突出測量本質構建面積含義

2021-08-30 03:24:26陳云

小學教學設計(數學) 2021年8期

文|陳云

面積，是幾何學的基本度量之一。面積的認識需要學生明確其本質屬性：一是面積即一塊區域的大小；二是面積是一種定量刻畫。“面的認識”需要學生提升從一維到二維的空間想象能力；“面的度量”則需要學生明確度量的意義，掌握度量的方法，比較和估計“面”的大小，解決有關量（liáng）的實際問題。基于學生已有的知識經驗，我們可以看到從“線的認識和度量”到“面的認識和度量”蘊含著許多共性的數學思想和方法，這些思想和方法又會銜接后面“體的認識和度量”，甚至會對所有與“測量”相關的知識有啟發和鋪墊的作用。因此，在教學中教師需要引導學生整體把握圖形和圖形測量的本質涵義，幫助學生厘清圖形之間的關系，完成對測量的感悟、體驗和應用，只有抓住度量的起源和意義，以及一維圖形到二維圖形的本質區別才能更好地形成空間觀念，為圖形與幾何的后續學習奠定扎實的基礎。

一、激活已有經驗，感知單位量守恒

弗賴登塔爾指出:“當單位確定后，就可用同一類的數去度量所有的量，這就是數學優點。”可見，確定“單位量”在測量活動中是十分重要的，這是在確定測量的標準，也就是找到了刻畫測量對象大小的核心要素。讓學生經歷“單位量”產生和使用的過程，首先是要充分理解單位量自身的守恒性，如1 厘米的長度、1 平方厘米的大小、1 千克的輕重都是確定不變的，這是單位量基本的數學意義。其次是要促進學生認識和理解被測量整體與測量單位之間關系的，即單位量越多，整體也越大；整體再大，單位量不變，這是使用單位量進行測量過程中體現出來的獨特關系。只有讓學生充分感悟了以上兩點，才能幫助學生建立起單位觀念，為測量教學做足鋪墊。

為了激活學生已有經驗，在“認識面積”之前作為鋪墊，教師從“點動成線”開始——

展示一個“調皮的”、跑動的小“點”，學生觀察并思考：“點”跑動起來，會在屏幕上留下什么？如果這個“點”朝著一個方向筆直地跑，留下的是什么樣的“線”？“點”一直跑、一直跑……這條直直的“線”會有多長呢？

提出問題：什么樣的線才有長短？（有邊界的線）這個邊界其實就是“端點”，有了“邊界”的這條線我們就稱它為“線段”。緊接著追問：因為有“邊界”，所以有長度，有了長短就可以比較，那如何比較兩條線段的長短呢？

引發討論：結合學生的回答，教師引導學生圍繞“1 厘米是怎么來的？”“為什么可以用尺子量？”等問題展開討論，幫助學生理解：1 厘米是約定俗成的一個定量的長度單位，這個長度單位是不變的，然后用這個“單位長度”去和要測量的長度進行比較，數出被測量的長度里含有多少個1 厘米。

“點動成線”讓學生在動態中感知“零維”到“一維”的過程，回顧“線段”的比較和測量，激活學生關于測量的已有經驗，發現單位量的由來、單位量的可累加，以及初步感知單位量的守恒。

二、實現維度跨越，構建面積含義

多維空間的理解對人類來說是極其困難的，但不妨礙我們從簡單的一維、二維入手幫助學生建立空間觀念。“線”與“面”的聯系在哪里？區別又是什么？這是困擾很多學生的難題，因此造成了“認識面積”過程中的難點之一：學生受長度測量的經驗影響（甚至也包括受到一些校外輔導機構超前教學的負面影響），當教師詢問如何測量面積時，學生會第一時間想到用尺子去量一個圖形的長和寬（或者邊長），而對于不規則圖形則是一臉茫然。這其實暴露出學生對“形”的認知還停留在“一維”的層面，“長乘寬”和“長＋寬”似乎是差不多的意思，這必然導致學完周長和面積之后，學生極易混淆周長和面積的計算方法。事實上從一維到二維的轉化確實是學生空間觀念形成的一次重要飛躍，如果不能從二維的角度幫助學生辨別面積的本質意義，學習的過程就是沒有意義的。

