考慮污染排放限制的道路通行最小收費問題研究

何勝學

(上海理工大學管理學院 上海 200092)

0 引 言

隨著我國城市小汽車保有量的不斷增長，城市交通污染日益嚴重，而如何有效控制和減少交通污染排放業已成為城市管理部門、大眾和研究者關注的一個焦點.交通污染排放的控制有多種途徑，包括控制小汽車的增長率、提升燃油品質、提升機動車排放標準、各種交通控制技術手段的利用，以及各種交通經濟手段的利用[1-3].在經濟手段中，收取排污費是最常用的一種.針對如何在維持出行者自主選擇出行路線條件下以最少的收費實現給定比例污染排放消減的問題，本文建立相關雙層規劃模型，并給出有效求解方法.

研究者針對交通污染排放控制進行了大量研究.馮曉等[4]認為智能交通系統是一種控制道路交通污染的重要手段，并比較分析了實施不停車收費與停車繳費對機動車污染排放的影響.李學遷等[5]提出應當按車型對用戶收取擁擠稅和污染稅從而實現合理分配流量和減少交通污染的目的.張廣昕[6]提出可通過監測交叉口各向車流量自動調正信號燈配時來在提高道路服務水平的同時減少交通污染.肖翠翠[7]通過分析美國加州交通污染排放管理模式，提出了提升道路車輛干凈程度、提高燃油品質和系統化控制交通污染管理成本的建議.王璐璐[8]實證分析了機動車保有量和交通污染對不同城市功能區的影響.魏賢鵬等[9]利用系統動力學知識對城市交通污染氣體排放的影響因素和相關關系進行了分析.胡畔等[10]通過實證調查了解居民對擁擠收費的接受度，分析了如何通過擁擠定價實現緩解交通壓力的同時解決尾氣污染問題，提出應當通過收費引導人們更多的選擇公共交通出行.張凱等[11]分析了如何在一定交通排放污染容忍度下確定網絡中交通需求的最大可增長比例.

本文的主要研究貢獻包括：①以收費最小為優化目標，而非常見的最大化收費、最小化系統出行費用或最小化整體污染排放，可以提升研究結果的可行性和大眾接受度；②以網絡整體的污染排放為控制對象，可以有效避免局部控制可能產生的排放轉移問題；③設立路段收費的上限，且只在備選路段實施收費，不僅可以避免過高收費的出現，而且可避免需要在無實施條件的路段實施收費的窘境；④針對上下層模型特征，在有效利用求解下層模型的Frank-Wolfe算法基礎上，為上層模型設計了在部分增廣拉格朗日法中嵌套梯度投影算法的有效求解算法.

1 參變量介紹與基本假設

1.1 參變量介紹

1.2 基本假設

1)假設出行者的出行路線選擇行為遵循Wardrop第一原則，即用戶均衡原則 依據用戶均衡原則，當網絡處于均衡狀態時，對任意一個OD對而言，連接該OD對的可行路線中實際被利用的路線具有相等的出行費用，且該費用小于等于其他連接該OD對而未被利用的路線的出行費用[12-13].這里的出行費用包括行程時間和可能的污染排放收費.具體的路段出行費用為

(1)

將采用常見的BPR函數作為路段行程時間函數，具體形式為

(2)

2)交通污染排放的全網控制原則 交通污染排放控制既可以采取局部控制，也可以采取全局控制.考慮到污染的擴散性和網絡交通的相互影響性，本研究將從整體上對交通污染的排放加以限制.同時為了便于分析運算，假設路段的污染排放函數為

pa(xa)=ea,1(xa/Ca)2+ea,2xa/Ca+ea,3

(3)

式中：ea,i，?i∈{1,2,3}為與具體路段特征相關的參數.

2 雙層規劃模型

根據上節的假設條件，建立如下的網絡交通污染排放控制上層模型.

(4)

(5)

(6)

目標函數(4)以備選收費路段集合上整體的收費最小化為目標.這與常見的擁擠收費的收費最大化目標不同，也與常見的交通污染控制模型以網絡總的出行時間或出行費用最小為目標不同.以收費最小化為目標可以得到出行者的支持與理解，從而增加理論的現實可行性.約束(5)為對路網整體的交通污染排放進行限制.顯然有τ∈[0,1).這里減排比例系數τ應根據實際合理選擇.如果τ的值過小，則達不到污染排放控制的目的；而τ的值過大，則可能導致收費過高，或模型無解情況的出現.約束(6)為路段收費的上下限箱式約束.與以往僅限定收費值大于0不同，為收費設定上限不僅可以避免不合理的過高收費出現，也可以增加模型求解結果的現實可行性.

在交通污染排放的收費控制條件下，路段的交通流量x將受到具體收費η影響，因此具體路段流量xa為收費η的函數xa(η).當具體收費η給定時，可以利用下面的下層用戶均衡網絡交通流分配模型求解對應的路段流量.

