絕對量測模型)

其中,Mi=[0 2 0 0] 和Mj=[0 0 0 2];量測噪聲ζi(k)和ζj(k) 為相互獨立的高斯噪聲.

借助輔助量測(C3) 和(C4),對量測模型(C1)和(C2) 進行的MMSE 等價變換可以描述為

其中,令yi,k=γj,k ?zi,k和Ci=M j? Hi=[0 2 00];yj,k=γi,k?zj,k和Cj=Mi?Hj=[0 0 0 2];νi(k)=ζj(k)?υi(k) 和νj(k)=ζi(k)?υj(k).方程(C5) (方程(C6))可以描述成Si(Sj) 依靠量測節點Sj(Si)達到觀測自身狀態.

C.1 證明過程(拆分的觀點)

因為變換(C5) 和(C6) 具有對稱性,只需證明其中一個即可.以Si為例,為證明式(C5)的變換過程是MMSE等價變換,我們以具有MMSE量測性能的卡爾曼濾波為觀測器,證明時鐘狀態x i(k)在變換之前的量測模型(C1)和(C4)下的估計誤差協方差矩陣與在變換之后的量測模型(C5) 下的估計誤差協方差矩陣趨向一致(具有相同的收斂值).

BMU 的時鐘狀態轉移方程為

由方程(C7) 和(C8) 組成的變換前BMU 系統在標準卡爾曼濾波下的驗前估計誤差協方差矩陣(State error covariance prediction)滿足

因為變換之后的量測模型(C5) 是狀態解耦的,對于Sj的狀態是不可觀的,而為了確保BMU系統的能觀測性以及不影響Si節點狀態的估計誤差協方差,需要(再次) 借助輔助量測(C4)(算法過程解釋為需要由輔助量測輸出(C4),見附錄B.2),通過消息傳遞參與Si節點的狀態估計.組合量測方程(C4)和(C5)得變換之后的量測模型為

由方程(C7)和(C1 0) 組成的變換前BMU系統在標準卡爾曼濾波下的驗前估計誤差協方差矩陣(State error covariance prediction) 滿足

對比迭代式(C9) 和(C12),知(C9) 和(C12)有相同的收斂解(卡爾曼濾波的協方差矩陣收斂值與初始值無關,它是唯一的),甚至,當設置相同的初始值時,即,可以得到,對于?k ∈N.所以量測方程(C10)和(C8)在 M MSE量測性能上是等價的,也顯示了量測方程(C1) 在輔助量測方程(C4) 的幫助下存在MMSE 量測性能解耦.由此容易得到時鐘狀態xi(k)在變換之前的量測模型(C1) 和(C4)下的估計誤差協方差矩陣與在變換之后的量測模型(C5) 下的估計誤差協方差矩陣趨向一致(具有相同的收斂值).

附錄D 多鏈路量測的M M SE 等價變換證明(拆分)

D.1 絕對量測與相對量測中丟包系數矩陣定義

將不可靠網絡下的絕對量測方程(9) 和相對量測方程(12) 展開可表示為