高速列車非線性系統的分數階有限時間控制器設計

戈萌 宋琦 胡鑫睿

列車自動運行系統(Automatic train operation,ATO)能否產生可靠的牽引與制動控制信號是高速列車安全可靠運行的關鍵問題之一,即需要針對ATO 系統,建立可靠的牽引與制動控制算法[1].而高速列車運行過程中的運行阻力,未知的車間力,不可預測的執行器故障以及復雜的運行環境[2],使得高速列車系統具有高度的不確定性和非線性.因此,開展高速列車牽引與制動控制算法的研究變得更加重要且更具挑戰性.

目前已有學者針對高速列車上述部分特性建立了牽引與制動控制算法(如:H∞控制[3]、反步控制[4]等)以實現穩定的位移與速度跟蹤控制,但很大部分研究成果多將研究重點放在系統的穩態性能上,即證明高速列車速度與位移跟蹤控制系統是Lyapunov漸進穩定的,這意味著該閉環系統最快的收斂速度是無限時間內的指數收斂,從而限制了系統獲得更好的收斂性能[5].為適應實際應用的需要,有限時間穩定性(Finite-time stability,FTS)應運而生.有限時間穩定性指在某一個固定的時間區間內系統的狀態軌跡不會超過預先設定的界限,即著重于固定時間間隔內系統的性能指標和狀態軌跡,并強調系統響應的瞬態行為[6].近年來,針對大多數實際系統,基于Lyapunov 的有限時間控制算法因其可處理外界擾動和穩定時間可調等優點而得到廣泛應用.例如,文獻[7] 提出了一種快速終端滑模(Fast terminal sliding mode,FTSM)控制算法,利用切換函數消除了奇異性問題并實現了飛行器姿態的有限時間跟蹤控制,但該控制器限制了控制參數的選取.文獻[8]在考慮系統不確定性以及外界干擾的情況下,提出了一種非奇異快速滑模控制算法以實現不確定動態系統的軌跡跟蹤,同時該控制器擴展了控制參數的選取范圍.分數階微積分(Fractional calculus,FC)將積分和微分擴展到非整數階算子,即其包含所有整數階的理論,并在傳統整數階的基礎上增加了一維(自由度)[9].對于相同的控制對象,基于已有的研究成果,文獻[10]指出分數階控制器會表現出比整數階控制器更好的控制性能.分數階控制器的優越性得益于分數階積分的遺傳衰減特性,從能量傳遞的角度來看,該性質能使得能量緩慢釋放,從而抑制抖振現象以提高跟蹤控制精度[11].目前,針對分數階控制器的研究已有些成果.例如:針對旋轉柔性關節軌跡跟蹤系統,文獻[12]設計了一種分數階積分控制器并實現了更高的控制精度.在文獻[13]中通過設計分數階PID控制器抑制了并聯機器人跟蹤任務中的外部干擾.目前,基于分數階穩定性原理的分數階有限時間控制器也已有部分研究成果,比如:為實現一類分數階非線性系統的有限時間控制,文獻[14]設計了一種新穎的快速終端滑模控制器.文獻[15]設計了狀態反饋控制器和輸出反饋控制器以實現分數階正切換系統有限時間穩定.

事實上,事關生命財產安全的高速列車牽引與制動控制系統是一個需要較快反應速度的系統,通常的Lyapunov 穩定往往不能達到預期的控制效果,甚至可能會因為多種擾動與不確定因素導致超調量過大,反應緩慢等影響列車運行安全的現象發生.同時,隨著列車速度的提高,其對跟蹤精度的要求也越來越高[16].因此,有必要為其設計具有高魯棒性和抗干擾能力的控制器以提高跟蹤控制系統的暫態和穩態性能.受有限時間控制理論和分數階穩定性原理以及現有研究成果的啟發,本文設計了一種分數階有限時間控制器以實現高速列車位移與速度有限時間內更高精度的跟蹤控制.該控制器具有以下優點:1)可同時改善系統暫態和穩態性能;2)獨立于模型,僅需已知列車位移與速度即可,易于應用且成本不高;3)可實時且有效地補償執行器故障,實現“故障后被動處理”到“故障前主動預防”的根本轉變;4)在系統運行工況變化的情況下,無需重新設計或規劃控制參數,便于應用.穩定性分析和仿真研究均可證明該控制器的有效性;相比于傳統PID 控制器的仿真結果,驗證了該控制器的優越性.

