軌道方程平滑方法在軌道預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

朱時(shí)銀，劉利軍，李 曦

(中國(guó)人民解放軍63620部隊(duì)，甘肅 酒泉 732750)

航天器的軌道預(yù)報(bào)和落點(diǎn)預(yù)報(bào)是航天活動(dòng)的一項(xiàng)主要任務(wù)。軌道預(yù)報(bào)是指根據(jù)測(cè)量設(shè)備的觀測(cè)數(shù)據(jù)，按航天器軌道模型和攝動(dòng)因素計(jì)算軌道根數(shù)，然后再推算航天器未來(lái)時(shí)刻的運(yùn)行軌道。落點(diǎn)預(yù)報(bào)計(jì)算過(guò)程中還需要考慮氣動(dòng)模型。軌道預(yù)報(bào)的關(guān)鍵是由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算軌道根數(shù)，觀測(cè)數(shù)據(jù)通常只有航天器的定位測(cè)元信息，并且受測(cè)量數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差影響，限制了軌道預(yù)報(bào)精度。本文就如何提高航天器軌道根數(shù)計(jì)算精度開(kāi)展討論，即如何消弱測(cè)量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差以提高預(yù)報(bào)的速度參數(shù)精度。

軌道觀測(cè)設(shè)備通常不具備測(cè)速能力，速度參數(shù)需要由其他方式來(lái)獲取，例如多項(xiàng)式平滑微分和卡爾曼濾波等[1-4]。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[3]基于航天器軌道局部可用多項(xiàng)式來(lái)表示這一假設(shè)，使用多項(xiàng)式擬合平滑來(lái)消弱隨機(jī)誤差，通過(guò)微分運(yùn)算計(jì)算速度參數(shù)。由于此類(lèi)方法只使用部分測(cè)量數(shù)據(jù)，且存在模型誤差，獲取的航天器速度參數(shù)精度有限，只適用于短時(shí)段軌道預(yù)報(bào)。文獻(xiàn)[2]給出了基于卡爾曼濾波的觀測(cè)數(shù)據(jù)處理方法，其狀態(tài)方程本質(zhì)還是多項(xiàng)式，效果與多項(xiàng)式平滑類(lèi)似。文獻(xiàn)[4]給出了基于動(dòng)力學(xué)方程的彈道預(yù)報(bào)方法。但該文重點(diǎn)是利用軌道根數(shù)計(jì)算未來(lái)時(shí)刻運(yùn)行軌道，沒(méi)有給出初始軌道根數(shù)計(jì)算方法。

本文依據(jù)航天器自由段軌道符合橢圓軌道方程這一事實(shí)，提出使用軌道方程來(lái)擬合自由段軌道，以獲取高精度的速度參數(shù)。由于這種表示方法對(duì)整個(gè)自由段軌道都是有效的，可以使用全部測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行估計(jì)，極大消弱了隨機(jī)誤差的影響，顯著提高了航天器軌道參數(shù)，特別是速度參數(shù)的解算精度，為進(jìn)行航天器軌道預(yù)報(bào)和落點(diǎn)預(yù)報(bào)提供了高精度的初始軌道，從而可以顯著提高預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和預(yù)報(bào)精度。

1 軌道方程平滑方法

1.1 開(kāi)普勒軌道根數(shù)及計(jì)算

由開(kāi)普勒定理可知，自由段軌道可以看成橢圓軌道的一部分，可以由6個(gè)基本參數(shù)完全確定，這些基本參數(shù)稱(chēng)為軌道根數(shù)，分別是：長(zhǎng)半軸a、軌道偏心率e、軌道傾角i、升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω、近地點(diǎn)幅角ω和過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻tp[5-6]。在這6個(gè)開(kāi)普勒軌道根數(shù)中，長(zhǎng)半軸a和偏心率e決定了橢圓軌道的大小和形狀；傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω決定了軌道平面在空間的位置；近地點(diǎn)幅角ω決定了橢圓在軌道平面上的方位；由于長(zhǎng)半軸a已決定了軌道運(yùn)行一周的周期，又由開(kāi)普勒第二定律可知，只要已知近地點(diǎn)時(shí)刻tp，就可以確定任意時(shí)刻(歷元)在軌道上的近地點(diǎn)到該點(diǎn)的平近點(diǎn)角M(M為假定航天器以平均角速度在軌道上運(yùn)行，從過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻到該時(shí)刻運(yùn)行的角度)。

