言之有理 落筆有據(jù)
——《比的基本性質(zhì)》教學(xué)與思考（二）

文|王敏烽

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第50 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、比一比，“類比”中萌發(fā)知識(shí)

1.課件呈現(xiàn)，觀察比較。

師：仔細(xì)觀察，它們有什么不同的地方和相同的地方？

生：不同點(diǎn)在于第一個(gè)是除法算式，第二個(gè)是比，第三個(gè)是分?jǐn)?shù)；相同點(diǎn)是它們都相等。

師：雖然它們的呈現(xiàn)方式不同，但值相等。

2.求值說(shuō)理。

師：怎樣能快速得到它們的值？

生：同時(shí)擴(kuò)大10 倍，算3÷5 就可以了；把比看做6÷10，再計(jì)算；最后一個(gè)只要約分就可以了。

師：為什么可以這樣算？

生：兩個(gè)數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變；兩個(gè)數(shù)的比也表示兩個(gè)數(shù)相除；分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

3.類比，形成猜想。

師：這些都是以前研究過(guò)的，今天我們來(lái)研究比的基本性質(zhì)。結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)大膽猜想一下，比的基本性質(zhì)會(huì)是怎么樣的？

生：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)（0 除外），比值不變。

【設(shè)計(jì)意圖：“形式不同”但“值相同”，在復(fù)習(xí)的同時(shí)，把有著某些外在關(guān)聯(lián)的三個(gè)對(duì)象同時(shí)呈現(xiàn)，為內(nèi)在關(guān)聯(lián)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好“類”的鋪墊。以求值為抓手，通過(guò)對(duì)求值原理的復(fù)習(xí)，不僅喚起舊知，提供說(shuō)理依據(jù)，還在“比”中形成對(duì)比的基本性質(zhì)的猜想?！?/p>

二、探一探，“歸納”“演繹”中生長(zhǎng)思維

1.嘗試驗(yàn)證。

師：有了猜想，接下去怎么辦？

生：驗(yàn)證。

師：請(qǐng)你創(chuàng)造一個(gè)比并結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)和探究經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證它的正確性。

2.集中反饋。

反饋1：

師：他是怎么驗(yàn)證的？

生：舉例子，同時(shí)乘以10，但比值都是相等的。

師：舉例子是數(shù)學(xué)證明中常用的方法，只是這樣的一、兩個(gè)例子就能證明剛才的猜想成立嗎？

生：需要舉很多例子才行。

反饋2：

師：他沒(méi)有求比值，能說(shuō)明它們相等嗎？

生：9∶13 就是9÷13，把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大了兩倍，再把18÷26變成18∶26。就說(shuō)明它們相等了。

3.師生小結(jié)，形成板書(shū)。

師：根據(jù)比和除法的關(guān)系把比變成除法，依據(jù)商不變性質(zhì)同時(shí)擴(kuò)大了兩倍，再把除法轉(zhuǎn)化成比。雖沒(méi)有求比值，但是也有理有據(jù)地說(shuō)明了9∶13=18∶26。

4.再次驗(yàn)證。

師：剛才我們根據(jù)除法和比的關(guān)系，結(jié)合商不變性質(zhì)證明了比的基本性質(zhì)的存在。還可以結(jié)合什么來(lái)證明？

生：結(jié)合分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)證明比的基本性質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)同伴反饋的解讀，學(xué)生體會(huì)具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)比的比值相等。教師在肯定不完全歸納法的同時(shí)，提出“例子是舉不完的”，指出歸納推理的局限性。通過(guò)對(duì)“沒(méi)求比值”反饋的解讀，體會(huì)每一步轉(zhuǎn)化中的邏輯關(guān)系，對(duì)演繹推理的過(guò)程和方法有初步了解，感受到演繹推理在數(shù)學(xué)證明中的作用。同時(shí)借類比引導(dǎo)學(xué)生自主經(jīng)歷演繹的證明過(guò)程，解讀多種演繹過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)可以用已知知識(shí)和關(guān)系來(lái)證明，感知知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系?！?/p>

三、比一比，“類比”中歸納建模

題一：填一填。

師：第（1）題為什么是“÷5”？

生：要使比值不變，后項(xiàng)÷5，前項(xiàng)也要÷5，遵循比的基本性質(zhì)。

師：你覺(jué)得像第（2）題這樣的算式能寫(xiě)完嗎？能不能用一個(gè)算式把它給寫(xiě)完？

生：2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x），0 要除外。

師：第（3）題怎么填最合適？

生：同時(shí)×6。

小結(jié)：我們可以通過(guò)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，把一個(gè)比化簡(jiǎn)成是最簡(jiǎn)整數(shù)比。