1 高速列車動態模型

根據牛頓第二定律,高速列車的縱向動力學模型為[2]:(I+R)MΛF u ?F d+(T ?I)F in,其中Rdiag{r i}是旋轉質量系數構成的矩陣;Mdiag{m i}是每節車廂質量構成的矩陣;Λdiag{λi}是效能分配常數構成的牽引/制動分配矩陣,用來確定每節車廂貢獻的牽引/制動力;F d[f d1,f d2,···,f dn]T是阻力向量;T[01×(n?1),1;I(n?1)×(n?1),0(n?1)×1]表示各車輛間相互作用力系數的矩陣,其中I代表單位矩陣.Fin[fin1,f in2,···,f inn]T是車間力向量;X是位移向量;是速度向量;是加速度向量;Fuh(?F+?(F))+Υ 是考慮了輸入非線性和執行器故障的實際牽引力,其中hdiag{h i}表示每節車廂的執行器健康參數構成的矩陣,?diag{?i}是斜率矩陣,F表示需要設計的牽引/制動力,?(F)[ε1(f1),ε2(f2),···,εn(f n)]T是截距向量,||?(F)||≤ε0,其中ε0代表未知的正常數,Υ[ν1,ν2,···,νn]T表示由執行器故障引起的不確定部分,且νi ≤<∞,存在‖Υ‖≤ν0<∞.在上述描述中i1,2,···,n是高速列車包含的車廂數量.令(I+R)M,則有

本文的控制目標為:設計控制力F[f1,f2,···,f n]T以保證實際的位移X和速度分別以較高的精度跟蹤期望的位移Xd和速度,并確保位移和速度的跟蹤誤差EX ?X d和有限時間內一致最終有界.X[x1,x2,···,x n]T和分別表示位移和速度向量;和Xd是期望的速度和位移向量,假設其光滑且有界.

2 分數階有限時間控制器設計

首先,為設計分數階有限時間控制器,定義濾波變量S0為

其中γ1diag{γ1i},γ2diag{γ2i},γ1>0,γ2>0以及 0<ν <1均由設計者選取;?為設計者選取的小正常數;sigν(·) 被定義為sigν(E)[|e1|νsign(e1),|e2|νsign(e2),···,|e n|νsign(e n)]T.

定理1.S0如式(2)中定義,若S0是有限時間內一致最終有界的,則位移和速度跟蹤誤差E和也是有限時間內一致最終有界的.

證明.由于S0是一致最終有界的,則可假設其滿足||S0||≤?,結合式(2),有S0?,其中,||?||≤?,?[?1,?2,···,?n]T表示位于S0的收斂域中的某個點.

下述證明以標量形式開展以便于理解,包括以下兩種情況:

情況1.考慮|e i|≥?成立,且|S0i||?i|≤?(i1,2,···,n),則結合式(2)有

整理上式可得

選取Lyapunov 候選函數

根據式(4),V1對時間的導數可表示為

若θ1i >0和θ2i >0 成立,則有

根據文獻[17]中定義1,若θ1i >0和θ2i >0 成立,則位移跟蹤誤差e i是一致最終有界穩定的,且穩定時間滿足

其中,ei(0) 為位移跟蹤誤差初值,min(θ2i).由>0和可得|e i|>?/2γ1i,|e i|>(?/2γ2i)1/ν.結合|e i|≥?,可知位移跟蹤誤差e i可在有限時間內收斂到?e:max(?,?/ 2γ1i,(?/2γ2i)1/ν),根據式(3),速度跟蹤誤差可在有限時間內收斂到≤|?i|+

情況2.考慮|e i|

綜合以上兩種情況,可知若S0是有限時間內一致最終有界的,則位移跟蹤誤差E將會在有限時間內收斂到區域?E:max{?,?/2||γ1||,(?/2||γ2||)1/ν}中,同時,速度跟蹤誤差E˙ 也是有限時間內一致最終有界的.□

其次,為引入分數階積分算子以提高控制器的控制精度,定義濾波變量S為

其中,γ3diag{γ3i},γ4diag{γ4i}(i1,2,···,n),γ3>0,γ4>0以及0<ν <1 均由設計者選取.

根據定理1,為確保位移和速度誤差E和有限時間內一致最終有界,需證明S0的有限時間穩定性.因此,結合S的定義提出以下定理.

定理2.S如式(8)中定義,若S有限時間內一致最終有界,則當t>T2時,S0一致最終有界.

證明.若S是一致最終有界的,則可假設其收斂于 ?1,即||S||≤?1成立,有Sψ,其中||ψ||≤?1且ψ[ψ1,ψ2,···,ψn]T代表位于S的收斂域中的某個點.

