注重函數性質交匯 明晰函數圖象判別

黃雅蘭

(廣東省東莞市第一中學 523000)

基本初等函數的性質是高考試題中最為常考的一種題型之一，通過函數圖象去研究函數性質是數學方法中常見的一種研究手段，本文立足函數性質，分析了函數圖象的相關問題.

1 函數性質的綜合應用

例1 已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+1)為偶函數，若f(-1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( ).

A．4 B．2 C．0 D．-2

解法1f(x)是定義在R上的奇函數，

所以-f(x)=f(-x).

①

因為f(x+1)為偶函數，

所以f(-x+1)=f(x+1).

②

在②式中，用x+1替代x，

則f(-x)=f(x+2).

所以f(x)=-f(x+2).

③

在①式中，令x+2替代x，

則-f(x+2)=f(-x-2).

④

因為f(-x-2)=f[-(x+3)+1]，

再根據②式關系，得

f(-x-2)=f[-(x+3)+1]=f[(x+3)+1]=f(x+4).

綜上所述，得f(x)=f(x+4).

所以f(x)的周期為4.

由已知得，f(x)是定義在R上的奇函數，則

f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,

f(2)=f(1+1)=f(-1+1)=f(0)=0,

f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,

f(4)=f(0+4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

解法2 由f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+1)為偶函數，可知函數f(x)是周期為4的周期函數.

又f(-1)=2,取f(x)=-2x,x∈[-1,1],

則f(1)=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=2，f(4)=f(0)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

點評已知f(x)是周期函數且為偶函數，求函數值常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，把未知區間上的函數性質轉化為已知區間上的函數性質求解．

2 函數圖象的識別

圖1

所以f(x)是偶函數.

所以f(x)的圖象關于y軸對稱，故排除C,D.

即f(x)<0，故排除B，選A.

例3(2021年廣東湛江模擬)已知函數f(x)的圖象如圖2所示，則f(x)可以為( ).

圖2

點評函數圖象與解析式之間的4種對應關系:

(1)從函數的定義域判斷圖象的左右位置，從函數的值域(或有界性)，判斷圖象的上下位置；

(2)從函數的單調性判斷圖象的升降變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性判斷圖象的對稱性：奇函數的圖象關于原點對稱，在對稱的區間上單調性一致，偶函數的圖象關于y軸對稱，在對稱的區間上單調性相反；

(4)從函數的周期性判斷圖象是否具有循環往復特點．

3 函數圖象的變換

例4已知定義在區間[0,4]上的函數y=f(x)的圖象如圖3所示，則y=-f(2-x)的圖象為( ).

圖3

圖4

解法1先作出函數y=f(x)的圖象關于y軸的對稱圖象，得到y=f(-x)的圖象；然后將y=f(-x)的圖象向右平移2個單位，得到y=f(2-x)的圖象；再作y=f(2-x)的圖象關于x軸的對稱圖象，得到y=-f(2-x)的圖象.故選D.

解法2先作出函數y=f(x)的圖象關于原點的對稱圖象，得到y=-f(-x)的圖象；然后將y=-f(-x)的圖象向右平移2個單位，得到y=-f(2-x)的圖象．故選D.

點評通過圖象變換識別函數圖象要掌握的兩點：

(1)熟悉基本初等函數的圖象(如指數函數、對數函數等函數的圖象)；

(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換．

4 函數圖象的應用

圖5

故方程2f2(x)-3f(x)+1=0有5個解．

點評利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等，當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函數f(x)圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)=g(x)的根就是函數f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標.