GPS 坐標時間序列粗差剔除方法比較分析

舒 穎

（中鐵第四勘察設計院集團有限公司，武漢 430063）

0 引言

全球定位系統（global positioning system,GPS）測量過程中會產生多種誤差，如電離層延遲誤差、對流層延遲誤差、多路徑效應[1-3]等。這些誤差都已經建立大量誤差模型來消除和減弱其對GPS 數據的影響。然而在定位測量過程中受多種因素的影響仍然會存在一些粗差，其存在會使得坐標、速度估值存在偏差[4]，給測量結果的精度帶來很大的影響；并且GPS 速度不確定性受GPS 噪聲模型的影響比較大，如果不對噪聲模型進行準確估計，會引起速度的有偏估計。因此有必要對GPS坐標時間序列進行粗差探測并選擇準確的噪聲模型，來保證獲取的GPS 坐標時間序列的可靠性。GPS 坐標時間序列中常用的粗差探測方法如5 倍中誤差法（5σ）、3 倍中誤差法[5]（3σ）。由于GPS 坐標時間序列主要表現為有色噪聲特性，并不符合正態分布的高斯白噪聲，上述方法在粗差探測中，應用受到一定限制[6]。為了更加有效地探測和剔除GPS 臺站位移序列的粗差，本文采用常見的幾種粗差剔除方法對GPS 坐標時間序列進行處理并比較各種方法的優劣性，接著對剔除粗差后的GPS 坐標序列進行噪聲模型分析，總結粗差剔除前后時間序列的最佳噪聲模型，以獲得更加可靠的結果。

1 粗差剔除方法基本原理

1.1 3 倍中誤差法

3 倍中誤差法基本原理是假設測得的觀測數據為L（ii=1,2,???,n），相應的殘差為v（ii=1,2,???,n），根據誤差理論，隨機誤差σ服從正態分布，σ為標準差，一般是未知的，通常用貝塞爾公式算得S代替σ，以L代替真值，其計算公式[7]為

對某個時刻的觀測值Li，若其殘差滿足大于3 倍標準差的條件，則認為觀測值Li為粗差。

1.2 中位數絕對偏差法

中位數絕對偏差法簡稱MAD 法。MAD 法最突出的特性是抵抗粗差，它不要求對原始時間序列進行插值[8]，其計算公式為

式中：Xi、Xj（i,j=1,2,???,n）為某個時刻的觀測值；MMAD為觀測值序列的中位數絕對偏差值。對正態分布的數據使用MAD 法得出的值與標準差相似，本文使用的MAD 值實際上為3×1.482 6×MAD，這樣算出的中位數絕對偏差與3 倍中誤差接近，但不等于3 倍中誤差。

1.3 四分位距法

為了更加有效地探測GPS 臺站位移序列的粗差，本文嘗試采用四分位距（interquartile range,IQR）粗差剔除方法對其進行處理[9]，首先采用最小二乘方法對位移時間序列進行線性擬合求出趨勢項，對趨勢項進行去除得到位移序列的殘差序列，接著將殘差序列按照從小到大的順序進行排列，計算殘差序列的四分位數間距，P25 稱下四分位數（Q1），P50 稱中位數（Q2），P75 稱上四分位數（Q3），下四分位數、中位數和上四分位數分別為排序后序列第25%、50%、75%的數值，將P75與P25 之差定義為四分位數間距（IQR）。具體計算方法如下：

1）上四分位數Q3的位置為(n+1) ×0.75，n表示項數；

2）下四分位數Q1的位置為(n+1) ×0.25；

3）四分位距IQR的計算，IIQR=Q3?Q1，IIQR為殘差序列的四分位數間距值；

4）計算a、b，a=(Q1?1.5IIQR)，b=(Q1+1.5IIQR)；

5）原始序列中位于（a，b）區間之外的值，則為粗差[10]。

1.4 GPS 坐標序列精度評價指標

本文通過計算 GPS 坐標時間序列的均方根（root mean square,RMS）來分析共模誤差對GPS坐標時間序列的影響程度[11]。RMS的計算公式為

式中：RRMS為序列的均方根值；vi為時間序列第i個值的殘差；N為公共歷元的數量。

1.5 GPS 最優噪聲模型估計準則

為了對噪聲模型進行更加準確的估計，本文在傳統極大似然估計法（maximum likelihood estimation,MLE）的基礎上，采用赤池信息量（Akaike information criteria,AIC）和貝葉斯信息量（Bayesian information criteria,BIC）的方法進行模型判定，以獲得更加穩健的噪聲模型估計結果[12]。其基本原理為：

