從『眼見為實』走向理性實證
——《長方形和正方形的認(rèn)識》整體教學(xué)的思考與實踐

文|方巧娟

三年級《長方形和正方形的認(rèn)識》一課教學(xué)，是學(xué)生從“眼見為實”的定性描述走向理性實證的定量刻畫的一次跨越，走好這一步很關(guān)鍵。筆者通過挖掘驗證的價值以及產(chǎn)生驗證不易現(xiàn)象的原因分析，針對宏觀的學(xué)段整體推進(jìn)做知識點的補(bǔ)充，利用微觀的課例設(shè)計做知識點的借力，引導(dǎo)學(xué)生從“眼見為實”走向理性實證。

一、長方形正方形特征“驗證”的價值和背后的不易

《長方形和正方形的認(rèn)識》是學(xué)生對圖形的再認(rèn)識，一年級學(xué)生直觀感性地認(rèn)識長方形和正方形，而三年級的學(xué)生應(yīng)該要走向理性認(rèn)識，也就是要對長方形和正方形的特征進(jìn)行驗證。但筆者在研磨《長方形和正方形的認(rèn)識》一課時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生要理性驗證長方形和正方形的特征非常不易，那么驗證的價值何在？背后的不易到底又在哪里呢？筆者對此做了深入思考與實踐。

1.驗證的價值：埋下理性實證的種子。

《長方形和正方形的認(rèn)識》是學(xué)生理性認(rèn)識圖形的起始課，是學(xué)生由定性感知圖形走向定量認(rèn)識的開始，也就是說這是一節(jié)學(xué)生開啟對圖形理性實證的種子課。在幾何與圖形的學(xué)習(xí)板塊中能理性認(rèn)識圖形是非常重要的，特別是學(xué)生要對垂直、平行、相等、重合等線的位置關(guān)系進(jìn)行理性實證的推理，而非眼睛看看即可。另外，對于后續(xù)其他圖形的研究和認(rèn)識也要埋下理性實證的種子，要明白眼見并非為實，需要通過度量驗證或者幾何變換對圖形特征加以驗證和應(yīng)用。

2.驗證的不易：學(xué)生的辨認(rèn)經(jīng)驗干擾與能力儲備不足。

實況一：長方形正方形特征驗證中教學(xué)現(xiàn)象描述

萬事開頭難。在磨課過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生不太愿意進(jìn)行特征驗證，一來因為學(xué)生覺得眼睛看看就已經(jīng)能判斷圖形是不是長方形或者正方形，于是驗證的過程顯得繁瑣且沒有意義；其次有的學(xué)生通過測量得到一條邊的長度就寫出了對邊的長度，這時候驗證特征就變成了特征的應(yīng)用。可見教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生認(rèn)知之間有較大的差異，不愿意驗證，把特征發(fā)現(xiàn)與特征應(yīng)用混為一談的教學(xué)現(xiàn)象比較明顯。

實況二：長方形特征自主驗證意識和能力水平測查

學(xué)生在學(xué)習(xí)《長方形和正方形的認(rèn)識》這一課時真正具備怎樣的驗證意識和能力水平呢？筆者對三年級學(xué)生做了測查和訪談。共選取城區(qū)和鄉(xiāng)鎮(zhèn)兩批學(xué)生，目的是通過測查了解城鄉(xiāng)差異以及學(xué)生真實的驗證意識和能力水平。

筆者設(shè)置了兩組筆試題目，分別如下：

測查結(jié)果表明：在辨認(rèn)長方形和正方形的前測中，城區(qū)學(xué)生的水平略高于鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)生，但是差別不大。學(xué)生對于傾斜放置的長方形和正方形辨認(rèn)有一定難度，而對于接近于長方形或者接近于正方形的圖形辨認(rèn)正確率極低，這說明學(xué)生在辨認(rèn)長方形或者正方形的時候完全依賴于定性判定的層面，也就是自覺地認(rèn)為眼見為“實”，而缺乏理性實證的意識。