根據分數階性質:若存在兩個常數滿足α1>α2>0,則成立.根據式(8)兩邊同取r階導數得

其中,r滿足0

相似地,下述證明仍以標量形式展開:

情況1.考慮s0i滿足|s0i|≥ε,其中ε>0 是一個小正常數,且成立,則有

選取Lyapunov 候選函數

根據分數階性質:當 0

因此,若γ4i >0和>0 成立,則基于分數階Lyapunov 穩定性理論,s0i將會漸近地收斂到區域 ?s0i:max{ε,?2/γ3i}.

情況2.考慮s0i滿足|s0i|≤ε.顯然,s0i已在區域中.

至此,可證明出當t →∞時,s0i是一致最終有界的.為證明s0i的有限時間穩定性,開展以下分析.

基于文獻[18]定理3 以及α>0,β >1,有

根據分數階性質:若 0

基于Riemann_Liouville 分數階積分的定義,上述不等式可重寫為

因此,S0有限時間內一致最終有界.□

至此,結合定理1 和定理2,為確保位移和速度跟蹤誤差E和有限時間內一致最終有界,需設計合適的控制器以確保S在有限時間內一致最終有界.為設計分數階有限時間控制器,結合S和S0的定義和系統模型(1),可得

其中,

令G(·)Λhδ(F)+ΛΥ+[(T ?I)F in?F d]+L(·),則系統可描述為

G(·)是一個矢量非線性函數.若利用神經網絡直接逼近,則可能會陷入代數循環.因此,標量化處理G(·):‖G(·)‖≤||Λh||ε0+||Λ||ν0+‖L(·)‖+‖(T ?I)×F in ?F d‖σ(·),進而,可轉化為逼近標量函數σ(·).徑向基神經網絡(Radial basis function neural network,RBFNN)因其簡單、快速學習和可廣泛逼近的特性而廣受歡迎[19].所以,利用RBFNN 逼近σ(·),即σ(·)WTΦ(Z)+δ(Z),其中,Φ(Z)[?1(Z),?2(Z),···,?N(Z)]T∈RN是關于Z[X,X d]T的基函數,且W ∈RN是最優的常數向量.?k(·),其中,k1,···,N,Z[z1,···,z q]是RBFNN 的輸入向量.C kj[c k1,···,c kq],Bkj[b k1,···,b kq] 分別是與輸入向量每個元素均相關的高斯分布函數的中心狀態和標準偏差,其中,j1,2,···,q,q是第k層的神經元數量,N代表隱藏層的數量.根據通用的逼近理論,神經網絡的重構誤差可合理的假設為||δ(Z)||≤δmax<∞.

為分析分數階有限時間控制器的穩定性,σ的上界可表示為

其中,ρmax{‖WT‖,δmax}是一個非負常數且Φ||Φ(Z)||(下同).

定理3.基于式(1)中描述的列車系統,若建立下列控制律

其中,S如式(8)中所定義,c1>0 ,c2>0 ,c3>0,0<ν <1以及ηdiag{η1,η2,···,ηn}(ηi >0) 均由設計者選取.是ρ的估計.則當t>T3時,S是一致最終有界的,進而可保證位移和速度跟蹤誤差E和也是有限時間一致最終有界的.

證明.選取Lyapunov 候選函數

依據式(17)以及上述控制律,V3對于時間的導數為

根據 Λh?ΛT中各量的定義可知,Λh?ΛT是一個n維方陣,則其最小特征值可假設為λmin.利用0<λ<λmin(Λh?ΛT),可得

其中,ST(Λh?ΛT)sigν(S)>>0 .

基于(1+Φ)||S||≤c2(1+Φ)2||S||2+1/(4c2),化簡上式得

其中,ι1min{2c1λ/,c3}>0,ι2(c3ρ2)/(2λ)+ρ/(4c2)<∞.

從上式可得,若S在區域?1{||S||≤外,則≤?c1λ||S||2+ι2<0 成立.基于Lyapunov 穩定性理論,S會漸近地收斂到區域 ?1中,即S一致最終有界.此外,求解式(27)易得V3≤e?ι1t V3(0)+ι2/ι1∈?∞.結合式(22),可知也是一致最終有界的.因此,可合理假設存在一個小正常數ζ滿足 (ρ ?≤ζ.

至此,可證明當t →∞時,S一致最終有界.為證明S的有限時間穩定性,選擇新的Lyapunov 候選函數為

應用與式(23)～(25)相似的處理,V4對時間的導數為

其中,0

基于假設 (ρ ?)≤ζ,上式可改寫為

根據文獻[17] 中定義1,若ι3>0和ι4>0 成立,則S是有限時間穩定的.即,若c1>c2ζ(1+Φ)2成立,則當t>T3時,S將會收斂到?2{||S||≤1/(ν+1)},且穩定時間T3滿足T3≤2/(ι3(1?ν))ln((ι3(S(0))+ι4)/ι4).

