微動工況下裂紋擴展仿真分析*

趙一舟，李 儼，土 旗，唐正強

(貴州大學機械工程學院，貴陽 550025)

0 引言

在材料加工與實際應用過程中，不同材料會因自身存在不同缺陷導致材料內部結構出現裂紋、裂縫等微動疲勞現象[1]。裂紋、裂縫的產生會隨時間與外載荷作用下在材料中繼續擴展，在內部結構中產生斷裂失效以致急速降低結構使用壽命[2-4]。

微動疲勞現象通常發生在微、納米量級的相對運動和交變載荷同時作用下的兩個緊密接觸物體之間[5]。文獻[6-8]認為在一定條件下，結構脆性斷裂問題中材料本身所具有微裂紋、裂縫等微動疲勞缺陷會誘導裂紋的萌生、擴展，降低工件的疲勞壽命，造成工件的斷裂破壞。構件本身所固有的組織缺陷或加工所造成的損傷會產生初始裂紋，初始裂紋在相對運動和交變載荷的共同作用下發生擴展導致構件的斷裂破壞[9]。本文將基于Python二次開發利用ABAQUS自帶的圍線積分算法和對網格重劃分程序的編制對微動工況下的裂紋擴展進行建模分析。對微動情況下多裂紋任意路徑擴展進行模擬，對不同往復位移幅值和不同下壓深度下的裂紋擴展進行模擬，以探究不同往復位移幅值和不同下壓深度對多裂紋擴展的應力強度因子、裂紋擴展結果與最終擴展輪廓等影響。

1 向量式有限元法基本理論

1.1 多應力裂紋判定依據

在研究裂紋擴展規律時，常把構件中各種因素導致裂紋產生原因根據初始裂紋不同的特點簡化為三種基本類型，如圖1所示：I型(裂紋面和裂紋所受拉應力呈現，使初始裂紋面角度呈擴大趨勢并且裂紋向里擴展)；II型(受到垂直于裂紋前沿且平行于裂紋面的剪切應力，使在平面內裂紋面有相對滑開的趨勢)；III型(受到剪切應力分別平行于裂紋前沿和裂紋表面，使裂紋面有相對錯開的趨勢)[10]。

(a)I型 (b)II型 (c)III型

在實際工程中，裂紋形式多以復合型存在，多數處于三種復合型的變形狀態。復合型裂紋的開裂條件較為復雜，且一般不按照裂紋的原方向進行擴展，其外載荷作用時不對稱，初始裂紋的角度不對稱，還有材料為各向異性等情況[11]。

1.2 應力強度因子計算

為了反映裂紋尖端應力以及應變變化快慢與變形程度，本文基于應力外推法計算裂紋尖端的應力強度因子值，再通過應力強度因子來判定裂紋是否能夠擴展以及擴展角度[12]。首先，依次提取裂紋尖端位置、擬合點應力與位置；其次，計算擬合點與裂紋尖端距離；將計算出的距離帶入公式得到擬合點應力強度因子；再次，根據所得強度因子繪制出擬合點與擬合曲線；最后，輸出擬合曲線與y軸交點值，即反映裂紋尖端彈性應力場強弱的物理量稱為裂紋尖端應力強度因子，其中K1與K2對應I型與II型裂紋應力強度因子。

利用前處理中儲存單元節點等信息，提取出需進行擬合的點j坐標(xj,yj)、裂紋尖端節點i坐標(xi,yi)和非奇異節點應力值σyj[13]。其中應力強度因子值計算過程如下[14-15]：

(1)計算裂紋尖端和擬合點之間距離rj：

(1)

(2)計算擬合點應力強度因子：

(2)

(3)構造出數據對(rj，KIj)，利用最小二乘法擬合數據點。在斷裂力學中假設KIj和rj之間的關系可利用線性函數進行擬合近似，則有：

(3)

(4)

(5)復合裂紋最大能量釋放率的方向為裂紋擴展的方向，裂紋開裂角為最大周向應力的方向角θmax，裂紋擴展角度為：

(5)

2 模型建立與數值模擬

2.1 有限元模型

如圖2所示為微動工況下裂紋預置模型，在平板上預置多條裂紋，并且在半圓面設置豎直向下載荷作用在下端平板面上，當半圓面和平板面接觸時半圓面保持下壓同時進行微小幅度的往復運動，以此在平板面上產生作用力，在豎直載荷和往復運動的共同作用下裂紋發生擴展。