(7)

(8)

(9)

(10)

目標函數(7)為所有路段上行程費用函數ca(xa)圖像在路段流量范圍[0,xa]內的累積面積.該目標是為了使得模型求解結果符合用戶均衡原則特意構造的函數.約束(8)為針對任意OD對的路徑流量之和等于該OD間交通需求量的守恒約束.約束(9)為路徑流量的非負約束.約束(10)為任意路段的流量等于所有途經該路段的路徑流量之和.下層模型用于實現抽象函數xa(η)，以及后面會用到的偏導數?xa(η)/?ηb的近似值計算.

3 求解算法設計

下層的用戶均衡交通流分配模型(10)可以利用Frank-Wolfe算法有效求解，因此在此略去相關介紹.下面分析如何有效求解上層排放控制模型(4)～(6).

觀察到模型的基本變量η具有箱式約束(6)，而箱式約束有利于投影運算.如果可以將約束(5)轉化為目標函數項，則可以利用梯度投影算法對問題進行求解.將約束轉化為目標函數項的方法包括內點障礙函數法、罰函數法和增廣拉格朗日乘子法等.考慮到約束(5)的形式較為簡單，以及在利用增廣拉格朗日乘子法時相應的懲罰系數相對較小，因此下面采用增廣拉格朗日乘子法實現約束的轉化.

(11)

(12)

式中：Δηb為費用ηb的微小變化；ηΔb為對應ηb的元素為Δηb，而其余元素為0的向量.利用(12)，可以得到目標函數(4)的偏導數近似值.

(13)

在vk和γk給定條件下，L(η,vk,γk)的偏導數ηaL=?L(η,vk,γk)/?ηa為

(14)

假設當前求解子問題的算法迭代次數為m，對應的收費向量為ηm.以-ηaL作為對應分量的嘗試性搜索方向，給定常數?m∈(0,1)作為對應步長，可以得到一個嘗試性搜索分量該分量盡管是沿著目標函數的負梯度方向得到，具有使目標函數值下降的潛力，但是有可能不滿足約束Ω.因此有必要將嘗試性分量向約束集Ω投影，得到一個可行下降方向.符號PrΩ(·)為向集合Ω作投影；而PrΩa(·)為向集合投影.根據箱式約束特征，有如下操作成立：

(15)

令新的搜索方向分量為

(16)

利用上述搜索方向可以對變量進行更新.

ηm+1=ηm+αmdm

(17)

式中：αm為相應搜索步長.可以利用各種一維搜索算法確定步長αm的具體值.為了盡量減少調用求解下層模型的次數，本研究選擇啟發式的Armijo算法進行步長搜索.

在Armijo算法中步長αm等于βns.這里n是一個滿足下式的最小非負整數.

L(ηm,vk,γk)-L(ηm+βnsdm,vk,γk)≥

-σβnsηLΤdm

(18)

式中：s，β和σ均為區間(0,1)上給定的常數.

步驟1初始化 給定vk和γk的值.在約束集Ω內確定一個可行的初始收費量η0.給定參數s、β和σ.令m:=0.

步驟2利用式(12)～(14)，求解目標函數的近似負梯度ηL(ηm,vk,γk).

步驟3計算嘗試性搜索方向ηm-?mηL，并利用式(15)～(16)進行箱式約束集投影，從而得到可行方向

步驟4確定步長αm從n所屬的非負整數集合{0,1,2,3,…}中依次取值，直到得到滿足式(18)的最小n值，進而得到αm=βns.

步驟5更新變量 利用式(17)，計算ηm+1.

步驟4判斷收斂快慢，更新懲罰參數

步驟5進行拉格朗日乘子迭代

4 算例分析

圖1 13個節點的Nguyen和Dupius路網

表1 路段行程時間函數的參數和均衡流量

表2 路段收費值和總收費

表3為τ取不同值時收斂指標Ψ(η)隨迭代次數k增加的變化情況.當Ψ(η)的值大于0時，說明減排要求沒有達到；而當Ψ(η)的值小于等于0時，說明交通污染的減排要求已經達到.計算結果表明，當τ小于0.15時，減少排放的要求均可實現；而當τ大于等于0.16時，算法不收斂，即Ψ(η)的值始終大于0.

表3 收斂指標Ψ(η)隨迭代次數k增加的變換

上述計算的計算機程序是在NetBeans IDE 8.0.2集成開發環境下，利用Java程序語言實現的.各種情景下模型整體求解的程序運行時間均小于2 s.

5 結 束 語

在滿足一定交通污染減排要求條件下，以最小收費為優化目標建立了減排控制的雙層規劃模型.通過部分增廣拉格朗日算法將上層模型的排放約束轉變為目標函數項，從而使得新的模型具有簡單的箱式約束，進而可以利用梯度投影算法加以有效求解.通過數值算例驗證了模型與算法的有效性.算例分析表明：減排的要求越高，總的收費越大；對于給定的交通網絡和需求，減排有最高限度，單純通過收費無法實現超過該限度的減排要求；路段收費具有關聯性，在部分路段進行收費可能對污染減排無效.研究可以進一步擴展的方向包括：考慮不同交通方式的影響、考慮動態的分時污染收費、以及與其他污染排放控制手段進行整合.