題二：化簡(jiǎn)。

（1）比較兩位同學(xué)的反饋，你有什么想說(shuō)的？為什么？

（2）做這些題目時(shí)，你還有什么知識(shí)或技巧要提醒同學(xué)們？

小結(jié)：如果比的前、后項(xiàng)都是整數(shù)，可以同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)；如果有小數(shù)和分?jǐn)?shù)，先轉(zhuǎn)化成整數(shù)；如果兩個(gè)都是分?jǐn)?shù)，可以同時(shí)乘以分母的最小公倍數(shù)。

題三：解決問(wèn)題。

師：你能找到比嗎？

生：可以找到糖和水的比、糖或者水和糖水的比。第一杯和第二杯一樣甜，因?yàn)樗鼈兯吞堑谋榷际?∶1，比的大小相等。

師：你有沒(méi)有辦法，讓第三杯也跟它們一樣甜？

生：我會(huì)把糖再增加15 份，化簡(jiǎn)后變成了2∶1，也就一樣甜了。

【設(shè)計(jì)意圖：題一，填數(shù)不難，但為什么可以這樣填？還可以怎么填？怎樣填更合適？適時(shí)介入最簡(jiǎn)整數(shù)比概念；題二，化簡(jiǎn)不難，怎么想到乘或除以幾？面對(duì)不同的數(shù)，怎樣化簡(jiǎn)更合適？題三，對(duì)接生活問(wèn)題，先找到合適的比，再化簡(jiǎn)、比較解決問(wèn)題，感悟化簡(jiǎn)比與生活問(wèn)題的聯(lián)系?！?/p>

【課后思考】

本課以“猜想—驗(yàn)證—運(yùn)用”為學(xué)習(xí)主線，圍繞“是什么？”“為什么？”“怎么用？”開(kāi)展系列數(shù)學(xué)推理活動(dòng)，致力于學(xué)生推理表現(xiàn)水平進(jìn)階。教學(xué)中，學(xué)生的參與性強(qiáng)，推理氛圍濃厚，主要有三個(gè)特點(diǎn)。

一、等值為媒，基于類比形成猜想

除法、分?jǐn)?shù)和比是三個(gè)緊密聯(lián)系的概念，它們的知識(shí)結(jié)構(gòu)相似，特別是都可以用除法來(lái)求值，有利于學(xué)習(xí)遷移。課中以“等值”為抓手，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)。通過(guò)問(wèn)題“怎樣能快速得到它們的值？”回顧了先化簡(jiǎn)再計(jì)算除法的值，以及通過(guò)約分求分?jǐn)?shù)值的方法。再跟進(jìn)問(wèn)題“為什么可以這樣算？”引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用“商不變性質(zhì)”以及“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”闡明這樣算的原因。與其說(shuō)是對(duì)知識(shí)的回顧，不如說(shuō)是再一次有理有據(jù)地完成了一次運(yùn)算。在除法、比、分?jǐn)?shù)三者關(guān)聯(lián)的同時(shí)，類比形成對(duì)“比的基本性質(zhì)”的猜想也就順“理”成章了。當(dāng)然，此時(shí)的“理”僅限于“看出來(lái)的”。

二、舉例為基，基于關(guān)系演繹證明

如何從“看出來(lái)”到“證出來(lái)”呢？舉例驗(yàn)證是學(xué)生較熟悉的驗(yàn)證方式，課堂上學(xué)生最容易想到的就是舉兩個(gè)有著倍數(shù)關(guān)系的比，再求出比值來(lái)證明性質(zhì)的存在。學(xué)生在舉例時(shí)，沒(méi)有計(jì)算比值的需求，但在用除法求值過(guò)程中，特別是當(dāng)兩個(gè)除法算式放在一起時(shí)，前經(jīng)驗(yàn)支持下的“商不變性質(zhì)”容易被喚醒。教學(xué)中，通過(guò)對(duì)“反饋2”的解讀，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)不求比值也可以說(shuō)明兩個(gè)比是相等的。在此基礎(chǔ)上，把“轉(zhuǎn)化”“商不變性質(zhì)”“再轉(zhuǎn)化”的關(guān)系厘清，也就實(shí)現(xiàn)了演繹推理。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)開(kāi)展演繹證明，既是模仿，又是推理路徑的擴(kuò)展。

三、類比為徑，基于優(yōu)化歸納建模

類比是學(xué)生常見(jiàn)的學(xué)習(xí)方式。練習(xí)反饋中，多次運(yùn)用了比較思考的方式來(lái)開(kāi)展辨析，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化、歸納，形成一般方法。如“為什么是÷5？”引導(dǎo)學(xué)生明確比的性質(zhì)應(yīng)用；“這樣的算式能寫(xiě)完嗎？”“這樣”到底是“怎樣？”引導(dǎo)學(xué)生歸納得出2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x）；“怎么填最合適？”在比較中，類比分?jǐn)?shù)已有知識(shí)，歸納形成“最簡(jiǎn)整數(shù)比”概念；“比一比，你有什么想說(shuō)的？”比較不同學(xué)生作品，歸納并總結(jié)化簡(jiǎn)比的一般方法。