圖2 裂紋擴展前處理多裂紋模型圖

取球直徑為20 mm，平板長為30 mm，寬為10 mm。預制裂紋長度分別為1.8 mm、2 mm和1.2 mm(從左到右的順序)，預置裂紋角度分別120°、85°和45°(從左到右的順序)，彈性模量為73 000 MPa，泊松比為0.33。在此多預制裂紋模型基礎上，分別對不同往復位移幅值和不同下壓深度展開研究，將所得到數值進行模擬并分析。

2.2 數值模擬流程

裂紋擴展模擬流程圖如圖3所示，Python程序原理是基于ABAQUS二次開發的圍線積分和網格重劃分實現任意路徑的裂紋擴展模擬。操作步驟為：先在ABAQUS經典界面建立裂紋擴展前幾何模型，對模型所需單元節點信息進行導入；再對建立完成后的幾何模型進行材料屬性的設置與分配；將材料屬性設置完成后的幾何模型裝配成獨立的實體裝配體；定義模型中半圓面施加邊界條件、載荷和定義預制裂紋等，使其與平板能夠相互作用；然后利用Python調用ABAQUS自帶的圍線積分算法，加入最大周向應力法則判定裂紋擴展，找到新的裂紋尖端；再刪除網格，重新利用圍線積分算法進行幾何模型的切分；最后切分好之后再重新進行網格的劃分，獨立完成整套流程后，再一直循環這一系列步驟直到裂紋判定不擴展為止，程序循環結束。

圖3 裂紋擴展模擬流程圖

3 裂紋拓展結果分析

3.1 微動幅值對多裂紋擴展的影響

根據圖2所述模型，設置此多條預制裂紋下壓深度為1 mm，往復運動距離分別為2 mm、4 mm、6 mm、8 mm進行結果分析。裂紋擴展結果應力圖如圖4所示。分析應力結果對比圖中裂紋擴展情況，多裂紋擴展時往復運動的不同對裂紋擴展沒有造成太大的影響，裂紋擴展路徑基本一致。

(a)位移幅值為2 mm (b)位移幅值為4 mm

(c)位移幅值為6 mm (d)位移幅值為8 mm

如圖5所示是不同位移幅值下三條裂紋應力強度因子K1對比圖(L1、L2、L3分別對應從左到右裂紋)。可看出左邊和右邊的裂紋趨勢均是先增大到一個最大值，然后緩慢下降到0，此時裂紋停止擴展；中間裂紋擴展時應力強度因子K1呈現出直接緩慢下降到0的趨勢，這是因為多裂紋情況下，中間裂紋受到兩邊裂紋應力場的同時作用，會對中間裂紋所受應力造成干擾，但大致趨勢沒有改變。圖中還可看出，多裂紋擴展時不同往復位移幅值對應力強度因子K1所造成的影響可忽略不計，應力強度因子K1幾乎沒有變化。

L1：左邊裂紋 L2：中間裂紋 L3：右邊裂紋

不同位移幅值下三條裂紋應力強度因子K2對比圖(L1、L2、L3分別對應從左到右的裂紋)如圖6所示，可看出左邊裂紋應力強度因子K2從開始的正值突變到0，然后穩定在0值附近；右邊裂紋應力強度因子K2從開始的負值突變到0，然后穩定在0值附近。是因為這兩條裂紋在最開始會出現方向上的突變，所以K2值也會出現突變的變化，后期是因為在突變后裂紋變成了I型裂紋，裂紋擴展條件變成由K1主導；而從正值與負值的突變是因為兩條裂紋轉動方向不同，所以值會有相反性差異；并且K2值在0值附近會有震蕩產生，是由于多裂紋擴展時裂紋應力場之間會相互影響，造成K2值震蕩；而中間裂紋應力強度因子K2值起伏變化較大，先是突變到最大值再出現起伏震蕩，是因為中間裂紋應力場受到兩端裂紋干擾，會造成方向上的變化；同時，不同位移幅值對應力強度因子K2值影響可忽略不計。

L1：左邊裂紋 L2：中間裂紋 L3：右邊裂紋

不同位移幅值下三條裂紋新的裂尖點所擬合而成的圖像(L1、L2、L3分別對應從左到右的裂紋)如圖7所示，即為裂紋擴展最終圖像。可看出，左邊裂紋擴展輪廓有細微差別，往復運動為4 mm時裂紋輪廓出現變化，并且裂紋擴展比2 mm、6 mm、8 mm多一步，是因為往復運動的不同造成了影響，而中間和右邊裂紋在往復位移幅值改變條件下的變化可忽略不計；往復位移幅值不同并沒有對裂紋擴展的最終輪廓造成太大影響，即不會對新裂尖位置造成太大影響。