綜上所述,當t>T3時,S將會收斂到區域?Smax{?1,?2}.結合定理1 和定理2,可確保位移和速度跟蹤誤差E和E˙ 有限時間一致最終有界.□

3 仿真研究

為驗證所設計控制器的有效性和優越性,選取具有5 節動車3 節拖車的CRH-5A 型列車進行仿真驗證.每節車廂的相關參數如表1 所示.需要說明的是這些參數僅用于仿真模型的建立,而在所提出的控制器中是不需要的,即選擇其他合理的參數值同樣可行.列車運行工況包括兩個牽引加速階段,四個巡航階段以及三個減速制動階段.最后,為驗證所設計控制器的容錯性能,車輛2,車輛5和車輛6 的執行器設置為部分故障,并以執行器健康參數h2,h5和h6的取值來表征.本仿真研究的控制目標是讓實際的速度和位移X在有限時間內跟蹤上期望的速度和位移Xd.

表1 列車相關參數Table 1 Parameters of the vehicles

為驗證所設計控制器的優越性,選取傳統的PID 控制器作為比較對象,兩控制器的控制參數選擇如下:

1)所設計控制器的控制參數:r4/9 ,ν0.8,c12×105,c210 ,c30.01 ,ηi2×105,ηdiag{ηi},γ1i0.1,γ1γ2diag{γ1i},γ2i1,γ3γ4diag{γ2i}.

2)傳統PID 控制器的控制參數:kP2×105,k D2×105,kI2×106.

3)徑向基神經網絡關于Z[X,X d]T的基本函數 Φ(Z) 可通過中心狀態C1[0,0.1,√0.2,0.3,0.4,0.5?0.1,?0.2,?0.3,?0.4]和偏差×ones(10,1)以及實際的速度和位移X和期望的速度和位移Xd計算獲得;q10 代表隱藏層神經元數量,N1 代表隱藏層數量;ρ的估計可有自適應更新算法(21)獲得,而不需要“試錯”過程,且滿足0 .

4)所設計的控制器的控制參數是以讓跟蹤誤差收斂到可接受的誤差范圍內的標準選取的,位移和速度的初始跟蹤誤差值選擇了 0.005 以便于更明顯地描述穩定時間.

從圖1 易知,基于分數階有限時間控制器的高速列車位移和速度可穩定的跟蹤期望的位移和速度;且相比于傳統的PID 控制器,分數階有限時間控制器可減小高速列車位移和速度跟蹤控制誤差,尤其是在列車運行工況轉換時.為更詳細的描述在所設計控制器下的位移與速度跟蹤誤差的穩定時間,對t ∈(0,200) 階段進行了單獨仿真,如圖2 所示,位移和速度的跟蹤誤差可在 10 s 內收斂到可接受的誤差范圍內.在此仿真中可接受的位移和速度的誤差范圍分別是±0.012m 和±0.0025 m/s.

圖1 基于分數階與傳統PID 控制器的跟蹤過程和誤差Fig.1 The tracking process and errors of the fractional-order or PID controller

圖2 分數階控制器在 t ∈(0,200) 的跟蹤過程和誤差Fig.2 The tracking process and errors of the designed controller in t ∈(0,200)

因此,相比于傳統的PID 控制器,分數階有限時間控制器不僅具有更高的跟蹤精度(穩態性能),而且可實現有限時間內的收斂(暫態性能).同時,該控制器具有更強的魯棒性和抗干擾能力.

4 結論

本文針對具有高度不確定性和非線性特征的高速列車非線性系統,結合有限時間控制理論和分數階穩定性原理,設計了一種分數階有限時間控制器以實現高速列車位移與速度的更高精度且更快速的跟蹤控制.該控制器不僅可利用分數階積分的遺傳衰減特性提高穩態性能,而且可利用含有的分數冪項使控制器具有更強的魯棒性和抗干擾能力.同時,該控制器因具有有限時間穩定性而使系統能夠具有更好的暫態性能.此外,該控制器不需要系統參數的詳細信息,只需已知期望的速度和位移以及當前實際的位移和速度即可,因此其易于實現且應用成本不高.而且,該控制器能夠實時有效補償執行器故障,并實現了“故障后被動處理”到“故障前主動預防”的根本轉變.特別地,該控制器的穩定時間可通過選取不同的控制參數以實現一定程度上的調整和估計.最后,仿真結果驗證了所設計控制器的有效性和優越性.