如果已知某歷元時(shí)刻t0的平近點(diǎn)角M0(0≤M0≤360°)，則軌道在其過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻t0的假想平均角速度為2π/T，記為n，而經(jīng)過(guò)的角距等于n(t0-tp)，這樣任意時(shí)刻t的平近點(diǎn)角M=M0+n(t-t0)=n(t-tp)。因此，有時(shí)開(kāi)普勒根數(shù)可用某歷元時(shí)刻t0的平近點(diǎn)角M0代替過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻tp，作為軌道根數(shù)之一。

1.2 基于軌道方程的擬合平滑

軌道方程平滑就是使用已獲取的所有自由段軌道數(shù)據(jù)來(lái)確定軌道根數(shù)，即使用軌道方程來(lái)擬合軌道，也可以看作為精確軌道的確定，具體計(jì)算方法如下。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，

2 軌道方程擬合平滑方法的應(yīng)用

2.1 軌道預(yù)報(bào)方法

使用的軌道預(yù)報(bào)方法基于地心坐標(biāo)系，考慮了重力、牽連慣性力、柯氏慣性力和空氣阻力等外力[10-11]，相對(duì)地心直角坐標(biāo)系的被動(dòng)段目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

圖1 基于軌道方程平滑的軌道與落點(diǎn)預(yù)報(bào)處理流程

將某航天器GNSS測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)軌道與實(shí)測(cè)軌道作差(預(yù)報(bào)起始時(shí)間為300 s和400 s)，結(jié)果如圖2所示。從比對(duì)結(jié)果來(lái)看，向后預(yù)報(bào)350 s和250 s的軌道誤差分別小于100 m和70 m。這說(shuō)明本文采用的經(jīng)典軌道預(yù)報(bào)算法可以滿(mǎn)足軌道預(yù)報(bào)處理的高精度要求，關(guān)鍵是起始?xì)v元t0狀態(tài)的精度，特別是速度參數(shù)的精度。

圖2 某航天器GNSS預(yù)報(bào)軌道和實(shí)測(cè)軌道作差結(jié)果

下面從軌道預(yù)報(bào)和落點(diǎn)預(yù)報(bào)兩個(gè)應(yīng)用情況來(lái)比較多項(xiàng)式平滑和軌道方程平滑的精度。

2.2 軌道預(yù)報(bào)應(yīng)用情況

使用前面某航天器雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析。某雷達(dá)從相對(duì)時(shí)295 s開(kāi)始獲取目標(biāo)軌道數(shù)據(jù)。使用400 s前測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算軌道根數(shù)，然后從400 s開(kāi)始進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)，將雷達(dá)預(yù)報(bào)軌道與GNSS實(shí)測(cè)軌道進(jìn)行比對(duì)，以評(píng)估預(yù)報(bào)初始狀態(tài)估計(jì)方法的精度。使用多項(xiàng)式平滑和軌道平滑的比對(duì)結(jié)果如圖3所示。

圖3 某雷達(dá)預(yù)報(bào)軌道和GNSS實(shí)測(cè)軌道作差結(jié)果

由圖3可見(jiàn)，采用軌道方程方法對(duì)航天器測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，航天器軌道預(yù)報(bào)結(jié)果從30000 m減小至600 m，預(yù)報(bào)精度提高了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，效果明顯。