式中：AAIC為樣本的赤池信息量；BBIC為樣本的貝葉斯信息量；L為對應模型下的似然函數；n為樣本觀測的個數；k為變量個數。

當似然函數L越大，對應的模型越趨近于真實模型，此時AIC/BIC 值最小。當AIC、BIC的結果不一致時，此時需要BIC 準則才能獲得較為準確的估計結果，即BIC值最小的模型是更加可靠的模型。基于此，本文對濾波后坐標時間序列的噪聲模型進行估計分析，考慮多種噪聲模型組合，探討不同條件下GPS 坐標時間序列的最佳噪聲模型，為GPS臺站速度估計以及相關參數估計提供有力的根據。

2 實驗與結果分析

為了比較GPS 坐標時間序列采用5 倍中誤差法、3 倍中誤差法、中位數絕對偏差法、四分位距法這4 種粗差剔除的效果，選取了國際全球衛星導航系統（global navigation satellite system,GNSS）服務組織（International GNSS Service,IGS）分析中心、美國噴氣推進實驗室（Jet Propulsion Laboratory,JPL）通過GIPSY 軟件解算的40 個GPS基準站坐標時間序列進行分析，其坐標序列可以通過文獻[12]給出的網站下載。對GPS 坐標時間序列中的粗差采用上述方法進行剔除，通過比較粗差的剔除率和去除粗差后序列的RMS 值以獲得效果最優的方法。

2.1 數據選取及預處理

經過計算和挑選，本文最終在全球區域內，選取1996—2016 年這20 a的40 個GPS基準站的數據來進行粗差的探測與剔除，這些基準站的名稱及所在位置如圖1 所示，站點坐標信息如表1 所示。

圖1 GPS基準站名稱及其所在位置

表1 本節實驗所用GPS基準站的經緯度

2.2 4 種粗差探測方法的比較和分析

為了較為直觀地描述粗差剔除前后的GPS 坐標時間序列，本文列出了部分站點時間序列垂向分量上的粗差剔除情況，如圖2 所示。從圖中可以看出：GPS 時間序列中或多或少存在大幅度偏離正常值的觀測值，即我們要剔除的粗差，4 種粗差剔除方法在一定程度上能探測出并且去除這些“不正常”的觀測值；且由于4 種方法選取閾值的方式和大小不同，造成了粗差剔除效果上的不同。

圖2 部分測站粗差剔除前后的序列

為了定量分析4 種濾波方法去除粗差的效果，本文計算并對比4 種剔除方法的粗差剔除率（百分比），在無錯誤剔除數據的情況下，該值越大，表明剔除效果越好。表2 為用4 種粗差剔除方法所處理站點剔除率的結果。

表2 4 種粗差探測方法的剔除率比較 %

（續）

由表可以看出4 種方法效果的優劣性：四分位距（IQR）法的效果優于MAD 法；MAD 法優于3 倍中誤差法；3 倍中誤差法優于5 倍中誤差法。為了使統計結果更加可靠，我們進一步對40 個站去除粗差前后序列的RMS 結果進行統計分析。表3 給出了使用不同方法去除粗差前后序列RMS的最大值（Max）、最小值（Min）、均值（Mean）。

表3 4 種方法去除粗差前后站點序列的RMS 統計分析結果 mm

從表可知，就RMS 均值而言，用4 種方法去除粗差后序列的 RMS的均值在東（E）方向、北（N）方向上相對于原始序列有小幅度降低，在垂直（U）方向分量上有大幅度減小，即去除粗差后序列的均方根明顯變小。

用4 種方法去除粗差后序列的RMS的最大值、最小值在每個方向上相對于原始序列均有大幅度降低，且以四分位距法的效果最佳。

對40 個GPS基準站序列的RMS 最大值、最小值進行統計：東方向濾波前最大值為87.52 mm，最小值為 10.89 mm；北方向濾波前最大值為49.30 mm，最小值為2.34 mm；垂向分量濾波前最大值為215.81 mm，最小值為6.43 mm。