“認識面積”教學的第二個環節從“線動成面”開始——

想象：一條“線段”動起來會畫出什么？通過PPT動態演示，學生得出線段劃過的地方就是一個“面”。

猜想：如果這條線段朝著一個方向筆直地跑，留下的是什么樣的“面”？線段一直跑、一直跑……這塊直直的、長長的，像長方形一樣的“面”會有多大呢？

思考：什么樣的“面”才有大小？基于前面的經驗，學生想到了“邊界”。“邊界”在哪里？學生發現這個“面”上、下已經有邊界了，那是由線段的長度確定的，左邊也有“邊界”了，那是線段跑動的起點，如果能確定線段跑到了哪里，也就是確定終點，那么右邊的“邊界”也有了，當任意方向這個“面”都不能再無限延伸時，“面”就有了大小，“面”的大小我們稱它為“面積”。“線動成面”的動態演示幫助學生找到了“面”的“邊界”在哪里，又是怎么來的，進而感知到“邊界”會將某一塊區域“封閉”在其中，這一塊被圍起來的區域就是“面”，因其有“邊界”，所以有“面積”。

判斷：從身邊的物體上找到“面”，判斷它們是否有面積，例如：小拇指的指甲蓋、大海的海面等等；再聚焦屏幕上的平面圖形（圖1），判斷它們是否有面積。通過這些判斷幫助學生理解：當一個圖形任意方向上都有“邊界”時，它才有面積。

圖1

描畫：引導學生描畫一組圖形的邊界，當學生突然發現“邊界”其實就是周長時無疑是驚訝和喜悅的，從起點回到起點的周長把這個圖形圍成了一個封閉圖形，這個被圍起來的一片的大小就是面積。至此，學生明白了一個圖形有了周長就會有面積，有了面積也會有周長，因為不論是周長還是面積，都存在于封閉圖形上。同時，學生還在圖2 這樣的比較中發現周長和面積的不同，周長大面積不一定大、面積小周長不一定小（圖2①周長相同，面積相同；圖2②面積小卻周長大，PPT 動態演示，面積越來越小，周長卻越來越大），并最終明白周長終究是長度，不管是圍成什么形狀，拉直了就是一條線，只會向兩端延長或縮短；而面積不僅有長度，還得有寬度，必須向不同方向鋪開來才會有面積。

圖2

三、發揮想象能力，感知二維空間

《數學課程標準（2011年版）》對“空間觀念”作出這樣的解釋：根據幾何圖形想象出所描述的實際物體、想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。可以看出，想象能力對于“空間觀念”的形成很重要。二維圖形的大小需要兩個維度的數值來刻畫，但基于學生的認知能力，如果僅靠文字表達很難幫助學生完成從一維到二維的跨越，也勢必會影響學生對空間的感知能力。如果能夠引導學生在相關信息的提示下，發揮想象能力，構建出平面圖形的模型，并通過二維的比較，獲取相應的判斷，必定能幫助學生更好地感知二維空間、建立空間觀念。

揭示面積涵義之后，引導學生展開想象并進行面積大小的比較——

主動探究：這兩組線段跑起來畫出的圖形分別是什么樣的？（出示圖3、圖4）它們的面積誰大誰小？

圖3

圖4

適時追問：圖形并沒有畫出來，你怎么就能比出大小呢？引導學生發現：可以通過已有信息想象出兩個長方形的樣子（在實際教學中，為了便于交流，我們把線段的長看成長方形的寬）。第一組兩條線段畫出的兩個長方形的“長”相同但“寬”不同，“長”相等的長方形，越“寬”面積越大；第二組兩條線段畫出的兩個長方形的“寬”相同但“長”不同，“寬”相等的長方形，越“長”面積越大。

驗證小結：PPT 畫出完整圖形，學生說一說和你想象的圖形一樣嗎？通過兩次想象和比較你有什么感受？引導學生發現長方形的面積由“長”和“寬”兩個因素共同決定，這兩個維度數值的變化都會引起“面”的大小變化，這正是二維圖形的本質特點。

四、多種比較方法，探尋面積本質要素

在面積內容的教學中，有些教師會更重視面積計算公式的獲得和應用。事實上，學生才剛剛認識面積，就急于使出用小方格測量面積大小的招數，學生過于輕易地獲得了長乘寬的計算方法，就會忽略對面積測量的一些本質要素的感悟和體會，這樣的學習顯然不是最佳的。我們由測量的內涵可知，測量活動的關鍵是比較，包括直觀比較、直接比較和間接比較，其中直觀比較和直接比較是間接比較重要的實踐和認知基礎，學生如果沒有充分感知直觀比較、直接比較的便利與不足，也就不會感受到“量化”的必要性和價值。在面積大小的比較中，至少應該有這樣兩個環節：兩個圖形，一個能完全覆蓋另一個，那么外面的圖形面積比含在里面的那個圖形的面積大；兩個圖形，相交卻彼此不包含，需要通過平移、重疊、剪拼等多元的方式進行比較。只有帶領學生經歷了以上兩個環節，感受了面積的運動、分割和相加的全過程，學生才能離面積問題的實質更近一步。