同樣在此測(cè)試項(xiàng)目中，某雷達(dá)獲取了航天器及其伴飛物的504～547 s軌道數(shù)據(jù)，從295 s開(kāi)始獲取主目標(biāo)軌道數(shù)據(jù)。項(xiàng)目分析過(guò)程中，需要確定伴飛物從主目標(biāo)分離的時(shí)間，這樣就需要計(jì)算伴飛物的飛行軌道。將伴飛物測(cè)量數(shù)據(jù)平滑處理后計(jì)算初始軌道，并向前預(yù)報(bào)，然后與主目標(biāo)軌道進(jìn)行比對(duì)，以估計(jì)分離時(shí)間。多項(xiàng)式平滑和軌道方程平滑預(yù)報(bào)軌道計(jì)算的伴飛物與主目標(biāo)的相對(duì)距離如圖4所示。

從圖4可知，使用軌道方程平滑計(jì)算的距離更可信，伴飛物與主目標(biāo)的相對(duì)距離最小約為200 m，更接近實(shí)際情況(得到目標(biāo)實(shí)際分離時(shí)間約為125 s)。采用雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行航天器軌道和落點(diǎn)預(yù)報(bào)，與使用GNSS測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)結(jié)果相比，其預(yù)報(bào)精度還有差距。這與雷達(dá)測(cè)量設(shè)備的系統(tǒng)誤差有關(guān)，平滑只能消弱隨機(jī)誤差的影響。因此，軌道測(cè)量設(shè)備系統(tǒng)誤差實(shí)時(shí)估計(jì)也是提高預(yù)報(bào)精度的關(guān)鍵技術(shù)。

圖4 雷達(dá)軌道預(yù)報(bào)的目標(biāo)相對(duì)距離

2.3 落點(diǎn)預(yù)報(bào)應(yīng)用情況

針對(duì)不機(jī)動(dòng)飛行目標(biāo)，可以使用前面計(jì)算的軌道預(yù)報(bào)方法(加空氣阻力模型)預(yù)報(bào)其落點(diǎn)。如果獲取了目標(biāo)再入大氣的軌道，則可以估計(jì)空氣阻力參數(shù)(即質(zhì)阻比)；否則，可以使用經(jīng)驗(yàn)值，圓錐狀航天器的空氣阻力系數(shù)取0.0001～0.0002、火箭箭體的空氣阻力系數(shù)取0.01～0.05[14-15]。

在某落點(diǎn)預(yù)報(bào)仿真測(cè)試項(xiàng)目中，航天器返回大氣層前為無(wú)動(dòng)力飛行(即飛行過(guò)程中未發(fā)生機(jī)動(dòng))，使用雷達(dá)獲取的軌道測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算其落點(diǎn)散布(即使用不同時(shí)間段數(shù)據(jù)分別進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)報(bào))，采用散布密度衡量落點(diǎn)預(yù)報(bào)方法的精度，即落點(diǎn)散布范圍小的認(rèn)為預(yù)報(bào)精度較高。某測(cè)試項(xiàng)目多項(xiàng)式平滑和軌道方程平滑計(jì)算的落點(diǎn)散布如圖5所示。

圖5 雷達(dá)軌道測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)落點(diǎn)散布(經(jīng)緯度偏差)

從落點(diǎn)經(jīng)緯度偏差來(lái)看，軌道方程平滑落點(diǎn)預(yù)報(bào)相對(duì)多項(xiàng)式平滑方法散布范圍更小，預(yù)報(bào)精度明顯要高于多項(xiàng)式平滑。

3 結(jié)束語(yǔ)

為了提高軌道預(yù)報(bào)初始點(diǎn)的坐標(biāo)和速度參數(shù)精度，根據(jù)航天器自由段軌道可以準(zhǔn)確地使用軌道方程來(lái)逼近的理論，提出了基于軌道方程擬合的軌道平滑方法。從軌道預(yù)報(bào)和落點(diǎn)預(yù)報(bào)的應(yīng)用效果來(lái)看，該方法較多項(xiàng)式平滑方法具有更高的精度，在航天測(cè)量數(shù)據(jù)處理中有較高的應(yīng)用價(jià)值。但通過(guò)測(cè)試項(xiàng)目預(yù)報(bào)軌道和落點(diǎn)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果分析可知，該方法只能消弱隨機(jī)誤差，因此對(duì)測(cè)量設(shè)備系統(tǒng)誤差的估計(jì)還需進(jìn)行后續(xù)研究。