四分位距法剔除粗差后序列的RMS 在東方向最大值為37.12 mm，最小值為2.95 mm；北方向最大值為42.53 mm，最小值為2.25 mm；垂向分量最大值為16.57 mm，最小值為4.75 mm。

剔除粗差后的序列RMS 平均值比原始序列的RMS 平均值在E 方向分別下降了56.1%、62.3%、61.1%、63.7%，在N 方向上分別下降了15.6%、20.3%、18.0%、23.7%，在U 方向分別下降了57.9%、69.0%、76.7%、82.4%。

綜上所述，GPS基準站的時間序列經粗差去除后序列的觀測值同真值之間的偏差明顯減小，即殘余坐標時間序列的不確定性和可靠性得到了較大的提高。

2.3 粗差對噪聲模型估計的影響

為了分析粗差對噪聲模型的影響，實驗數據依然采用表1 所述GPS 站點，對粗差剔除后的坐標序列進行相應的噪聲模型估計分析。

噪聲數據處理依然采用極大似然估計進行，采用白噪聲（white noise,WN）、冪律噪聲（power law noise,PL）、閃爍噪聲/白噪聲（flicker noise/white noise,FN/WN）、閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲（flicker noise/random walk noise/white noise,FN/RW/WN）4 種常用噪聲模型進行統計，建立其最優噪聲模型。表4 為圖1 所示中區域內站點采用四分位距法去除粗差前后3 個方向坐標分量的最優噪聲模型結果。

表4 4 種方法去除粗差前后最佳噪聲模型站點數統計結果 mm

由表可以看出，GPS 坐標時間序列并非都是單一的噪聲模型，而是呈現出多樣性。GPS 坐標時間序列在東方向主要呈現出白噪聲模型，占總噪聲模型個數40.0%，冪律噪聲模型占20%，閃爍噪聲/白噪聲模型占35%，閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲模型約占5%。在北方向主要表現為冪律噪聲模型占20%，閃爍噪聲/白噪聲模型占52.5%，閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲模型約占27.5%。在垂向分量上主要表現為白噪聲模型占2.5%，冪律噪聲模型占32.5%，閃爍噪聲/白噪聲模型占50%，閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲模型約占15%。可以看出GPS 坐標時間序列在北方向與垂向分量上的最優噪聲模型符合度較高。

除此之外，從表4 可知，經粗差去除后，部分站點（約占總數的50%）3 個坐標分量的噪聲模型發生了改變；且在粗差去除之前，東方向上的噪聲模型主要表現為白噪聲模型和閃爍噪聲/白噪聲模型，改正后主要呈現出閃爍噪聲/白噪聲型，70%以上的站點噪聲模型發生了改變；且改正后少部分站點（約占總數的12.5%）的最佳噪聲模型為“閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲”模型。而根據現有研究表明，“閃爍噪聲/隨機游走噪聲/白噪聲”模型中的隨機游走噪聲主要是來自于觀測墩的不穩定性。這表明經過粗差改正之后，GPS 坐標序列中噪聲的長周期分量（如隨機游走噪聲）變得顯著，且大跨度的時間序列為探測低頻噪聲的存在提供了條件，尤其是隨機游走噪聲振幅較小時不能被準確地探測出來，從而被忽略，導致不能獲得最優的噪聲模型。在垂直方向，去除粗差后主要表現為閃爍噪聲/白噪聲型模型，部分站最佳模型為冪律噪聲模型，改正后主要呈現出閃爍噪聲/白噪聲模型。上述站點經粗差剔除之后，時間序列的最佳噪聲模型發生了變化，表明粗差對噪聲模型的影響較大，因此有必要對觀測序列中粗差對噪聲模型的影響進行進一步的研究。

3 結束語

本文以時間序列跨度為20 a的GPS基準站數據為基礎，利用5 倍中誤差法、3 倍中誤差法、MAD 法、四分位距法4 種方法進行了GPS基準站數據粗差的探測和剔除，并對結果精度進行了比較。結果表明：4 種粗差探測和剔除方法都能檢測出時間序列中的粗差，且以四分位距法的效果最為明顯。此外，對GPS基準站噪聲模型的建立及粗差對其的影響進行探討，結果表明去除粗差之后的時間序列的最佳噪聲模型發生了改變，且 GPS 站坐標序列噪聲模型呈現出多樣性并存在個體差異。