有了二維觀念下的面積概念之后，面積的比較就可以順利展開——

第一層次的比較：黑板的板面面積和數學書封面的面積誰大誰小？數學書封面的面積和老師手掌掌面的面積誰大誰小？……這些比較直觀，很顯然較大的圖形能覆蓋較小的圖形，所以通過觀察就能發現誰大誰小。

第二層次的比較：如果是如下的不同長方形（PPT 出示圖5）：這兩個長方形，可以怎么比較它們的大小？學生結合前面的經驗提出可以平移再旋轉或旋轉再平移，使兩個圖形盡量重疊（重疊的目的是利用等長或等寬，來比較另一個維度的長短）。教師繼而追問：圖形平移了、旋轉了，面積還是原來的面積嗎？學生很容易得出：平移只是改變了圖形的位置、旋轉只是改變了圖形的方向，都沒有改變它的大小。

圖5

第三層次的比較：（PPT 出示圖6）這組圖形前面的方法都不能用了，還能比嗎？學生想到：可以把紅色圖形平移重疊后多出來的部分剪下來，再移到上面和藍色圖形多出來的部分再重疊比較。那么，剪開再合并起來的圖形面積還是原來的那個面積嗎？進而又得出面積還是可以相加的。

圖6

三個層次的比較，從直觀的觀察開始，到平移、旋轉，再到剪拼、疊加，一步步深入，逐層感知面積的可比較、可疊加，以及運動不變性，同時隨著比較難度的不斷攀升，“量化”的需求也呼之欲出。

五、打通知識脈絡，聯結經驗學測量

要想完成量化測量，必然要經歷這樣幾個步驟:首先是根據被測量對象的需要選擇合適的測量單位（初學時一般會選擇比測量對象小的單位量）；其次是用單位量連續覆蓋被測量對象（為了盡可能精確要做到無空隙、無重疊）；再次就是數出或者計算出所有的單位總數（如果出現剩余還需討論剩余部分的處理辦法）。這樣的測量過程能夠得以成立，是因為過程中體現著“測量的傳遞性”“測量的可加性”“測量的近似性”等測量原理，這些原理正是數學抽象方法和推理方法在測量中的體現。實際操作時，選擇測量單位的具體表現就是確定測量工具，我們需要讓學生經歷選擇、獲得一個測量工具的過程，這有助于學生對單位量的深入理解，感悟數學模型思想。所以說，“數方格”來求面積的方法，不僅是求面積，也是在定義面積，是基于面積的有限可加性和運動不變性而存在的，也成為了一切面積問題的本源。

經歷前三個層次的面積比較，還需要繼續增加難度——

引發思考：（出示剪拼后依然無法比較大小的一組長方形）除了剛剛的一些方法，你還能想到不同的辦法來比較這兩個長方形嗎？如果學生思維遇到障礙，不妨引導學生回想課始是怎樣比較兩條線段的長短的？尺子上的1cm 就是一個小的長度，拿這個小的長度和需要測量長度的線段進行比較，數出這條線段里面含有多少個1cm 就可以了。經驗的回顧定能讓學生“恍然大悟”，原來可以用一個小的面積和需要測量的長方形進行比較。

動手操作：鼓勵學生選擇身邊的物體測量課前發到小組的大長方形。學生的選擇是多元的，有的是數學書的封面、有的是自己的手掌、也有的選擇橡皮的一個面……追問：這些東西有什么共同點？原來它們都有面積，它們的面積都比我要測量的長方形小。

反思升華：大家選擇了不同的測量工具，你認為哪個更合適？學生發現，測量工具越小、越正正方方，測量起來越準確，剩余的部分也少。那如果出現剩余又該怎么辦呢？在一系列操作和追問后，學生對“測量工具”有了充分的感悟，對更合適的“測量工具”也有了迫切的需求。至此，測量神器——小方格也就應運而生了。

應該說，測量的學習和把握對小學生來說的確不是一件容易的事情，正如蘇珊博士所說:“兒童對測量概念的理解水平要經過多年的發展，而且兒童之間各有差異。這些復雜因素都使得教學（學習）過程相當復雜。全面掌握一種單位系統需要花費大量時間，但這種付出能在以后學習其他測量單位時獲得巨大回報。耐心傾聽兒童對過程的解釋和大量的實踐才能孕育成功。”除了經歷這樣的過程之外，學生還需要正確表達測量的結果，也就是用數學語言來描述這個度量，并且在進一步表達的過程中產生為了便于人們的交流，需要統一度量衡的需求。