而對于長方形的表述中，學(xué)生能用上下、左右一樣長，扁扁的，角尖尖的這種形象語言來描述。也會表述對稱這樣的字眼，但是對于對邊及長和寬這樣的概念是完全陌生的。正方形語言表述情況相對比較好，學(xué)生會說四條邊一樣長，四個角都是直角等特征，顯然學(xué)生對正方形的特征都有一定的了解，說明學(xué)生都看得清只是說不清，所以這個階段的學(xué)生自以為是地相信自己眼睛所看到的就是正確的。

從測查可知，學(xué)生對于辨識長方形和正方形的驗證需求和意識不足，關(guān)聯(lián)概念知識儲備也不足，從而增加了本節(jié)課推進(jìn)特征驗證的難度。

實況三：長方形正方形特征驗證的經(jīng)驗儲備

（1）應(yīng)然狀態(tài)：教材編排已經(jīng)提供的知識技能。

人教版教材編排中，我們可以看出學(xué)生主要通過直尺測量長度、三角尺直角比對、對折發(fā)現(xiàn)對邊相等等方法來驗證長方形和正方形的特征。在實際操作過程中，一般我們通過度量驗證長方形和正方形的特征，但度量有時有誤差，于是我們就要指導(dǎo)學(xué)生用對折比較這樣幾何變換的方法來發(fā)現(xiàn)邊是否一樣長，是不是直角等。那么學(xué)生會測量嗎？會直角比對嗎？會對折變換嗎？顯然從知識體系去看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了長度的測量，學(xué)過直角比對的方法，也在《軸對稱圖形的認(rèn)識》中積累了對折的經(jīng)驗等，但是學(xué)生能主動提取這些驗證的經(jīng)驗嗎？

（2）實然狀態(tài)：訪談與啟示。

學(xué)生是否具備主動提取特征驗證的方法？

于是筆者又進(jìn)行了一次訪談測查。

測查內(nèi)容：給出一個長方形，問學(xué)生這兩條邊一樣長嗎？你有什么辦法證明？還有其他辦法嗎？它們的角是什么角？你有什么辦法證明？

通過訪談，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于判斷是否一樣長和是直角都是脫口而出，并沒有一個人先進(jìn)行驗證再進(jìn)行答題，跟進(jìn)問學(xué)生如何驗證的時候，長度是否一樣大多數(shù)學(xué)生能想到測量，而一小部分學(xué)生能通過追問想出對折的方法驗證，而對于是不是直角的判斷有65%的學(xué)生能想起用三角尺的直角比對，且比對驗證后也只有個別同學(xué)主動標(biāo)識直角符號。

從這個訪談測查我們可以得到如下啟示：學(xué)生缺乏基本的驗證意識，也沒有自主驗證的需求，自主提取驗證方法的能力不足，需要教師助力喚醒，對折比較的幾何變換經(jīng)驗積累明顯不夠。可見，對學(xué)生而言，這不僅僅是方法的跟進(jìn)，更是意識的轉(zhuǎn)變，教學(xué)難度顯而易見。

二、從學(xué)段整體推進(jìn)到課例環(huán)節(jié)打磨，拉長“驗證”落地的路徑

長方形和正方形的特征“驗證”要落到實處，必須要豐富學(xué)生知識與能力的儲備，強(qiáng)化學(xué)生的驗證意識，并激發(fā)學(xué)生主動驗證的需求。

1.學(xué)段整體推進(jìn)的認(rèn)知路線———豐富關(guān)聯(lián)概念和驗證方法的儲備。

通過教材解讀和前測分析，我們發(fā)現(xiàn)這節(jié)課的知識點多且散，并需要大量的動手操作來達(dá)成，一課時完成難度立刻體現(xiàn)出來，對學(xué)生而言這也不是一節(jié)全新的課，于是整體思考教學(xué)就顯得尤為重要。筆者認(rèn)為學(xué)生關(guān)聯(lián)知識點儲備和驗證方法的能力不足可以在前期教學(xué)中進(jìn)行補(bǔ)充和強(qiáng)化。通過梳理，我們可以在以下幾個課例教學(xué)中有針對性地進(jìn)行知識的強(qiáng)化和補(bǔ)充：