L1：左邊裂紋 L2：中間裂紋 L3：右邊裂紋

3.2 多裂紋擴展不同下壓深度結果分析

根據圖2所述模型，設置多條預制裂紋進行往復運動距離為2 mm,下壓深度分別為1 mm、2 mm、3 mm進行結果分析，裂紋擴展結果應力如圖8所示。

(a)下壓深度為1 mm

(b)下壓深度為2 mm

(c)下壓深度為3 mm

可看出多裂紋擴展時不同下壓深度對裂紋擴展規律有較大影響，下壓深度越深裂紋擴展最終結果張開幅度越大。但對比下壓深度為2 mm和3 mm時，幅度變化不明顯，是因為一定程度后，張開幅度變化可忽略不計。

不同下壓深度三條裂紋應力強度因子K1對比圖如圖9所示，可看出左邊和右邊的裂紋趨勢同樣是先增大到最大值后再緩慢下降，但沒有完全趨近于0。是因為裂紋擴展到最后，兩邊裂紋和中間裂紋出現交叉，裂紋被迫停止擴展。中間裂紋擴展時應力強度因子K1呈現出直接緩慢下降到0的趨勢，是因為中間裂紋受到兩邊裂紋應力場同時作用，對所受應力造成干擾。可看出裂紋之間出現交叉情況時，裂紋會直接停止擴展，此時K1值不一定趨近于0。同時，下壓深度越深時裂紋區域所受應力越大，應力強度因子K1值越大，這一現象符合實際工況。

(a)左邊裂紋擴展結果K1對比圖

(b)中間裂紋擴展結果K1對比圖

(c)右邊裂紋擴展結果K1對比圖圖9 不同下壓深度擴展結果K1對比圖

不同下壓深度三條裂紋應力強度因子K2對比圖如圖10所示。

(a)左邊裂紋擴展結果K2對比圖

(b)中間裂紋擴展結果K2對比圖

(c)右邊裂紋擴展結果K2對比圖圖10 不同下壓深度擴展結果K2對比圖

可看出左邊裂紋應力強度因子K2從最開始正值突變到0后穩定在0值附近；右邊裂紋應力強度因子K2從最開始負值突變到0后穩定在0值附近。是因為最開始兩條裂紋有方向上的突變，所以K2值也有較大的變化；突變后裂紋變成了I型裂紋，裂紋擴展條件變成由K2主導；同時，會因為兩條裂紋轉動方向不同，值的正負會有相反性差異。中間裂紋應力強度因子K2值則產生劇烈震蕩，先突變且不穩定在0處，是因為中間裂紋應力場受到兩端裂紋干擾，K2值變化造成方向變化；下壓深度越大裂尖所受應力越大，K2值先增大，再減小穩定在0值附近，變成由K1主導的裂紋，這一現象符合實際工況。

不同下壓深度下三條裂紋新的裂尖點所擬合圖像如圖11所示，即為裂紋擴展最終圖像。

(a)左邊裂紋擴展最終輪廓對比圖

(b)中間裂紋擴展最終輪廓對比圖

(c)右邊裂紋擴展最終輪廓對比圖

可看出，下壓深度越大對裂紋擴展最終輪廓造成影響越大。下壓深度越大裂紋彎曲角度越大，是因為應力不再向兩邊集中，中間區域產生應力越大，裂紋輪廓y值越大。相對于左邊和右邊裂紋，中間裂紋最終輪廓影響最大，是因為下壓深度越大應力越集中，在接近平板中間區域最為明顯，故裂紋中間區域的變化程度最大。

4 結論

本文通過有限元圍線積分模擬微動情況下多裂紋的任意路徑擴展，模擬往復運動情況下多裂紋任意路徑擴展對不同往復位移幅值和不同下壓深度應力強度因子K1、K2值和裂紋最終擴展輪廓對比，研究結論如下：

(1)相同下壓深度不同往復位移幅值時：對裂紋擴展影響可忽略不計，例如應力強度因子K1和K2值不會因裂紋條數增加產生明顯變化。同時，三條裂紋在往復位移幅值改變條件下變化忽略不計，且不會對裂紋擴展輪廓造成太大影響；

(2)相同往復位移幅值不同下壓深度時：一定范圍內下壓深度越大，裂紋區域所受應力也越大，裂紋擴展的各項參數以及最終擴展輪廓變化越明顯；

(3)除下壓深度與往復位移帶來的影響，裂紋與裂紋之間的應力場也會相互作用，對裂紋各項參數造成影響，導致參數數值上下波動。另外，多裂紋擴展時，當裂紋路徑產生交叉，裂紋擴展過程會立即結束。