一年級上冊“認(rèn)識上下前后左右”——上下前后左右是在學(xué)生描述特征時需要用到的詞語。

二年級上冊“長度測量”——積累長度測量的經(jīng)驗，“角的初步認(rèn)識、觀察物體”——認(rèn)識了直角，如何判別直角，直角符號的標(biāo)記等都會成為這節(jié)課的工具。

二年級下冊“圖形的運(yùn)動：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)”——教學(xué)軸對稱時會進(jìn)行長方形和正方形的折一折驗證，積累對邊相等、四條邊相等的經(jīng)驗。

三年級上冊“四邊形的認(rèn)識”——滲透四邊形對邊的概念。

通過這些課例的強(qiáng)化和補(bǔ)充及關(guān)聯(lián)的概念認(rèn)知、驗證方法等可以做好鋪墊工作。比如在《角的初步認(rèn)識》教學(xué)中，認(rèn)識直角，怎樣判定一個角是不是直角？判斷的方法與直角符號的標(biāo)識都要認(rèn)真扎實地教學(xué)；在教學(xué)《認(rèn)識軸對稱圖形》時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)長方形和正方形是軸對稱圖形，通過對折學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了相對的邊是相等的，而且在對折正方形的時候，學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了不僅相對的邊相等，而且相鄰的邊也相等，把對邊和鄰邊概念也提前滲透，并且積累對折的經(jīng)驗；又比如對邊的概念，我們可以在教學(xué)《四邊形》的時候加以強(qiáng)化，《四邊形》這節(jié)課是比較簡單的，那么加入辨識所有的四邊形都有對邊的認(rèn)知對于整體學(xué)習(xí)認(rèn)識四邊形都是有好處的。在《長方形和正方形的認(rèn)識》這節(jié)課之前，在知識和方法上都要做好相關(guān)鋪墊，并讓學(xué)生很好地理解，從而能從容地進(jìn)入《長方形和正方形的認(rèn)識》的教學(xué)。

2.課例環(huán)節(jié)打磨的借力生長——激發(fā)驗證需求，強(qiáng)化驗證意識。

課堂是教學(xué)的主要陣地，課堂中我們要讓學(xué)生主動地從自以為是的眼見為“實”走向猜想驗證的理性實證中去，并能將理性實證的態(tài)度慢慢生根發(fā)芽，激發(fā)驗證需求，強(qiáng)化驗證意識，并能持續(xù)地帶入到幾何圖形的學(xué)習(xí)中去。那么如何落實學(xué)生的驗證意識和方法呢？這需要我們在教學(xué)過程中精巧設(shè)計各個環(huán)節(jié)，達(dá)成事半功倍的效果。

借力點一：巧妙設(shè)置情境，激發(fā)驗證需求。

筆者在教學(xué)實踐過程中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了有趣的情境，并仔細(xì)地安排活動順序，做到結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來對教材加以理解、研究和再創(chuàng)造，這樣，不僅教師教得輕松，學(xué)生也學(xué)得愉快。

三年級的學(xué)生很難直接接受實證操作的環(huán)節(jié)。那么如何在有趣情境的支撐中讓學(xué)生愉快地完成實證操作呢？筆者設(shè)計了一個有趣的情境來完成：

（1）圖形王國在舉辦舞會，而且舞會只有長方形和正方形能參加，我請同學(xué)們來做小小“檢查”官，要看清楚來的是不是長方形或者正方形。

這時候?qū)W生興致盎然，都用自己的語言暢談對長方形和正方形的認(rèn)識，這一步就是學(xué)生對長方形和正方形特征的猜想和原生態(tài)語言表征。

（2）接著我又設(shè)計了一個進(jìn)入舞會需要制作長方形和正方形名片的環(huán)節(jié)。

這時學(xué)生的積極性就被充分調(diào)動起來了。于是我順勢出示了名片格式（圖1、圖2）：

圖1

圖2

在完成長方形和正方形的名片活動中，學(xué)生積極主動地投入到長方形和正方形邊和角的實證中去，學(xué)生通過量一量、比一比等方法去驗證，并能很快根據(jù)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)長方形和正方形的特征。這樣的一個實證過程不僅有趣，而且能同時完成對長方形和正方形的實證過程并得出結(jié)論，既節(jié)約了時間，又能通過小結(jié)發(fā)現(xiàn)長方形和正方形的特征。

接著根據(jù)學(xué)生有誤差的數(shù)據(jù)進(jìn)行追問，你還有其他辦法進(jìn)行特征的證明嗎？這時學(xué)生就會提出對折的辦法，通過個別學(xué)生演示——全班跟進(jìn)對折的方法進(jìn)行驗證，再一次激發(fā)實證的需求。

借力點二：精巧設(shè)計練習(xí)，強(qiáng)化驗證意識。

筆者設(shè)計了豐富的練習(xí)來強(qiáng)化學(xué)生對長方形和正方形特征的認(rèn)識和理性實證的重要性。

比如筆者設(shè)計了一個題組，通過小貓拉動長方形和正方形的變化（圖3），發(fā)展學(xué)生的空間想象。

圖3

在這個環(huán)節(jié)筆者出示了8 次變化，每一次都是有具體目標(biāo)指向的。比如前三次是讓學(xué)生說清楚長和寬分別是幾厘米；第4 次變成了正方形，由此學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)長和寬一樣長的時候，長方形就變成了正方形，讓學(xué)生感受到長方形和正方形是有聯(lián)系的；第5次和第6 次則是繼續(xù)拉長，原來的長就變成了寬；第6 次后引導(dǎo)學(xué)生思考再怎樣拉可以變出正方形，于是出現(xiàn)第7 個圖，這時有學(xué)生認(rèn)為已經(jīng)是正方形，再一次告知學(xué)生眼見不一定為實，我們需要進(jìn)行數(shù)一數(shù)或

者量一量才能夠驗證，再一次強(qiáng)化驗證的意識。在這樣的一個練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生對長方形和正方形的特征和各部分名稱有了進(jìn)一步認(rèn)識，而且也加深了理性實證是非常重要的認(rèn)識圖形的方式。

筆者還設(shè)計了長方形和正方形回家這樣一個練習(xí)（圖4），每個圖形我都標(biāo)注了邊的長度和角的符號，再次強(qiáng)化驗證的意識。另外一個目的是讓學(xué)生通過對長方形和正方形特征的判定來發(fā)現(xiàn)正方形其實包含了長方形的特征。

圖4

我并沒有將家的名稱直接命名為長方形和正方形，而是通過特征來命名家的名稱，從而讓學(xué)生觀察出長方形的所有特征其實正方形也是有的，有包含的關(guān)系。

再比如畫出長方形和正方形路線圖（圖5），需要學(xué)生動手實踐，促進(jìn)學(xué)生的空間觀念和思維能力的發(fā)展，同時對自己所畫圖形是否是長方形或者正方形做驗證的反饋，也增強(qiáng)了驗證意識。

圖5

通過學(xué)生想象并動手畫，把靜態(tài)的材料變成了動態(tài)的活動內(nèi)容，溝通了圖形之間的聯(lián)系，而且有些學(xué)生還能畫出斜著放置的長方形圖，這都是抓住學(xué)生對圖形特征的認(rèn)識進(jìn)而在應(yīng)用中生成，在驗證意識強(qiáng)化中體會整體教學(xué)的有效性。

綜上所述，知識點的建構(gòu)都是螺旋生長的，對于幾何圖形中理性實證的“落地”其實是很長的一個過程，我們要從宏觀的學(xué)段整體推進(jìn)中去思考積累，也要從微觀的一節(jié)課去細(xì)化落實，慢慢培養(yǎng)學(xué)生的驗證意識和驗證方法，并形成主動驗證的需求。